彈性力學(xué)第四章應(yīng)力應(yīng)變研究材料課件

在應(yīng)力分析中，僅從靜力學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，引入了9個(gè)應(yīng)力分量，它們滿足三個(gè)平衡微分（運(yùn)動(dòng)方程）剪應(yīng)力互等定理，由此得到應(yīng)力張量對(duì)稱的結(jié)論，因此獨(dú)立的應(yīng)力分量只有六個(gè)。在應(yīng)變分析中，從物體的幾何連續(xù)性觀點(diǎn)出發(fā)，研究物體變形，得到三個(gè)位移分量和6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量。這樣我們總共引入了十五個(gè)變量，它們滿足的方程只有九個(gè):第四章應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系1調(diào)研學(xué)習(xí)在應(yīng)力分析中，僅從靜力學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，引入了9個(gè)其中是已知的體力。從數(shù)學(xué)分析的角度，上述方程是不封閉的，因此沒有唯一的一組解。還需補(bǔ)充六個(gè)方程，使得方程組封閉。另外，應(yīng)力與應(yīng)變是相輔相成的，有應(yīng)力就有應(yīng)變，反之亦然。對(duì)于每一種材料在一定溫度下，它們之間存在著確定的關(guān)系，反映了材料的固有特性。本章的任務(wù)就是建立在彈性階段應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系。

2調(diào)研學(xué)習(xí)其中是已知的體力。從數(shù)學(xué)分析的角度，上述方程是不封閉的，第四章應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系第一節(jié)廣義胡克定律第二節(jié)彈性變形過程中的能量第三節(jié)各向異性彈性體第四節(jié)各向同性彈性體第五節(jié)彈性常數(shù)的測(cè)定各向同性體應(yīng)變能密度3調(diào)研學(xué)習(xí)第四章應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系第一節(jié)廣義胡克定律3調(diào)研學(xué)習(xí)第一節(jié)廣義胡克定律

物體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由6個(gè)應(yīng)力分量所確定，同一點(diǎn)附近的變形狀態(tài)由6個(gè)應(yīng)變分量所確定。應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系可表示為:(4-1)4調(diào)研學(xué)習(xí)第一節(jié)廣義胡克定律物體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由6個(gè)應(yīng)力

當(dāng)變形較小時(shí)，可展開成泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階以上的小量。5調(diào)研學(xué)習(xí)當(dāng)變形較小時(shí)，可展開成泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階

由沒有初應(yīng)力的基本假設(shè)，上式可表示為

上式中(m,n=1,2…6)是彈性系數(shù)，共36個(gè)，對(duì)于均勻材料它們?yōu)槌?shù),稱為彈性常數(shù),與坐標(biāo)無關(guān)。(4-2)6調(diào)研學(xué)習(xí)由沒有初應(yīng)力的基本假設(shè)，上式可表示為上式中

上式即為廣義胡克定律，可以看出應(yīng)力和應(yīng)變之間是線性的?？梢宰C明各彈性常數(shù)之間存在關(guān)系式

=

。對(duì)于最一般的各向異性介質(zhì)，彈性常數(shù)也只有21個(gè)。7調(diào)研學(xué)習(xí)7調(diào)研學(xué)習(xí)§4.2彈性體變形過程中的功與能本節(jié)使用熱力學(xué)的原理推導(dǎo)能量形式的物理方程（本構(gòu)關(guān)系）。外力作用——彈性體變形——變形過程外力作功——彈性體內(nèi)的能量也發(fā)生變化。8調(diào)研學(xué)習(xí)§4.2彈性體變形過程中的功與能本節(jié)使用熱力學(xué)的原理推導(dǎo)能絕熱過程：利用熱力學(xué)第一定律等溫過程：利用熱力學(xué)第二定律9調(diào)研學(xué)習(xí)絕熱過程：利用熱力學(xué)第一定律等溫過程：利用熱力學(xué)第二定律9調(diào)統(tǒng)一的形式：彈性體的應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式10調(diào)研學(xué)習(xí)統(tǒng)一的形式：彈性體的應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式10調(diào)研學(xué)習(xí)§4.3

各向異性彈性體1.極端各向異性彈性體根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)次序可交換原則，可證C25=C52。對(duì)于其它的彈性常數(shù)可以作同樣的分析，則

Cmn=Cnm

。

上述結(jié)論表明完全各向異性彈性體只有21個(gè)彈性常數(shù)。11調(diào)研學(xué)習(xí)§4.3各向異性彈性體1.極端各向異性彈性體根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)次2．具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體

如果物體內(nèi)每一點(diǎn)都存在這樣一個(gè)平面，和該面對(duì)稱的方向具有相同的彈性性質(zhì)，則稱該平面為物體的彈性對(duì)稱面。垂直于彈性對(duì)稱面的方向稱為物體的彈性主方向。假設(shè)yz坐標(biāo)面為彈性對(duì)稱面，則x軸為彈性主方向。將x軸繞動(dòng)

z軸轉(zhuǎn)動(dòng)π角度，成為新的Ox'y'z'坐標(biāo)系。xyzx’-100y’010z’001新舊坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為12調(diào)研學(xué)習(xí)2．具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體如果物體內(nèi)每一點(diǎn)都存根據(jù)對(duì)稱性質(zhì):關(guān)于x軸對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)保持不變，而關(guān)于x軸反對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)取負(fù)值（也可按照轉(zhuǎn)軸時(shí)的變換公式計(jì)算）。有,sx'=sx，sy'=sy，sz'=sz，tx'y'=-txy，ty'z'=tyz，tz'x'=-tzxex'=ex，ey'=ey，ez'=ez，gx'y'=-gxy，gy'z'=gyz，gz'x'=-gzx根據(jù)完全各向異性彈性體的本構(gòu)方程，將上述關(guān)系式代入廣義胡克定律表達(dá)式(4-2)得13調(diào)研學(xué)習(xí)根據(jù)對(duì)稱性質(zhì):關(guān)于x軸對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)保持將上式與式(4-2)相比較，要使變換后的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系保持不變，則必須有

C15=C16=C25=C26=C35=C36=C45=C46=0對(duì)于具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體，其彈性常數(shù)由21個(gè)將減少為13個(gè)。

14調(diào)研學(xué)習(xí)將上式與式(4-2)相比較，要使變換后的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系保持不3．正交各向異性彈性體

假設(shè)物體內(nèi)每一點(diǎn)具有兩個(gè)彈性對(duì)稱面，以下類似地推演具有兩個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體的本構(gòu)方程。

設(shè)

xz平面也是彈性對(duì)稱面，即y軸也是彈性主方向，將

y軸繞動(dòng)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)p角度，成為新的Ox'y'z'坐標(biāo)系,

如圖所示。

15調(diào)研學(xué)習(xí)3．正交各向異性彈性體假設(shè)物體內(nèi)每一點(diǎn)具有兩個(gè)彈性對(duì)稱面，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì),關(guān)于y

軸對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)也保持不變，而關(guān)于y

軸反對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)取負(fù)值。所以，則新舊坐標(biāo)系下的應(yīng)力和應(yīng)變分量的關(guān)系為sx'=sx，sy'=sy，sz'=sz，tx'y'=-txy，ty'z'=-tyz，tz'x'=tzx

ex'=ex，ey'=ey，ez'=ez，gx'y'=-gxy，gy'z'=-gyz，gz'x'=gzx

將上述關(guān)于y軸彈性對(duì)稱的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系代入具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性材料本構(gòu)關(guān)系。為保持應(yīng)力和應(yīng)變?cè)谧鴺?biāo)變換后不變，則必有C14=C24=C34=C56=0其彈性常數(shù)由13個(gè)將減少為9個(gè)。于是其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡化為

(4-10)

16調(diào)研學(xué)習(xí)根據(jù)對(duì)稱性質(zhì),關(guān)于y軸對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)兩個(gè)彈性對(duì)稱面9個(gè)彈性常數(shù)相互垂直的3個(gè)平面中有兩個(gè)彈性對(duì)稱面，第三個(gè)必為彈性對(duì)稱面彈性體的拉壓與剪切變形,不同平面內(nèi)的剪切之間沒有耦合作用,稱為正交各向異性體。正應(yīng)力僅與正應(yīng)變有關(guān)；切應(yīng)力僅與對(duì)應(yīng)的切應(yīng)變有關(guān)。17調(diào)研學(xué)習(xí)兩個(gè)彈性對(duì)稱面9個(gè)彈性常數(shù)相互垂直的3個(gè)平面中有兩個(gè)彈性對(duì)4橫觀各向同性彈性體

假如過彈性體中的任意點(diǎn)都有一個(gè)平面，在這個(gè)平面內(nèi)，從各個(gè)方向看，彈性關(guān)系都相同。18調(diào)研學(xué)習(xí)4橫觀各向同性彈性體18調(diào)研學(xué)習(xí)不妨假定oxy面和平行于oxy面的平面就是這樣的各向同性面。討論在這種情況下的彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，最方便的是將x、y軸繞z軸旋轉(zhuǎn)900，得到新的坐標(biāo)系ox/y/z/，新系和舊系之間的關(guān)系如下

19調(diào)研學(xué)習(xí)不妨假定oxy面和平行于oxy面的平面就是這樣的各向同性面。

xyzx/010y/-100z/001在新舊坐標(biāo)系之間，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的變換關(guān)系為

(a)

20調(diào)研學(xué)習(xí)

xyzx/010y/-100z/001在新舊坐標(biāo)系之間，應(yīng)(b)

利用式(4-10)和(a),(b)

將以上諸式與(4-10)比較可得

21調(diào)研學(xué)習(xí)(b)利用式(4-10)和(a),(b)將以上諸式與(4因此(4-10)變?yōu)?/p>

(c)22調(diào)研學(xué)習(xí)因此(4-10)變?yōu)?c)22調(diào)研學(xué)習(xí)獨(dú)立的彈性常數(shù)有6個(gè)，用矩陣表示為

然后將坐標(biāo)系oxyz繞z軸轉(zhuǎn)450，得到新坐標(biāo)系ox/y/z/，新舊坐標(biāo)系的關(guān)系如下

23調(diào)研學(xué)習(xí)獨(dú)立的彈性常數(shù)有6個(gè)，用矩陣表示為然后將坐標(biāo)系oxyz繞z

xyzx/0y/0z/001按照同樣的方法，可以得到

因此(c)式變?yōu)?/p>

24調(diào)研學(xué)習(xí)

xyzx/0y/0z/001按照同樣的方法，可以得到因此具有一個(gè)各向同性面的彈性材料稱為橫觀各向同性材料，這種材料的獨(dú)立的彈性常數(shù)有5個(gè)。(4-11)

25調(diào)研學(xué)習(xí)具有一個(gè)各向同性面的彈性材料稱為橫觀各向同性材料，這種材料的物理意義——物體各個(gè)方向上的彈性性質(zhì)完全相同，即物理性質(zhì)的完全對(duì)稱。數(shù)學(xué)反映——應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系在所有方位不同的坐標(biāo)系中都一樣?！?.4各向同性彈性體26調(diào)研學(xué)習(xí)物理意義——物體各個(gè)方向上的彈性性質(zhì)完全相同，即物理性質(zhì)的完

xyzx/100y/001z/0-10完全各向同性彈性材料將oxyz坐標(biāo)系繞x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)900，新舊坐標(biāo)系的關(guān)系如下所示27調(diào)研學(xué)習(xí)

xyzx/100y/001z/0-10完全各向同性彈性材料可以得到

此時(shí)(4-11)變?yōu)?/p>

28調(diào)研學(xué)習(xí)可以得到此時(shí)(4-11)變?yōu)?8調(diào)研學(xué)習(xí)稍加整理得29調(diào)研學(xué)習(xí)稍加整理得29調(diào)研學(xué)習(xí)各向同性材料廣義胡克（Hooke）定律l,m稱為拉梅（Lame）彈性常數(shù)30調(diào)研學(xué)習(xí)各向同性材料廣義胡克（Hooke）定律l,m稱為拉梅（La各向同性材料主應(yīng)力狀態(tài)——對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力分量均為零。 所有的切應(yīng)變分量也為零。所以，各向同性彈性體:

應(yīng)力主軸同時(shí)又是應(yīng)變主軸; 應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向是重合的;31調(diào)研學(xué)習(xí)各向同性材料31調(diào)研學(xué)習(xí)

考察及與彈性模量E及泊松比之間的關(guān)系。先考察x方向簡單拉伸時(shí)：將代入第一式，則可得進(jìn)一步可得§4.5彈性常數(shù)的測(cè)定各向同性材料的應(yīng)變能密度再利用單軸拉伸時(shí)的胡克定律，得32調(diào)研學(xué)習(xí)考察及與彈性模量E及泊松比之間的關(guān)系。先考察x工程彈性常數(shù)與拉梅彈性常數(shù)之間的關(guān)系為其中只有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。實(shí)驗(yàn)測(cè)定：單向拉伸實(shí)驗(yàn)可以測(cè)出彈性模量E薄壁管扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)可以測(cè)定剪切彈性模量G再考慮純剪切情況可得：33調(diào)研學(xué)習(xí)工程彈性常數(shù)與拉梅彈性常數(shù)之間的關(guān)系為其中只有兩個(gè)獨(dú)立的彈性應(yīng)力表示本構(gòu)方程E為彈性模量G為剪切彈性模量v為橫向變形系數(shù)——泊松比34調(diào)研學(xué)習(xí)應(yīng)力表示本構(gòu)方程E為彈性模量34調(diào)研學(xué)習(xí)應(yīng)變表示的應(yīng)變能函數(shù)各向同性彈性體的應(yīng)變能函數(shù)應(yīng)變能單位體積的應(yīng)變能總是正的。

35調(diào)研學(xué)習(xí)應(yīng)變表示的應(yīng)變能函數(shù)各向同性彈性體的應(yīng)變能函數(shù)應(yīng)變能單位體應(yīng)力表示的應(yīng)變能函數(shù)36調(diào)研學(xué)習(xí)應(yīng)力表示的應(yīng)變能函數(shù)36調(diào)研學(xué)習(xí)

在應(yīng)力分析中，僅從靜力學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，引入了9個(gè)應(yīng)力分量，它們滿足三個(gè)平衡微分（運(yùn)動(dòng)方程）剪應(yīng)力互等定理，由此得到應(yīng)力張量對(duì)稱的結(jié)論，因此獨(dú)立的應(yīng)力分量只有六個(gè)。在應(yīng)變分析中，從物體的幾何連續(xù)性觀點(diǎn)出發(fā)，研究物體變形，得到三個(gè)位移分量和6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量。這樣我們總共引入了十五個(gè)變量，它們滿足的方程只有九個(gè):第四章應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系37調(diào)研學(xué)習(xí)在應(yīng)力分析中，僅從靜力學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，引入了9個(gè)其中是已知的體力。從數(shù)學(xué)分析的角度，上述方程是不封閉的，因此沒有唯一的一組解。還需補(bǔ)充六個(gè)方程，使得方程組封閉。另外，應(yīng)力與應(yīng)變是相輔相成的，有應(yīng)力就有應(yīng)變，反之亦然。對(duì)于每一種材料在一定溫度下，它們之間存在著確定的關(guān)系，反映了材料的固有特性。本章的任務(wù)就是建立在彈性階段應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系。

38調(diào)研學(xué)習(xí)其中是已知的體力。從數(shù)學(xué)分析的角度，上述方程是不封閉的，第四章應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系第一節(jié)廣義胡克定律第二節(jié)彈性變形過程中的能量第三節(jié)各向異性彈性體第四節(jié)各向同性彈性體第五節(jié)彈性常數(shù)的測(cè)定各向同性體應(yīng)變能密度39調(diào)研學(xué)習(xí)第四章應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系第一節(jié)廣義胡克定律3調(diào)研學(xué)習(xí)第一節(jié)廣義胡克定律

物體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由6個(gè)應(yīng)力分量所確定，同一點(diǎn)附近的變形狀態(tài)由6個(gè)應(yīng)變分量所確定。應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系可表示為:(4-1)40調(diào)研學(xué)習(xí)第一節(jié)廣義胡克定律物體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由6個(gè)應(yīng)力

當(dāng)變形較小時(shí)，可展開成泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階以上的小量。41調(diào)研學(xué)習(xí)當(dāng)變形較小時(shí)，可展開成泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階

由沒有初應(yīng)力的基本假設(shè)，上式可表示為

上式中(m,n=1,2…6)是彈性系數(shù)，共36個(gè)，對(duì)于均勻材料它們?yōu)槌?shù),稱為彈性常數(shù),與坐標(biāo)無關(guān)。(4-2)42調(diào)研學(xué)習(xí)由沒有初應(yīng)力的基本假設(shè)，上式可表示為上式中

上式即為廣義胡克定律，可以看出應(yīng)力和應(yīng)變之間是線性的?？梢宰C明各彈性常數(shù)之間存在關(guān)系式

=

。對(duì)于最一般的各向異性介質(zhì)，彈性常數(shù)也只有21個(gè)。43調(diào)研學(xué)習(xí)7調(diào)研學(xué)習(xí)§4.2彈性體變形過程中的功與能本節(jié)使用熱力學(xué)的原理推導(dǎo)能量形式的物理方程（本構(gòu)關(guān)系）。外力作用——彈性體變形——變形過程外力作功——彈性體內(nèi)的能量也發(fā)生變化。44調(diào)研學(xué)習(xí)§4.2彈性體變形過程中的功與能本節(jié)使用熱力學(xué)的原理推導(dǎo)能絕熱過程：利用熱力學(xué)第一定律等溫過程：利用熱力學(xué)第二定律45調(diào)研學(xué)習(xí)絕熱過程：利用熱力學(xué)第一定律等溫過程：利用熱力學(xué)第二定律9調(diào)統(tǒng)一的形式：彈性體的應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式46調(diào)研學(xué)習(xí)統(tǒng)一的形式：彈性體的應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式10調(diào)研學(xué)習(xí)§4.3

各向異性彈性體1.極端各向異性彈性體根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)次序可交換原則，可證C25=C52。對(duì)于其它的彈性常數(shù)可以作同樣的分析，則

Cmn=Cnm

。

上述結(jié)論表明完全各向異性彈性體只有21個(gè)彈性常數(shù)。47調(diào)研學(xué)習(xí)§4.3各向異性彈性體1.極端各向異性彈性體根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)次2．具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體

如果物體內(nèi)每一點(diǎn)都存在這樣一個(gè)平面，和該面對(duì)稱的方向具有相同的彈性性質(zhì)，則稱該平面為物體的彈性對(duì)稱面。垂直于彈性對(duì)稱面的方向稱為物體的彈性主方向。假設(shè)yz坐標(biāo)面為彈性對(duì)稱面，則x軸為彈性主方向。將x軸繞動(dòng)

z軸轉(zhuǎn)動(dòng)π角度，成為新的Ox'y'z'坐標(biāo)系。xyzx’-100y’010z’001新舊坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為48調(diào)研學(xué)習(xí)2．具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體如果物體內(nèi)每一點(diǎn)都存根據(jù)對(duì)稱性質(zhì):關(guān)于x軸對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)保持不變，而關(guān)于x軸反對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)取負(fù)值（也可按照轉(zhuǎn)軸時(shí)的變換公式計(jì)算）。有,sx'=sx，sy'=sy，sz'=sz，tx'y'=-txy，ty'z'=tyz，tz'x'=-tzxex'=ex，ey'=ey，ez'=ez，gx'y'=-gxy，gy'z'=gyz，gz'x'=-gzx根據(jù)完全各向異性彈性體的本構(gòu)方程，將上述關(guān)系式代入廣義胡克定律表達(dá)式(4-2)得49調(diào)研學(xué)習(xí)根據(jù)對(duì)稱性質(zhì):關(guān)于x軸對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)保持將上式與式(4-2)相比較，要使變換后的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系保持不變，則必須有

C15=C16=C25=C26=C35=C36=C45=C46=0對(duì)于具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體，其彈性常數(shù)由21個(gè)將減少為13個(gè)。

50調(diào)研學(xué)習(xí)將上式與式(4-2)相比較，要使變換后的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系保持不3．正交各向異性彈性體

假設(shè)物體內(nèi)每一點(diǎn)具有兩個(gè)彈性對(duì)稱面，以下類似地推演具有兩個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體的本構(gòu)方程。

設(shè)

xz平面也是彈性對(duì)稱面，即y軸也是彈性主方向，將

y軸繞動(dòng)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)p角度，成為新的Ox'y'z'坐標(biāo)系,

如圖所示。

51調(diào)研學(xué)習(xí)3．正交各向異性彈性體假設(shè)物體內(nèi)每一點(diǎn)具有兩個(gè)彈性對(duì)稱面，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì),關(guān)于y

軸對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)也保持不變，而關(guān)于y

軸反對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)取負(fù)值。所以，則新舊坐標(biāo)系下的應(yīng)力和應(yīng)變分量的關(guān)系為sx'=sx，sy'=sy，sz'=sz，tx'y'=-txy，ty'z'=-tyz，tz'x'=tzx

ex'=ex，ey'=ey，ez'=ez，gx'y'=-gxy，gy'z'=-gyz，gz'x'=gzx

將上述關(guān)于y軸彈性對(duì)稱的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系代入具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性材料本構(gòu)關(guān)系。為保持應(yīng)力和應(yīng)變?cè)谧鴺?biāo)變換后不變，則必有C14=C24=C34=C56=0其彈性常數(shù)由13個(gè)將減少為9個(gè)。于是其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡化為

(4-10)

52調(diào)研學(xué)習(xí)根據(jù)對(duì)稱性質(zhì),關(guān)于y軸對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)兩個(gè)彈性對(duì)稱面9個(gè)彈性常數(shù)相互垂直的3個(gè)平面中有兩個(gè)彈性對(duì)稱面，第三個(gè)必為彈性對(duì)稱面彈性體的拉壓與剪切變形,不同平面內(nèi)的剪切之間沒有耦合作用,稱為正交各向異性體。正應(yīng)力僅與正應(yīng)變有關(guān)；切應(yīng)力僅與對(duì)應(yīng)的切應(yīng)變有關(guān)。53調(diào)研學(xué)習(xí)兩個(gè)彈性對(duì)稱面9個(gè)彈性常數(shù)相互垂直的3個(gè)平面中有兩個(gè)彈性對(duì)4橫觀各向同性彈性體

假如過彈性體中的任意點(diǎn)都有一個(gè)平面，在這個(gè)平面內(nèi)，從各個(gè)方向看，彈性關(guān)系都相同。54調(diào)研學(xué)習(xí)4橫觀各向同性彈性體18調(diào)研學(xué)習(xí)不妨假定oxy面和平行于oxy面的平面就是這樣的各向同性面。討論在這種情況下的彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，最方便的是將x、y軸繞z軸旋轉(zhuǎn)900，得到新的坐標(biāo)系ox/y/z/，新系和舊系之間的關(guān)系如下

55調(diào)研學(xué)習(xí)不妨假定oxy面和平行于oxy面的平面就是這樣的各向同性面。

xyzx/010y/-100z/001在新舊坐標(biāo)系之間，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的變換關(guān)系為

(a)

56調(diào)研學(xué)習(xí)

xyzx/010y/-100z/001在新舊坐標(biāo)系之間，應(yīng)(b)

利用式(4-10)和(a),(b)

將以上諸式與(4-10)比較可得

57調(diào)研學(xué)習(xí)(b)利用式(4-10)和(a),(b)將以上諸式與(4因此(4-10)變?yōu)?/p>

(c)58調(diào)研學(xué)習(xí)因此(4-10)變?yōu)?c)22調(diào)研學(xué)習(xí)獨(dú)立的彈性常數(shù)有6個(gè)，用矩陣表示為

然后將坐標(biāo)系oxyz繞z軸轉(zhuǎn)450，得到新坐標(biāo)系ox/y/z/，新舊坐標(biāo)系的關(guān)系如下

59調(diào)研學(xué)習(xí)獨(dú)立的彈性常數(shù)有6個(gè)，用矩陣表示為然后將坐標(biāo)系oxyz繞z

xyzx/0y/0z/001按照同樣的方法，可以得到

因此(c)式變?yōu)?/p>

60調(diào)研學(xué)習(xí)

xyzx/0y/0z/001按照同樣的方法，可以得到因此具有一個(gè)各向同性面的彈性材料稱為橫觀各向同性材料，這種材料的獨(dú)立的彈性常數(shù)有5個(gè)。(4-11)

61調(diào)研學(xué)習(xí)具有一個(gè)各向同性面的彈性材料稱為橫觀各向同性材料，這種材料的物理意義——物體各個(gè)方向上的彈性性質(zhì)完全相同，即物理性質(zhì)的完全對(duì)稱。數(shù)學(xué)反映——