工程力學(xué)教學(xué)t5

振型分解法以上討論多自由度體系的自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)是，質(zhì)量的位移是以幾何坐標(biāo)來描述。振型分解法是以體系自由振動(dòng)時(shí)的主振型為基底來描述質(zhì)量的動(dòng)位移，利用主振型的正交性，所得的運(yùn)動(dòng)方程將轉(zhuǎn)變成n個(gè)相互獨(dú)立的微分方程，其中，每個(gè)方程只對應(yīng)一個(gè)振型的一種位移，相當(dāng)于一個(gè)單自由度體系的振動(dòng)。通常情況下體系的彈性矩陣或和質(zhì)量矩陣并不是對角矩陣，所得的運(yùn)動(dòng)方程是一組相互耦聯(lián)的微分方程。此時(shí)，求解一般動(dòng)力荷載作用下或需考慮阻尼影響時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)將十分困難。這種可以使微分方程解除耦聯(lián)關(guān)系的坐標(biāo)稱為正則坐標(biāo)，它是一種廣義坐標(biāo)。振型分解法也稱為振型疊加法或正則坐標(biāo)法。以兩個(gè)自由度為例作如下說明。、為幾何坐標(biāo)的原始基底。質(zhì)點(diǎn)的位移可用向量表示。若改用振型、為基底，位移向量表示為：其中，即，可縮寫為，、稱為以振型為基底的廣義坐標(biāo)（或正則坐標(biāo)）。兩個(gè)自由度體系在不考慮阻尼時(shí)，運(yùn)動(dòng)微分方程是：將坐標(biāo)變換式代入得：將第一振型左乘(1)式兩邊得：其中，(1)(1)式可改寫為：引入以下符號(hào)，稱為對應(yīng)于第一振型的廣義質(zhì)量、廣義剛度和廣義動(dòng)力荷載。(2)(2)式可改寫為：(3)第一振型相應(yīng)的頻率為：相同方法推廣至第二振型或多自由度體系：相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：按振型分解法計(jì)算教材P291例10-12。第一頻率相應(yīng)振型對體系的動(dòng)力反應(yīng)，遠(yuǎn)大于第二頻率相應(yīng)振型對體系的動(dòng)力反應(yīng)。振型分解法的意義：1、利用振型分解法，可使具有耦聯(lián)關(guān)系的運(yùn)動(dòng)微分方程解耦。2、從廣義坐標(biāo)的角度分析，低頻率相應(yīng)振型對體系的動(dòng)力影響遠(yuǎn)大于高頻率相應(yīng)振型對體系的動(dòng)力影響。3、若有阻尼時(shí)，高頻率反應(yīng)衰減比低頻率衰減迅速得多。在工程抗震設(shè)計(jì)中，只需考慮前幾個(gè)振型對體系動(dòng)力反應(yīng)的貢獻(xiàn)。§14-7計(jì)算頻率的近似法1.能量法結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過程中，具有兩種形式的能量，一種是由于具有質(zhì)量和速度而構(gòu)成的動(dòng)能，另一種是由于結(jié)構(gòu)變形而儲(chǔ)存的應(yīng)變能。由能量守恒原理，結(jié)構(gòu)在無阻尼自由振動(dòng)過程中的任一時(shí)刻，其動(dòng)能T和應(yīng)變能之和應(yīng)等于常數(shù)，即常數(shù)。

在最大振幅處，動(dòng)能為0，應(yīng)變能達(dá)到最大；在靜力平衡位置，動(dòng)能達(dá)到最大，應(yīng)變能為0，則有，=常數(shù)，亦即，。

以梁為例，假設(shè)振動(dòng)方程為則其速度為：動(dòng)能為：(14-53)應(yīng)變能為：（14-54）由得：

(14-55)如果結(jié)構(gòu)上除分布質(zhì)量m(x)外，還有集中質(zhì)量，上式應(yīng)為：(14-56)假設(shè)一個(gè)位移幅值函數(shù)y(x)代入上式求頻率。通?？扇〗Y(jié)構(gòu)在某個(gè)靜荷載（如自重）作用下的彈性曲線作為y（x）的近似表達(dá)式。此時(shí)應(yīng)變能可用外力功來代替，即則(14-57)2.集中質(zhì)量法

在計(jì)算無限自由度體系的自振頻率時(shí)，可以用若干個(gè)集中質(zhì)量來代替連續(xù)分布的質(zhì)量。關(guān)于質(zhì)量的集中方法有多種，最簡單的是靜力等效的集中質(zhì)量法。等