7.2-7.3 離散型隨機(jī)變量 -(人教A版2019選擇性必修第二、三冊(cè)) (教師版)

離散型隨機(jī)變量一離散型隨機(jī)變量及其分布列1隨機(jī)變量①概念一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.②分類隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量.Eg:投擲一個(gè)骰子，得到的點(diǎn)數(shù)為X，它是離散型隨機(jī)變量，能夠一一列舉出來；一人一天攝取的卡路里Y，它是連續(xù)型隨機(jī)變量.2分布列①概念一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,?,xiXxx?x?xPpp?p?p為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱X的分布列.②性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì)13兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X01P1-pp則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱p=P(X=1)為成功概率.二離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征1離散隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）(1)概念一般地，隨機(jī)變量X的概率分布列為Xxx?x?xPpp?p?p則稱EX=x1它是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)若Y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，則Y也是變量Yaa?a?aPpp?p?p則E(Y)=aE(X)+b，即E(aX+b)=aE(X)+b.(利用期望的概念可以證明)(3)一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E即若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p.2離散型隨機(jī)變量取值的方差和標(biāo)準(zhǔn)差（1）一般地,若離散型隨機(jī)變量x的概率分布列為Xxx?x?xPpp?p?p則稱D為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)候也記為V(x)，并稱D(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.(2)一般地，D(aX+b)=a2D(X)(3)DX=E(X證明D=====E=E=E(【題型一】離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)【典題1】設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列如表：ξ123456Paaaaaa其中a1,a2,…,aA．最大值為19B．最大值為136C．最小值為19 【解析】a1+a2+所以a1a6所以a1a6故選：B．【典題2】設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k5)=ak(k=1,2,3,4,5)，則A．15a=1 B．P(0.5<ξ<0.8)=0.2 C．P(0.1<ξ<0.5)=0.2 D．P(ξ=1)=0.3【解析】由題意可得a+2a+3a+4a+5a=1，即15a=1，故A正確；P(0.5<ξ<0.8)=P(ξ=35)=3a=P(0.1<ξ<0.5)=p(ξ=15)+p(ξ=Pξ=1=1故選：ABC．【點(diǎn)撥】離散型隨機(jī)變量的分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì)：1鞏固練習(xí)1(★)若隨機(jī)變量X的分布列如表：X﹣﹣0123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(X<m)=0.5時(shí)，m的取值范圍是()A．m≤2 B．0<m≤1 C．0<m≤2 D．1<m<2【答案】B【解析】由題意可得P(X<－2)=0.1，P(X<0)=0.3，P(X<1)=0.5，則m∈(0，1]．故選：B．2(★)設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k4)=ak(k=1,2,3,4)，則P(1A．15 B．14 C．13 D【答案】D【解析】∵隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k∴a+2a+3a+4a=1，解得a=0.1，∴P(13<ξ<45)=P(ξ=2故選：D．3(★)已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ﹣﹣0123P112312412112212112若P(ξ2<x)=1112，則實(shí)數(shù)A．4<x≤9 B．4≤x<9 C．x<4或x≥9 D．x≤4或x【答案】A【解析】由隨機(jī)變量ξ的分布列，知：ξ2的可能取值為0，1，4，9，且P(ξ2=0)=412，P(ξ2P(ξ2=4)=112+212=∵P(ξ2<x)=∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是4<x≤9．故選：A．【題型二】離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征【典題1】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=3X+1，則下列結(jié)果正確的有()A．q=0.2 B．EX=2,DX=1.4C．EX=2,DX=1.8 D．EY=7,DY=16.2【解析】由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)得：q=1－E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2，DX∵離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=3X+1，∴E(Y)=3E(X)+1=7，D(Y)=9D(X)=16.2故選：CD.【點(diǎn)撥】①熟悉期望EX=i=1②熟悉公式E(aX+b)=aE(X)+b和D(aX+b)=a【典題2】已知A=B={1,2,3}，分別從集合A,B中各隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a,b，得到平面上一個(gè)點(diǎn)P(a,b)，事件“點(diǎn)P(a,bA．P4=2P2C．E(X)=4 D．D(X)=【解析】由題意得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有9種可能：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)，∴對(duì)應(yīng)的X的可能取值為2,3,4,5,6，P(X=2)=1(先求出隨機(jī)變量x的分布列)對(duì)于A，p4=P(X=4)=3對(duì)于B，P(3≤X≤5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=29+對(duì)于C，E(X)=2×19+3×對(duì)于D，D(X)=2－42故選：BCD．【典題3】已知隨機(jī)變量X的分布列如表：X－01Pabc其中a,b,c＞0．若X的方差DX≤13對(duì)所有a∈(0,1A．b≤13 B．b≤23 C．【解析】依題意a+b+c=1，故c=1－當(dāng)a∈(0,1－b)時(shí)，故EX=DX=EX=(a+c)－令1－b=tDX=t－t2故4a2－當(dāng)a=t2時(shí)DX有最小值，故故t≤13，即－1故選：D．【點(diǎn)撥】方差DX與期望EX之間除了DXDX=EX鞏固練習(xí)1(★★)【多選題】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X1234P0.20.10.2q若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2X+1，則下列結(jié)果正確的有()A．q=0.2 B．E(X)=3,D(X)=1.4 C．E(X)=2,D(X)=1.8 D．E(Y)=7,D(Y)=5.6【答案】CD【解析】由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)得：q=1－E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2，DX∵離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=3X+1，∴E(Y)=3E(X)+1=7，故選：CD2(★★)【多選題】已知隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ－01p121-p2p2隨機(jī)變量η的分布列是η123P121-p2p2則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，下列選項(xiàng)中正確的是()A．E(ξ)=E(ξ) B．V(ξ)=V(η) C．E(ξ)增大 D．V(η)先增大后減小【答案】BC【解析】對(duì)于A，∵η=ξ+2，∴E(η)=E(ξ)+2，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵η=ξ+2，∴V(ξ)=V(η)，故B正確；對(duì)于C，∵E(ξ)=∴當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，E(ξ)增大，故C正確；對(duì)于D，∵E(η)=∴V(η)=(-12-p2)2∴當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，V(η)單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【題型三】求離散型隨機(jī)變量的分布列【典題1】甲、乙兩袋裝有除顏色外其余均相同的白球和黑球若干個(gè)，其中甲袋裝有2個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙袋裝有1個(gè)白球，3個(gè)黑球；現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取2個(gè)球，記取到白球的個(gè)數(shù)為ξ，則P(ξ=2)=，E(ξ)=．【解析】由題意可得：ξ=0,1,2,3，P(ξ=0)=C22P(ξ=2)=C可得其分布列：ξ0123P(ξ)1551E(ξ)=0×故答案為：512，3【點(diǎn)撥】①古典概型事件A的概率P(A)=事件②若事件A與事件B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B).③求出分布列最好利用p1+【典題2】甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員站在A,B,C三處進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，每人在這三處各投籃一次，每人每次投籃是否投中均相互獨(dú)立，且甲、乙兩人在A,B,(1)設(shè)X表示甲運(yùn)動(dòng)員投中的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員共投中的個(gè)數(shù)不少于5的概率．【解析】(1)根據(jù)題意可知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3，所以P(X=0)=(1-P(X=1)=1P(X=2)=1P(X=3)=1所以隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P11111隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×(2)設(shè)Y表示乙運(yùn)動(dòng)員投中的個(gè)數(shù)，同(1)可知，所以P(Y=0)=14，P(Y=1)=1124，所以P(X=2,Y=3)=P(X=3,Y=2)=14×所以P(X+Y≥所以甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員共投中的個(gè)數(shù)不少于5的概率為13576【點(diǎn)撥】此類型題目項(xiàng)目較多，其關(guān)系在做題過程中是容易混亂的，做錯(cuò)了歸結(jié)粗心也不合適，建議在草稿紙上列個(gè)表格出來那就清晰多了，【典題3】核酸檢測(cè)是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì)，如果有病毒，樣本檢測(cè)會(huì)呈現(xiàn)陽性，否則為陰性．根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測(cè)呈陽性的概率為p(0<p<1)方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：四個(gè)樣本混在一起化驗(yàn)；方案三：平均分成兩組化驗(yàn)．在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢查能力不足，化檢次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．(1)若p=14(2)若p=12，現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，請(qǐng)問：方案一、二、三中哪個(gè)最“(3)若對(duì)4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，且“方案一”比“方案二”更“優(yōu)”，求p的取值范圍．【解析】(1)由題意可知，2個(gè)疑似病例樣本混合化驗(yàn)結(jié)果均為陰性的概率為(1-2個(gè)疑似病例樣本混合化驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率為P=1-(2)方案一：逐一檢測(cè)，檢驗(yàn)次數(shù)為4次；方案二：檢測(cè)次數(shù)為X，X的可能取值為1,5，(混在一起4例均陰性則X=1，若成陽性還要逐一化驗(yàn)，則X所以P(X=1)=(12)所以X的分布列為：X15P115X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1×1方案三：每組兩個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，若呈陰性，檢測(cè)次數(shù)為1，概率為14；若呈陽性，則檢測(cè)次數(shù)為3，概率為3(先考慮一組檢測(cè)情況)設(shè)方案三的檢測(cè)次數(shù)為隨機(jī)變量Y，則Y的可能取值為2,4,6，所以P(Y=2)=(14)2=所以隨機(jī)變量Y的分布列為：Y246P139Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=2×1比較可得4<E(X)<E(Y)，故選擇方案一最“優(yōu)”；(3)方案二：即檢測(cè)次數(shù)為Z，則隨機(jī)變量Z的可能取值為1,5，所以PZ=1隨機(jī)變量Z的分布列為：Z15P11所以Z的數(shù)學(xué)期望為E(Z)=1由于“方案一”比“方案二”更“優(yōu)”，則E(Z)=5－可得1－p4故當(dāng)1-22<p<1時(shí)，方案一比方案二更【點(diǎn)撥】該題型屬于“方案問題”，閱讀量大，需要較好的篩選有效信息的能力，在讀題過程中可先標(biāo)出重要信息，也可通過列表的方式確定隨機(jī)變量x、y鞏固練習(xí)1(★★)小張的公司年會(huì)有一小游戲：箱子中有材質(zhì)和大小完全相同的六個(gè)小球，其中三個(gè)球標(biāo)有號(hào)碼1，兩個(gè)球標(biāo)有號(hào)碼2，一個(gè)球標(biāo)有號(hào)碼3，有放回的從箱子中取兩次球，每次取一個(gè)，設(shè)第一個(gè)球的號(hào)碼是x，第二個(gè)球的號(hào)碼是y，記ξ=x+2y，則P(ξ=7)=；若公司規(guī)定ξ=9,8,7時(shí)，分別為一二三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金分別為1000元，500元，200元，其余無獎(jiǎng)．則小張玩游戲一次獲得獎(jiǎng)金的期望為元．【答案】536；【解析】抽中號(hào)碼是1的概率為12，抽中號(hào)碼是2的概率為13，抽中號(hào)碼是3的概率為令x+2y=7，則有x=1y=3或x=3所以P(ξ=7)=P(ξ=8)=P(x=2，y=3)=P(ξ=9)=P(x=3，y=3)=所以玩游戲一次獲得獎(jiǎng)金的期望為E(獲得獎(jiǎng)金)=1000×136+500×故答案為：536；2503．2(★★)某商場(chǎng)在兒童節(jié)矩形回饋顧客活動(dòng)，凡在商場(chǎng)消費(fèi)滿100元者即可參加射擊贏玩具活動(dòng)，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎(jiǎng)且不再繼續(xù)射擊，否則一直射擊到3次為止，設(shè)甲每次擊中的概率為p(p≠0)，射擊參數(shù)為η，若η的數(shù)學(xué)期望E(η)＞74，則p【答案】(0，0.5)【解析】根據(jù)題意，每次擊中的概率為p，即P(η=1)=p，二次射擊成功的概率P(η=2)=p(1－p)，三次射擊成功的概率P(η=3)=(1－p)2，則Ex=p+2p(1－p)+3(1－p)2=p2－3p+3，依題意有E(η)＞74，則p2－3p+3解可得，p＞2.5或p<0.5，結(jié)合p的實(shí)際意義，可得0<p<0.5，即p∈(0，0.5)故答案為：(0，0.5)．3(★★★)某游戲的參與者現(xiàn)在從標(biāo)有5,6,7,8,9的相同小球中隨機(jī)摸取一個(gè)，將小球上的數(shù)字作為其賭金(單位：元)；隨后放回該小球，再隨機(jī)摸取兩個(gè)小球，將兩個(gè)小球上數(shù)字之差的絕對(duì)值的2倍作為其獎(jiǎng)金(單位：元)，若隨機(jī)變量ξ和η分別表示參與者在每一局游戲中的賭金與獎(jiǎng)金，則E(ξ)－E(η)=(元)；D(ξ)－D(η)=【答案】3，－2【解析】由題意可得：①P(ξ=k)=15(k=5，6，7，∴E(ξ)=15(5+6+7+8+9)=7，D(ξ)=15[(5－7)2+(6－7)2+(7－7)2+(8－7)②P(η=2)=4C52=25，P(η=4)=可得η分布列：η2468P2311可得：E(η)=2×25+4×310+D(η)=(2－4)2×25+(4－4)2×310+(6－4)2∴E(ξ)－E(η)=7－4=3(元)；D(ξ)－D(η)=2－4=－2(元)．故答案為：3，－2．4(★★★)某合資企業(yè)招聘大學(xué)生時(shí)加試英語聽力，待測(cè)試的小組中有男、女生共10人(其中女生人數(shù)多于男生人數(shù))，若從中隨機(jī)選2人，其中恰為一男一女的概率為815．求該小組中女生的人數(shù)為；若該小組中每個(gè)女生通過測(cè)試的概率均為34，每個(gè)男生通過測(cè)試的概率均為23．現(xiàn)對(duì)該小組中男生甲、男生乙和女生丙3人進(jìn)行測(cè)試．記這3人中通過測(cè)試的人數(shù)為隨機(jī)變量X【答案】6；25【解析】設(shè)女生的人數(shù)為n，則男生人數(shù)為10－n，且n＞5，∴815=Cn1C10-n1C102由題意可知X的取值為0，1，2，3，P(X=0)=13×13×14P(X=2)=23×23×14∴E(X)=0×136+1×736故答案為：6；2512．5(★★★)春節(jié)逛廟會(huì)，是中國特有的集吃喝玩樂于一體的傳統(tǒng)民俗文化活動(dòng)，在一次廟會(huì)上，有個(gè)“套圈游戲”，規(guī)則如下：每組每人3個(gè)圓環(huán)，向A,B兩個(gè)目標(biāo)投擲，先向目標(biāo)A連續(xù)擲兩次，每套中一次得1分，都沒有套中不得分，再向目標(biāo)B擲一次，每套中一次得2分，沒有套中不得分，根據(jù)最終得分由主辦方發(fā)放獎(jiǎng)品．已知小華每投擲一次，套中目標(biāo)A的概率為34，套中目標(biāo)B的概率為12(1)求小華在一組游戲中恰好套中一次的概率；(2)求小華在一組游戲中的總分X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)小華非常喜歡這個(gè)游戲，連續(xù)玩了5組套圈游戲，假設(shè)小華每組投擲的結(jié)果相互獨(dú)立，求小華恰有3組套圈游戲中得2分或者3分的概率．【答案】（1）732（2）52（3【解析】(1)設(shè)小華恰好套中1次為事件A，P(A)=34(2)由題意得X的可能取值為0，1，2，3，4，P(X=0)=14×14×1P(X=2)=34×34×1P(X=4)=3故X的分布列是：X01234P(X)132316516316932故E(X)=0×132+1×316+2(3)設(shè)小華1組中得2分或3分的事件為B，則P(B)=P(X=2)+P(X=3)=5設(shè)5組游戲中，小華恰有3組游戲中得2分或3分為事件C，則P(B)=1-1則P(C)=C56(★★★★)體檢時(shí)，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對(duì)其血液采樣進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾?。蝗?/p>