新高考數(shù)學(xué)專題23 運(yùn)用正余弦定理研究三角形或多邊形（教師版）

專題23運(yùn)用正余弦定理研究三角形或多邊形關(guān)于三角形或者多邊形中的邊角以及面積等問題是三角函數(shù)模塊中重點(diǎn)考查的問題，對于此類問題涉及的知識點(diǎn)為正余弦定理，題目中往往給出多邊形，因此，就要根據(jù)題目所給的條件，標(biāo)出邊和角，合理的選擇三角形，盡量選擇邊和角都比較多的條件的三角形，然后運(yùn)用正余弦定理解決一、題型選講（更多免費(fèi)資源關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪&思維方糖研究所）題型一、運(yùn)用正余弦定理研究三角形中的問題例1、【2020年高考江蘇】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．【解析】（1）在中，因?yàn)?，由余弦定理，得，所?在中，由正弦定理，得，所以（2）在中，因?yàn)?所以為鈍角，而,所以為銳角.故則.因?yàn)?，所以?從而變式1、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）在①;②這兩個(gè)條件中任選-一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題.在中，角的對邊分別為，已知，.(1)求;(2)如圖，為邊上一點(diǎn)，，求的面積【解析】若選擇條件①，則答案為:(1)在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?(2)解法1:設(shè)，易知在中由余弦定理得:，解得.所以在中，所以，所以，所以解法2:因?yàn)?，所以，因?yàn)樗?，所以因?yàn)闉殇J角，所以又所以所以若選擇條件②，則答案為:(1)因?yàn)?，所以，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，所以.(2)同選擇①變式2、(2019徐州、連云港、宿遷三檢）ABCD如圖，在中，已知點(diǎn)在邊上，，，，．ABCD（1）求的值；（2）求的長．【解析】：（1）在中，，，所以．同理可得，．所以．（2）在中，由正弦定理得，．又，所以．在中，由余弦定理得，．變式3、（2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三3月模擬）在中，，為的平分線，，則___________．【答案】【解析】原題圖形如圖所示：則：設(shè)，則，又解得：本題正確結(jié)果：變式4、【2019年高考浙江卷】在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則___________，___________．【答案】，【解析】如圖，在中，由正弦定理有：，而，，，所以..題型二、運(yùn)用正余弦定理研究多邊形中的問題例2、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.變式1、(2018徐州、連云港、宿遷三檢）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2eq\r(10)，∠CAD＝eq\f(π,4)，tan∠ADC＝－2.(1)求CD的長；(2)求△BCD的面積．【解析】：(1)因?yàn)閠an∠ADC＝－2，且∠ADC∈(0，π)，所以sin∠ADC＝eq\f(2\r(5),5)，cos∠ADC＝－eq\f(\r(5),5).所以sin∠ACD＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－∠ADC－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠ADC＋\f(π,4)))＝sin∠ADC·coseq\f(π,4)＋cos∠ADC·sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(10),10)，(6分)在△ADC中，由正弦定理得CD＝eq\f(AD·sin∠DAC,sin∠ACD)＝eq\r(5)因?yàn)锳D∥BC,所以cos∠BCD＝－cos∠ADC＝eq\f(\r(5),5)，sin∠BCD＝sin∠ADC＝eq\f(2\r(5),5)在△BDC中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，得BC2－2BC－35＝0，解得BC＝7,(12分)所以S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CD·sin∠BCD＝eq\f(1,2)×7×eq\r(5)×eq\f(2\r(5),5)＝7.變式2、（2017年蘇北四市模擬）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝eq\r(65)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝50.(1)求cos∠BAC的值；(2)求sin∠CAD的值；(3)求△BAD的面積．【解析】：(1)因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A\o(B,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A\o(C,\s\up6(→))))cos∠BAC，所以cos∠BAC＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A\o(B,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A\o(C,\s\up6(→)))))＝eq\f(50,13×10)＝eq\f(5,13).(2)在△ADC中，AC＝10，AD＝5，CD＝eq\r(65).由余弦定理，得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(102＋52－\r(65)2,2×10×5)＝eq\f(3,5).因?yàn)椤螩AD∈(0，π)，所以sin∠CAD＝eq\r(1－cos2∠CAD)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5).(3)由(1)知，cos∠BAC＝eq\f(5,13).因?yàn)椤螧AC∈(0，π)，所以sin∠BAC＝eq\r(1－cos2∠BAC)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13).從而sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝sin∠BACcos∠CAD＋cos∠BACsin∠CAD＝eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(5,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(56,65).所以S△BAD＝eq\f(1,2)AB·AD·sin∠BAD＝eq\f(1,2)×13×5×eq\f(56,65)＝28.題型三、運(yùn)用正余弦定理研究情境中的三角形或多邊形問題例3、（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）泉城廣場上矗立著的“泉標(biāo)”，成為泉城濟(jì)南的標(biāo)志和象征．為了測量“泉標(biāo)”高度，某同學(xué)在“泉標(biāo)”的正西方向的點(diǎn)A處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為，沿點(diǎn)A向北偏東前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測得“泉標(biāo)”頂端的仰角為，則“泉標(biāo)”的高度為（）A．50m B．100m C．120m D．150m【答案】A【解析】如圖,為“泉標(biāo)”高度,設(shè)高為米，由題意,平面,米,，．

在中,,在中,,

在中,，,，,

由余弦定理可得，

解得或(舍去),

故選：B.變式1、（2020·山東新泰市第一中學(xué)高三月考）某環(huán)保監(jiān)督組織為了監(jiān)控和保護(hù)洞庭湖候鳥繁殖區(qū)域，需測量繁殖區(qū)域內(nèi)某濕地、兩地間的距離（如圖），環(huán)保監(jiān)督組織測繪員在（同一平面內(nèi)）同一直線上的三個(gè)測量點(diǎn)、、，從點(diǎn)測得，從點(diǎn)測得，，從點(diǎn)測得，并測得，（單位：千米），測得、兩點(diǎn)的距離為___________千米.【答案】【解析】在中，，，，，則，在中，，，，則，由正弦定理得，可得，在中，，，，由余弦定理得，因此，（千米）.故答案為：.變式2、（2020屆山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期中）“我將來要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一塊麥田里玩，幾千萬的小孩子，附近沒有一個(gè)大人，我是說……除了我”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田.假設(shè)霍爾頓在一塊成凸四邊形的麥田里成為守望者，如圖所示，為了分割麥田，他將連接，設(shè)中邊所對的角為，中邊所對的角為，經(jīng)測量已知，.（1）霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，為一個(gè)定值，請你驗(yàn)證霍爾頓的結(jié)論，并求出這個(gè)定值；（2）霍爾頓發(fā)現(xiàn)麥田的生長于土地面積的平方呈正相關(guān)，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出的最大值.【解析】（1）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，則，；（2），，則，由（1）知：，代入上式得：，配方得：，當(dāng)時(shí)，取到最大值.變式3、(2017南京、鹽城二模）如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)，選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D，測得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10m，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB＝________m.【答案】30解析：在△BCD中，由正弦定理得BC＝eq\f(sin120°,sin30°)·10＝10eq\r(3)(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝30(m)．二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020屆浙江省十校聯(lián)盟高三下學(xué)期開學(xué)）如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則______，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，則的面積為______.【答案】10【解析】因?yàn)椋?，，由正弦定理可得：，所以，則；，，由余弦定理可得：，解可得（舍或，所以，．故答案為：，10．2、(2018南通、揚(yáng)州、淮安、連云港二調(diào)）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，點(diǎn)D在邊BC上，∠BAD＝45°，則tan∠CAD的值為________．【答案】eq\f(8＋\r(15),7)【解析】、從構(gòu)造角的角度觀察分析，可以從差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可以從和的角度(∠A＝∠CAD＋45°)，所以只需從余弦定理入手求出∠A的正切值，問題就迎刃而解了．解法1在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝eq\f(32＋22－42,2×3×2)＝－eq\f(1,4)，所以tanA＝－eq\r(15)，于是tan∠CAD＝tan(A－45°)＝eq\f(tanA－tan45°,1＋tanAtan45°)＝eq\f(8＋\r(15),7).解法2由解法1得tanA＝－eq\r(15).由tan(45°＋∠CAD)＝－eq\r(15)得eq\f(tan45°＋tan∠CAD,1－tan45°tan∠CAD)＝－eq\r(15)，即eq\f(1＋tan∠CAD,1－tan∠CAD)＝－eq\r(15)，解得tan∠CAD＝eq\f(8＋\r(15),7).3、（2020屆浙江省高中發(fā)展共同體高三上期末）在中，，的平分線交邊于.若.，則___________.【答案】【解析】中，由正弦定理可得，，所以，為的平分線即，.故答案為：.4、(2019南通、揚(yáng)州、淮安、連云港二調(diào)）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，點(diǎn)D在邊BC上，∠BAD＝45°，則tan∠CAD的值為________．【答案】eq\f(8＋\r(15),7)【解析】、從構(gòu)造角的角度觀察分析，可以從差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可以從和的角度(∠A＝∠CAD＋45°)，所以只需從余弦定理入手求出∠A的正切值，問題就迎刃而解了．解法1在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝eq\f(32＋22－42,2×3×2)＝－eq\f(1,4)，所以tanA＝－eq\r(15)，于是tan∠CAD＝tan(A－45°)＝eq\f(tanA－tan45°,1＋tanAtan45°)＝eq\f(8＋\r(15),7).解法2由解法1得tanA＝－eq\r(15).由tan(45°＋∠CAD)＝－eq\r(15)得eq\f(tan45°＋tan∠CAD,1－tan45°tan∠CAD)＝－eq\r(15)，即eq\f(1＋tan∠CAD,1－tan∠CAD)＝－eq\r(15)，解得tan∠CAD＝eq\f(8＋\r(15),7).5、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）在①面積，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，求.如圖，在平面四邊形中，，，______，，求.【解析】選擇①：所以；由余弦定理可得所以選擇②設(shè)，則，，在中，即所以在中，，即所以.所以，解得，又，所以，所以.6、（2020屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）如圖,某市三地A,B,C有直道互通.現(xiàn)甲交警沿路線AB?乙交警沿路線ACB同時(shí)從A地出發(fā),勻速前往B地進(jìn)行巡邏,并在B地會合后再去執(zhí)行其他任務(wù).已知AB=10km,AC=6km,BC=8km,甲的巡邏速度為5km/h,乙的巡邏速度為10km/h.(1)求乙到達(dá)C地這一時(shí)刻的甲?乙兩交警之間的距離;(2)已知交警的對講機(jī)的有效通