地大版-工程高等代數(shù)答案習(xí)題五

習(xí)題 當(dāng)方程的個(gè)數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，Axb有惟一解的充分必要條件 解因?yàn)镽(A) b)n是Axb有惟一解的充要條件．故由R(A)n可得|A|0x1x2xxa xxa

x4x1 110110011001

B b 1100110a011

2aa

．a(chǎn)RAR(B)，即

3a4a3a2a10設(shè)n階方陣A的各行元素之和均為零，且R(A)n1，則線性方程組Ax0的通解 解x11xRA)n1nRA)1，即方程組的基礎(chǔ)解系中有一個(gè)向量，通解11xkk(1 11,nAn|A|0akjAkj0（其中，1knj,n則Ax0的通 解A0Akj0RAn1ainaAain

ii1

i2k

|A|

i所以

,Ak

,

TRAn1c設(shè)

xc

,

T 1 x1

n 2 A

a2,xx,b1

n 3 an1 x n a

(i

i,j1, ,n)，則非齊次線性方程組ATxb的解是x

,,0)T 1x1 1設(shè)方程 1x1有無窮多個(gè)解，則a 2

a

解a2

3 無解 (B)僅有零解(C)必有非零解 (D)可能有非零解，也可能沒有非零解答設(shè)n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩R(A)n3，且1,2,3為此方程組的三個(gè)線性無關(guān)

1,22,33122

12,23,31

3322

2142,-22+3,13答 要使(1,0,2)T，(0,1,1)T都是線性方程組Ax0的解，只要A 0 (211)

1 2

(C) (D)

2 答

12Axb的兩個(gè)不同的解，12Ax0的基礎(chǔ)解系，k1為任意常數(shù)，則Axb的通解

(

)

(

)

(

)

(

)答設(shè)nAA*0若,,,Ax=b 則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系 (A)不存在 (B)僅含一個(gè)非零解向量(C)含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量 (D)含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量答Ax=0Bx=0AB均為mn4Ax=0Bx=0RAR(BRAR(BAx=0Bx=0Ax=0Bx=0RAR(B)；④若R(A)R(B)，則Ax=0與Bx=0同解． （A） 答設(shè)A是mn矩陣，B是nm矩陣，則線性方程組ABx （A）當(dāng)nm時(shí)僅有零解 （B）當(dāng)nm時(shí)必有非零解（C）當(dāng)mn時(shí)僅有零解 （D）當(dāng)mn時(shí)必有非零解答設(shè)A是n階矩陣，是n維列向量．若秩 α秩A，則線性方程 0 （A）Ax必有無窮多解 （B）Ax必有惟一解

αx0僅有零解 （D）

αx0

x1x22x3

x4

2xxxx 2x2xx

1 x4

3x3x

x4x 343x 41 1xx2x k9 44

14

3 其中k4 4 4x1

2x2x3x4

3x16x2x33x45x10xx

解

A 5

3

x1

x4 x12x2x4x x x

x4可取任意常數(shù)

k2

x4x1 1x 0x2k kx 10 20 3

x4

0 1 11 , 0

2x13x2x35x4

3xx2x

4xx3x

x2x4x

解

5 6 RA4n3x14x2

5x37x42x3x3x

4x11x13x

7x2x x

解 7 A

16

x13

7

17 x

x

17

17x3x13x 17

17 x 17

17 x故x1 3 x 19 20x2k k x 117 203

x4 0 17 19 ,

17 00

17

4x1+2x2

x3

3x1x22x311x

2 B 210 8 8 RA2,R(B32x3yz

x2y4z3x8y2z解

4

RAR(B2x2zyz故

zx yk

1

2 z 02x

yzw

4x2y2zw2xyzw解 B

2 1 1RAR(B2x1y1z1yz

2 2 2 2x

1 y

0 0

2 0

0 y z k

z

10

22

0 0

0w

0 0 0 0 0 02x

yz

w

3x2yz3wx4y3z5w解 RAR(B2x1z1w6

yyw

5 7 67 x 1 5 7yk57

z 17

20 0 w 7 0問x1x2

x3xxx xx

D 1(1)2(2) 當(dāng)1且2D0，方程組有惟一解．當(dāng)1時(shí)，對(duì)增廣矩陣施行初等行變換111 1 B1111 111 RAR(B13，故原方程組有解且有無窮多解．當(dāng)2時(shí)，對(duì)增廣矩陣施行初等行變換 B 2 4

4 6 9 R(A)

R(B)3

x1 x2

x3 xx x x x

當(dāng)

B (1 2 (1)(2) 當(dāng)1且2RA當(dāng)1

R(B)3 B

11 0 0 RAR(B2x1x3xx xx

x1 1xxk102 1 x 03 當(dāng)2 B

2 2

0 x1x3xx xx

2xxk122 x 03

2x2

2x3設(shè) 2x1x2

4x3 問 2x 4xx 2 D 5 4(1)2(10) 5當(dāng)1且10時(shí)，方程組有惟一解．當(dāng)1時(shí)，有 B 2 0 0 RA)R(B)1x12x22x3 2 1x

k

1

002 1 2 x 0 1 0當(dāng)10

3 B 2 R(A)

R(B)3問ab

x4 2x

x(a3)x

x

(1)有惟一解，求出惟一解；(2)無解；(3)11121112221a00B033a1RAR(B4

ab2 a

a2b3B

a b

ab2a

xa2b a

a ．a(chǎn)1

11101211101221000b0000 B 0 0 所以，當(dāng)a1且b1RA2R(B)3而當(dāng)a1且b1

1 1B 00 0RAR(B2x1x3

x4x2x2x

1 x4 2x

x1

x x2k

x 1 20 3 其中

k2

x4

0

設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知1,2,3是它的三個(gè)解向量，2 13 2, 4

2

3

解n

rRA3nr1

4 16 2 2() 8 3 則1為基礎(chǔ)解系，故方程組的通解xk

3 2 k其中k

5 4 A,B都是nAB0,n)證明設(shè)B(b1, ,bn,n)

R(A)R(B)nAbj

(j1,bjAx0RA)rAx0nr，所以向量組b1,b2 ,bn的秩小于等于nr，從而R(B)nr，于是R(A)R(B)r(nr) x1x2x3x44x3x5xx axx3xbx3

證明方程組的系數(shù)矩陣A的秩RA2求ab解（1）設(shè)1,2,3Ax3 A 1,

b A(120A(13)0，即12,13Ax0的解，且線（否則，易推出1,2,3線性相關(guān)，矛盾．所以nR(A)2，即4R(A)2R(A)2．又矩陣A中有一個(gè)2階子式 110， RA2RA2（2） aaRA2

42a ,a b4a5 b B 1 x1 x3,x4為自由變量，

1 4x4 5x

4 21 xk k kk11 20 0 3 已知三階矩陣A的第一行是a c，a,b,c不全為零，矩陣B= 6（k為常數(shù) k AB=0Ax=0解AB=0RAR(B3a,bcRA1．k9R(B)2RA)1；k9R(B)1RA)1RA2①對(duì)于k9AB=01 3A20A60 3k 3k 由于12,3T,36kT線性無關(guān)，故,Ax0Ax0 ②對(duì)于k9RA2RA11RA2Ax=0A20Ax=033xc123T，其中c RA1Ax=0A的第1行是abc，且a,bc全為零，所以Ax=0axbxcx0．不妨設(shè)a0

ba0T, Ax=0Ax=0

確定常數(shù)a使向量組1,1a)T1a,1)Ta,1,1)T可由向量組1,1 (2,a,4)T，

(2aa)T線性表示，但向量組

不能由向量組,, 解B

2,

3)作初等行變換，

B(,,

)= 1

a4aa 1a4aa a a a a2

a B 0 3顯然2123線性表示，因此a2；a4時(shí)， 4B 0 顯然2,3123線性表示，因此a4a2a4R(123)3，此時(shí)向量組1,2,3123線性表C

2

a 1 a a

a 1 01 1 4

2a不能由向量組,,線性表示，必有a102aa20a1a2

綜上所述，滿足題設(shè)條件的只能是a1x12x23x3（Ⅰ）2x13x25x3

（Ⅱ）

x12

2x1

x2(c1)x3同解，求a,bc解同解，所以方程組（Ⅰ）3． 3 1 5 1 a a2 從而a2．此時(shí)，方程組（Ⅰ）23 23 013511 2 x11x21x31代入方程組（Ⅱ）b1c2或b0c當(dāng)b1c2時(shí)，對(duì)方程組（Ⅱ） 2 0 2 3 當(dāng)b0c1時(shí)，對(duì)方程組（Ⅱ） 1 1 2 綜上所述，當(dāng)a2b1c2時(shí)，方程組（Ⅰ）與（Ⅱ）(1a)x1x2xn2x(2a)x2x

(nnx1nx2(na)xn試問a11 2 12 1 10nnnna 00aAa0RA1nx1x2xn

,0)T

2(1,,,0)T (1,0, 其中k1,kn1

a0B1

1

an(n 0 0B

0

0

1

1 可知an(n1RAn1n22x1x23xx 2323

,n)T,n)Txk，其中k1設(shè)120)T1ab為何值時(shí)

(1,a2,3a)T

(1,b2,a2b)T

1,33)T,試討論當(dāng)不能由1,2,3可由1,2,3惟一地線性表示,可由1,2,3線性表示,但表示式不惟一,解設(shè)有數(shù)k1k2k3k11k22k33．A(1,2,3)．對(duì)矩陣A)施以初等行變換,有

1

1(A,) a b 3 1 a a 0 當(dāng)a0時(shí), 1 1． 可知R(A)R(A,) 故方程組無解,不能由1,2,3線性表示當(dāng)a0,ab時(shí),a 011a

1 1 1 a a 0 RARA3,k11

k1

k30可由1,2,3惟一地線性表示,(11)1 當(dāng)ab0時(shí),對(duì)矩陣A施以初等行變換,a 11a

1 1 1 a a 0 RARA2k11

k1c

k3c，其中c可由1,2,3線性表示,(11

(1c)c

(2

(4 x2x3解將(11,11)TλμB施以初等行變換, 2λ12

4

0B 11

1 1211RAR(B34，故方程組有無窮多解，且

(0,1 ,2 ,

當(dāng)12

k(0,1 ,2 ,

Tk(

k為任意常數(shù)

2

122B

10RAR(B24，故方程組有無窮多解，且

1,100)T2

(1,3,1,0)T

1202)T1212

kk(1,1,0,0)Tk(1,3,1,0)T

1 2 (k1k2為任意常數(shù)1λ2x2x31

1k2

1k2解得k

2 ,(1,1 ,

T1(2,1,1,2)T(1,0,0,1)T2 1λ2x2x3，即13k12k2k1k11k

2(1,1,0,0)T(11k)(1,3,1,0)Tk(1,2,0, 2 (11

,0)k2 , , ,其中k2為任意常數(shù)

44 l2:bx2cy3al:cx2ay3bl試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為abc0解必要性．設(shè)三條直線l1,l2,l3ax2bybx2cycx2ay

2c與增廣矩陣B

0 2a

aBc

3a6(abc)[a2b2c2abacbc] =3(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2],但根據(jù)題設(shè)(ab)2bc)2ca)20abc充分性．由abc0B0，故秩(B3 2b2(acb2)2[a(ab)b2]=2[(a1b)23b2]0 故秩(B)2．于是，秩A)秩(B)2．因此方程組有惟一解，即三直線l1,l2,l3*19．x1x2x3xxx

x12x24x3 1 1 0 0A ，b 1 4 記

2 2 xx2x3ATAxATb 6x1 2 8

2 2 18

8

3 3/5x4/52 x

3 x3,x4,

6，8，9，EE0R0IR0E0．EE0R0IE04R0E6R E

E

4 6

58A ，b 8 記E0

10 xR0ATAxATb 27E0 35 197R256

0 E0 R79/590 即 A是nEn（1）A2ARARAEn（2）A2ERAERAEn證明(1)AAE0R(A)R(AE)n

R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)(2)因?yàn)锳+EAE0R(A+E)R(AE)nR(A+E)R(AE)R(A+E)R(EA)R(AE+EA)R(2E)A是n階方陣AA的伴隨矩陣，證

R(A)R(A)

R(A)nR(A)n證明RAn，則|A|0AA|A|E知，|A|0R(ARAn1，則|A|0AA|A|E0RARAnRA1RAn1，A至少有一個(gè)n1階子式非零，ARA1RA1．RA)n1A的所有n1A0RA)0．設(shè)nARAn1k，使得A*)2kA*rRAn1nr1Ax0的基礎(chǔ)解系有一個(gè)線性無關(guān)的解向量1因?yàn)锳A*|A|E0，故矩陣A*(a,a ,

)的列向量組a,a ,a的秩不大于1，則 ,kn)(k1,k,kn)(k1,k2 ,kn)

其中k1，k2，…，kn，為任意常數(shù)．假x1x2 xn則 x x(A*)2A*A*2(k,k ,k)2(k,k ,k n x xn n xkx2(k

k ,

)

ii x xnnn其中kkixi+a1(2n)x2n21 22x+ax+2(2n) ax+axn1 n2+n(2n)

bn1

,

22 ,

n2

1(2n)2(2n) n(2n)+b1(2n)x2nb21x1+b22x2+b2(2n)bx+bxn1 n2+ n(2n)解aa1(2n)a2(2n)anan(2n)

bn1 b

12,b

22 ,b

n2

1(2n) 2(2n) n(2n)因?yàn)閎1,b2 ,bn是Ax0的基礎(chǔ)解系，所以，b1,b2 ,bn線性無關(guān)，且有2nR(A)n，即RAnAB0，得BTAT0bb1(2n)b2(2n) aa0bnbn(2n)aan(2n)令

an1 a

12,a

22 ,a

n2

1(2n) 2(2n) n(2n)因?yàn)镽(ATRA

，所以a1,a2

,,an

BTx02nR(BT)2nR(B)2nnn，可知a,a ,a是BTx0的基礎(chǔ)解系

a11a

+a12x2 +a1nxn+ax +ax 21 22 2n

+a(n1)nxnaaaaa(n1)n設(shè)Mi(i1, ,n)是A中劃去第i列所得到的n1階子式．證M1,M2 ,(1)n1MnT是方程組的一個(gè) 若R(A)n1，則方程組的所有解是M,M ,(1)n1MT 證明（1）設(shè)n

ai

a1nAi

a2n

i1,

n (n1)n則|Ai|0(i1,

|A|a(1)11M

a(1)1n (1)n1aM0(i1, ,n1)

i

ai2M2 所以，(M1,M , M)是方程組Ax0 （2）當(dāng)rRAn1，則有nr1Ax0 k

xk

M ,(1)n1M 設(shè)*Axb

,nr是對(duì)應(yīng)的齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)

*,,

nr

*,*,*

2 ,*1證明（1）設(shè)有一組數(shù)k02 ,*1

knrk*kk

0 1 2 nr則有k00．反證法，假設(shè)k00

knr k k 0 0 0由于, , 是Ax0的解，所以*也是Ax0的解，矛盾，故k0成立．于是

knrnr0又由于,

, k

0，從而可知*,

（2）

k*k(*)k 得

)

((

)0kk*1 2 nr0由(1)知，*,, , 線性無關(guān)，容易求得kk k0， 1*,* *1設(shè)非齊次線性方程組Axb的系數(shù)矩陣的秩為r， n-r+1是它的nr+1個(gè)線性無關(guān)的其中k1證明

knr1nriinr

,nrnr則nr

Ax0nr設(shè)122 nrnr0，則 nrnr10由 n-r+1線性無關(guān)知2 nr0，所以，1,2, ,nr線性無關(guān)，是Ax0的一Axblnrnrnrlnrnrnrlnrnrl1l2lnrnr令k1

k1l1，k2l2 ，knrlnr，knr1l1l2lnrlnr

(a1b)x1a2x2a3x3anxnax(ab)xaxax1

3 na1x1a2x2(a3b)x3anxn a1x1a2x2a3x3(anb)xnnn其中ai

a1a2,an和b解

= (b= (baa1a2 aaaninn當(dāng)b0且bai0時(shí)，秩An當(dāng)b0a1x1a2x2anxnn由ai0ai(i1,2,n不全為零．不妨設(shè)a10,0,,0, a a,1122,1, ,0，3,12 n

當(dāng)bai時(shí)，有b0 a1

n n a

nn

na3n

anain（將第1行的-1倍加到其余各行，再從第2行到第n行同乘以 n

倍na an n 0 0 1 （將第n行an2行的a211行移到最后一行1 01000 0010

x2x1，x3x1，,xnx1

(1,0,2)T，(1,1,3)T，(1,1,a2)T 試問：當(dāng)a為何值時(shí)，向量組（Ⅰ）與（Ⅱ）等價(jià)？當(dāng)a為何值時(shí)，向量組（Ⅰ）與（Ⅱ）解

2

1

,,,,

=

1

1

a

a

a

a

a

a

a

a（1）a1時(shí)，有行列式1,2,3a10，秩1,2,33，故線性方程組x11x22x33i(i12,3123可由向量組（Ⅰ）12360，秩1233，故1,2,3可由向量組（Ⅱ）（2）當(dāng)a1 1

,,,,

1

由于秩(1,2,3秩(1,2,31x11x22x331無解，故向量11,2,3線性表示．因此，向量組（Ⅰ）與（Ⅱ）已知4A=1,2,3,4,1,2,3,4均為4維列向量，其中2,3,412231234Ax=x1 x1x x解x2Ax,,,2=x

x3 3x4

x4x11x22x33x441234將1223代入整理得2x1x232x1x33x414．由2,3,4線性無關(guān)，2x1x23xx x10 1 xk ，其中k0 1 ax1bx2bx3bxaxbxax1bx2bx3bxaxbxbxn bxn axn解 A

當(dāng)aba1nb當(dāng)abA111111000 b

A= b a a x1x2 xn, ,T, ,T2 ,0T 1,0, ,1T

當(dāng)a1nbA

1 1 1 1 A=

1

1

11n 010001 0 ．0000 00

x1xnxx xn1xn其基礎(chǔ)解系為 ,1T．方程組的全部解是xc（c為任意常數(shù)2x1