專題9：橢圓中的定直線問題

第第頁參考答案1．（1）；（2）證明見解析，直線.【分析】（1）由橢圓過定點，結合離心率求橢圓參數(shù)，寫出橢圓方程.（2）由題設知的斜率不可能為0，可設直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，應用韋達定理可得，再由點斜式表示直線：，則即可判斷是否為定直線.【解析】（1）由題意，且，又，解得，.橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立方程整理得，，由，，即.直線的方程為.①過且與軸垂直的直線的方程為.②聯(lián)立①②可得.點在定直線上.【點評】關鍵點點睛：第二問，設直線的方程聯(lián)立橢圓方程，由韋達定理確定的關系，進而由的位置用表示出其橫坐標.2．（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析，直線.【分析】（Ⅰ）設，利用，可得，又，，可得橢圓的方程；（Ⅱ）分類討論：當直線斜率存在時，設方程為：，聯(lián)立，得，利用根的系數(shù)關系得，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立消去得，當直線的斜率不存在時，直線，與軸重合，過點，即可得到結論.【解析】（Ⅰ）設，軸，軸，，，，，，，，，又，，解得：，，故橢圓的方程為．（Ⅱ）①當直線斜率存在時，設其方程為：，設，，聯(lián)立，得，，由韋達定理得，，．因為，，所以直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立消去得，整理得，所以直線，的交點一定在直線上；②當直線的斜率不存在時，直線，與軸重合，過點，由①②知直線，的交點在直線上．【點評】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．3．（1）；（2）證明見解析，.【分析】（1）根據(jù)拋物線焦點的坐標公式，結合直線方程的截距式方程、點到直線距離公式、橢圓中之間的關系進行求解即可；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)直線與橢圓的位置關系，結合一元二次方程的判斷別式、斜率公式、以及互相垂直兩直線的關系進行求解即可.【解析】（1）拋物線的焦點坐標為，直線的方程為：，設原點到直線的距離為，，橢圓方程為；（2）因為直線與橢圓相切，聯(lián)立直線與橢圓方程：即切點坐標即，，點的坐標為：，的方程為聯(lián)立直線方程：解得在這條定直線上.【點評】關鍵點睛：本題的關鍵是通過直線與橢圓的位置關系，借助方程組消，運用一元二次方程根的判別式得到等式，再通過求出橫坐標，進行證明即可.4．（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）過點，可得，再結合離心率即可求出橢圓方程；（2）設直線的方程為，與橢圓聯(lián)立用表示兩點，即可算出點的橫坐標為定值，從而獲解.【解析】（1）已知橢圓的離心率為，且過點，所以，又，則，所以，故橢圓的標準方程為．（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立得，由題意知恒成立，由韋達定理得，所以，由于為線段的中點，因此，，此時．所以所在直線方程為，將其代入橢圓的方程，并由，解得，又，由得，因此，點在定直線上．【點評】方法點睛：求定線問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定直線，再證明這條線與變量無關.（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定直線.5．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）設點，可得，橢圓的有界性可得出，利用斜率公式結合橢圓方程可得出，利用不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍；（2）設、、，分析得出直線的斜率存在，設直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由可得出，再由可得出，即可得出結論.【解析】（1）設，，則，所以，因為，所以，所以，所以；（2）若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時直線與橢圓無公共點，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設，即，聯(lián)立，得，由得，設、，則，，設，由，得（考慮線段在軸的射影），所以，于是，整理得，又，代入上式，得，所以點總在定直線上．【點評】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.6．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓的性質(zhì)可知，再根據(jù)軸時，的面積為，由面積公式可知，由此即可求出橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，設，由韋達定理，可知，將直線的方程與直線的方程聯(lián)立，利用韋達定理，化簡計算，即可證明結果.【解析】（1）由題意知，所以，又，所以當軸時，的面積為，所以解得所以，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，設直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，得.顯然恒成立.設，所以有直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩方程可得，所以由式可得，代入上式可得，解得故點在定直線上.【點評】關鍵點點睛：本題第二問解題的關鍵在于設直線的方程為，避免了斜率存在和不存在的分類討論，使得運算簡化.7．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題知，解方程即可得，，故橢圓的方程是.（2）先討論斜率不存在時的情況易知直線，的交點的坐標是.當直線斜率存在時，設直線方程為，，，進而聯(lián)立方程結合韋達定理得，，直線的方程是，直線的方程是，進而計算得時的縱坐標，并證明其相等即可.【解析】（1）因為，橢圓離心率為，所以，解得，.所以橢圓的方程是.（2）①若直線的斜率不存在時，如圖，因為橢圓的右焦點為，所以直線的方程是.所以點的坐標是，點的坐標是.所以直線的方程是，直線的方程是.所以直線，的交點的坐標是.所以點在直線上.②若直線的斜率存在時，如圖.設斜率為.所以直線的方程為.聯(lián)立方程組消去，整理得.顯然.不妨設，，所以，.所以直線的方程是.令，得.直線的方程是.令，得.所以分子..所以點在直線上.【點評】本題第二問解題的關鍵在于分類討論直線斜率不存在和存在兩種情況，當直線斜率存在時，設，，寫出直線的方程是和直線的方程是，進而計算得時的縱坐標相等即可.考查運算求解能力，是中檔題.8．（1）；（2）是，該定直線方程為.【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出可得橢圓的標準方程；（2）設直線的方程為，設，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理得到和，寫出直線和的方程，聯(lián)立直線和的方程，得到，結合和化簡可得，從而可得點在定直線上.【解析】（1）由題意得：，，則，，，橢圓的標準方程為.（2）由題知，，，，設，，設直線的方程為，將其與聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得①，②，聯(lián)立①②得，設直線方程為③，直線方程為④，聯(lián)立③④得，則，解得，即點在定直線上.【點評】關鍵點點睛：利用直線和的方程聯(lián)立,結合和化簡求出交點的橫坐標為定值是解題關鍵.9．（1），；（2）直線恒在定直線上.【分析】（1）利用橢圓關系、離心率和三角形面積可構造方程求得結果；（2）根據(jù)四點的位置關系可知，由此可得中，將直線方程代入橢圓方程，得到韋達定理形式，整理可求得，代入直線方程可知恒成立，由此可確定結論.【解析】（1）以橢圓上的一點和長軸的兩個端點為頂點的三角形面積最大時，三角形另一頂點為橢圓短軸的端點，，解得：，.（2）設，，，，，，即，即，整理可得：，設直線：，聯(lián)立直線與橢圓：，整理得：，，，在線段上，則，點恒在定直線上.【點評】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的定直線問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出所求量，通過化簡整理確定所求的定直線..10．（1）；（2）證明見解析，.【分析】（1）設橢圓C的半焦距為，由圓的定義可求得圓的半徑，再由直線與圓的相切的條件可求得，，，可求得橢圓方程．（2）設其方程為，設，，直線與橢圓的方程聯(lián)立整理得，得出根與系數(shù)的關系，表示直線MH的方程和直線GN的方程。求得兩直線的交點的橫坐標，代入，可得交點所過的定直線.【解析】（1）設橢圓C的半焦距為，由為線段中點，，所以A，Q，三點圓的圓心為，半徑為，又因為該圓與直線l相切，所以，∴，所以，，故所求橢圓方程．（2）由對稱性可知，若存在，則必為垂直于x軸的直線．依題意，直線l斜率必存在且不為0，設其方程為，設，，聯(lián)立，得，所以，故，不妨設，，所以直線MH的方程為，直線GN的方程為消去y，得故四邊形MNHG的對角線交點在定直線上．【點評】關鍵點點睛：解決直線與圓錐曲線相交的相關問題時，關鍵在于將目標條件轉(zhuǎn)化為交點的坐標間的關系，交點坐標的韋達定理上去可得以解決.11．（1）；（2）直線與直線的交點落在定直線上.【分析】（1）根據(jù)題中條件，求出，即可得出橢圓方程；（2）設直線方程為，設，，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達定理，得到，，表示出直線和的方程，聯(lián)立兩直線方程，計算為定值，即可得出結果.【解析】（1），，則，設焦距為，離心率，，，因此所求的橢圓方程為（2）設直線方程為，設，，由得，，，直線方程是，直線方程是，由，可得，解得：此直線與直線的交點落在定直線上.【點評】關鍵點點睛：求解本題第二問的關鍵在于根據(jù)點為兩直線交點，聯(lián)立兩直線方程，結合直線與橢圓聯(lián)立后的結果，利用韋達定理，通過計算，確定點橫坐標為定值，即可求解.12．（1），（2）不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)離心率得，根據(jù)的面積為．得，從而解得，可得橢圓的方程；（2）假設存在與軸不垂直的直線滿足題意，設，代入，設，，根據(jù)判別式可得，根據(jù)韋達定理得弦的中點坐標，可求得弦的垂直平分線方程，將代入可得，將其代入，得無解，故不存在符