理論力學(xué)-13動靜法動力學(xué)重要原理

動力學(xué)重要原理— 原理衡的理論來求解。這種解答動力學(xué)問題的方法，稱動靜法JeanleRondd’Alembert1743年成 2 1744年：《流體的平衡和運 1747線現(xiàn)象的成因。17521761～1781年：了8 的著作被匯編成《全集》，共5卷，1821年，1967年重印。第十第十 靜§13–1慣性力的概§13–2質(zhì)點的動靜§13–3質(zhì)點系的動靜§13–4剛體慣性力系的簡 原理的應(yīng) §§13- 慣性力的概 FF'FmaF 力F是由于小車具有慣性，力圖保持原來F定義：質(zhì)點

FI

方向：與加速度的方向相作用位置：迫使質(zhì)點產(chǎn)生加速度的施力物體上 FI

投影式

maxmay

m

d2xdt2d2dt

FIFnmaFI

m2m2d2z

maz

m

Fbma 注意質(zhì)點慣性力不是作用在質(zhì)點上的真實力，它是質(zhì)點對施力體的反作用力。6 §§13- 質(zhì)點的動靜非自由質(zhì)點M，質(zhì)量m，受主動力F約束反力FN共同作用

F

maFFFN MFMF7FFFN 在質(zhì)點運動的任一瞬時，質(zhì)點所受的主動力、約束反力和虛加的質(zhì)點慣性力構(gòu)成一平衡力系。這就是質(zhì)點的達原理，也稱質(zhì)點的動靜法該式對動力學(xué)問題來說只是形式上的平衡，并沒有改變動力學(xué)問題的實質(zhì)。采用動靜法解決動力學(xué)問題的最大優(yōu)點，可以利用靜力學(xué)提供的解題方法，給動力學(xué)問題一種統(tǒng)一的解題格式。8 例1] 列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當車廂向右作勻加速運動時，單擺左偏角度，相對于車廂靜止。求車廂的加速a9 解選單擺的擺錘為研究對象FI

(

ma由動靜法Fx

0

mg

cos解 a角隨著加速

的變化而變化

a不變時角不變。只要測出角，就能知道列車的加速度a擺式加速計的原理§§13- 設(shè)有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，對每一個質(zhì)點，F(xiàn)i

FIi

(i1,2,.....n對整個質(zhì)點系，主動力系、約束反力系、慣性力系形式上構(gòu)成平衡力系。這就是質(zhì)點系的 原理。可用方程表示為：Fi

FNi

FIiMO(Fi)

MO(FNi)

MO(FIi)將質(zhì)點系受力按內(nèi)力、外力劃分,則

FiF

FiF

iF(ei

FIi M(F(e))

(FIi) iiF(eii

FIi

(F(e))

(FIi)說明對整個質(zhì)點系來說，動靜法給出的平衡方程，只是質(zhì)點系的慣性力系與外力系的平衡，而與內(nèi)力系無關(guān)。質(zhì)點系的動靜法（第二種描述方法在質(zhì)點系運動的任一瞬時，作用于質(zhì)點系的外力系與虛加的慣性力系構(gòu)成零力系。 iiF(eii

FIi

(F(e))

(FIi)

(mivi)

F(e

動量定

)

(miai

MO(mivi)

ii

(F(e))

動量矩定 用動靜法求解動力學(xué)問題時的平衡方程對平面任意

F(e

Fxxixi

(e 00iix對于空間任意力系iix

(F(e))

(FIi)xiF(exi

Fx

(F(e))M

)

(e)

xziz0,xziz0,

(F(e))

My

(FIi)iziF(eizi

Fz

(F(e))M

)實際應(yīng)用時同靜力學(xué)一樣任意選取研究畫受力 §§13- 剛體慣性力系的簡簡化方法：采用靜力學(xué)中的力系簡化的將虛擬的慣性力系向任一點O簡化而得到一個慣性力（慣性力系的主矢）和一個慣性力偶（慣性力系的主矩）。

miai

與簡化中心位置無MIO

MO(FIi

與簡化中心位置有無論剛體作什么運動，慣性力系主矢都等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。 一、平動

向質(zhì)心C簡化

MO(FIi

MC(FIi)

(miaCM

miri

aC剛體平動時慣性力系合成為一過質(zhì)心的合慣性力。

r1Cr1C FFFFOManCCCFnO為轉(zhuǎn)軸，C為質(zhì)心，向O點簡化F主矢：FFF

C C 主矩M

(F

) (Fn rimiri mr

i

( FFFFOManCCC

MIO作用在OOFFOFFCM

JC作用在C 討論①剛體作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點C

me MM②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)點C，但0，慣性力

（與反向③剛體作勻速轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心，則（主矢、主矩均為零

0 三、剛體作平面運剛體平面運動可分解隨基點（質(zhì)點C）的平動

FM繞通過質(zhì)心軸FM

MIC 對于平面運動剛體：由動靜法可列出如下三個方程Fx

(e

FIRxFy

(e

FIRyCMC(F)C

(F(e))

M 實質(zhì)上d2

(eM dt2ddM dt2d

(e

剛體平面運動微分方JC dt2

(F(e) 例物體系統(tǒng)由質(zhì)量均為m的兩否等于F？AA FFIAFBA

Fma 例2.質(zhì)量為M的三棱柱體A以加速

a1向右移動，質(zhì)量為m滑塊B以加速度

相對三棱柱體的斜面滑動，試問滑B的慣性力的大小和方向如何解a2aa2a22aa12

a2aa 例3.勻質(zhì)輪重為P，半r，在水平面上作純滾動。某瞬時角速度，求輪對質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量， JC 2g pgvC

r()g3PrT4g

Pr

PrLC

JC 2g

FI

gaCg

JC 2 例4：均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿由與平面成0角位靜止落下。求開始落下時桿AB的角加速度及A點支座反力解選桿AB為研究對象運動分析，虛加慣性力系

FIR C CaCaC

man

M

JA

ml3

MA

(F)0

M

mgcos023g3g0l

mgcosl FAnmgFAnmg

mgsin0

0

mgcos

aC aC

mgcos0

mlFFmg40

n

解法（二）：定軸轉(zhuǎn)動剛體微分方程+質(zhì)心運動定CCA解：（1）選AB為研究對象

JA

MAFml23

mgcos2l 31ml3

B求質(zhì)心C的加速

aCaCt0

,

,

3gcos

,

a la

3g

CmanC

0

mg

FAn

mgcos0CC

mg 例5：牽引車的主動輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道S、

及驅(qū)動力偶矩M，車輪對于質(zhì)心C的回轉(zhuǎn)半徑為輪與軌道間摩擦系數(shù)為f, 件下，驅(qū)動力偶矩M之最大值。OP取輪為研究受力分析并虛加慣性力

M

m Fy0

FNmgSFNmgMP(F)

,M

m

mR2Fx0

Ff

FIR

T

MRT

mOP

2R2要保證車輪不滑動，必Ff≤f

可見，f越大越不易滑動MmaxfmgMmaxfmgρ2R2R2Rρ2

fmg §§13-根據(jù)原理，以靜力學(xué)平衡方程的形式來建立動力學(xué)應(yīng)用動靜法既可求運動，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知運動，求質(zhì)點系運動時的動約束反力。 應(yīng)用動靜法求動力學(xué)問題的步驟及要點①選研究對象：原則與靜力學(xué)相同析：畫出全部主動力和約束反③運動分析：運動學(xué)補充方程（運動量之間的關(guān)系）。主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標出方向。④虛加慣性力：在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，一定要在正確進行運動分析的基礎(chǔ)上。熟記剛體慣性力系的簡化結(jié)果。⑤列動靜方程。選取適當?shù)木匦暮屯队拜S⑥求解求[注FIR,

M

的方向及轉(zhuǎn)向已在受力圖中標出，建立方程時只需按

maC

JO代入即可 例1質(zhì)量為1和2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的鼓輪上，已知鼓輪對于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運動，求鼓輪的角加速度。解：方法 原理求解

取系統(tǒng)為研究對象受力分析：畫出主動力和約束反力 運動分析：求加速度與角加速度的關(guān)系

a1

,

虛加慣性力和慣性力偶

FF

,FI

,

a1a列動靜法方

MO(F)mgrm

FI

m

m

1212212

22 m1r1 22 方法2用動量矩取系統(tǒng)為研

Fe mv 1 (mr2mr

J 1 2

F(e)

m1

代入動量矩

v1

,

d(mr2mr2J)

m

mdt

1 2

22 m1r1 22

方法 ：取系統(tǒng)為研究對象，任一瞬時系統(tǒng)的動：T1mv21mv2

J T 2 JPF

1v11

,

dT

PF

mr

mr

J

m

m

1 2 1 222 m1r1 22 例2在圖示機構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪O均試求角加②繩子的拉力③軸承O處的支反力④圓柱體與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦 方法1用動能定理求鼓輪角加速度，動靜法求約束反力OOvA

T1 2g

R223P vOO4g vOOT3P4g

R2PF

PRsinO 3PO

QR2 PF

2g

PRsinO

2(MPRsin)(Q3P)R2 受力分析并虛加慣性

F

yMM

12

FOFO

QM(F),RMM(F),RM

OO αO

2MPRsinQ3P

P3MQRsinP Q3PPFx

FOx

Q3P

0

Q

sin

Q

P3MQRsinQ3P

取輪A為研究對象，受力分析并虛加慣性FIA

g

12

R2α AFPCAaA

AMA

FfR

Ff

2gαA

O

2(MPRsin)(Q3P)R2Ff

P(MPRsin)(Q3P)R能否能否只用動靜法求解 方法 用動靜法求A解：取輪為研究對象，受力分析并虛加慣性AAFPCFIA

g

12

R2α AaAA

AMA

FfR

Ff

PR2g

Fx

FT

PFT

3PR2g

P MOxQ取輪O為研究MOxQM

12

QO2g OAMO(F)0A

FTR

MFT

FT

3PR2g

POαA

2MPRsinQ3P

FT

P3MQRsinPQ3PPFx

FOx

Q3P

0

Q

sin

FOyQ

P3MQRsinQ3P Ff

PR2g

P(MPRsin (Q3P)R方法3用動能定理求角加速度，動量定理及動量矩定理求約束反力 vA

OT1 2g

R223P vOO4g vOOT3P4g

R2 PF

PRsinO 3PQR2O PF

2g

(

PRsinO

2(MPRsin)(Q3P)R2 用動量矩定理（定軸轉(zhuǎn)動微分方程）求繩子拉力取輪O為研究對象，由定軸轉(zhuǎn)動微分方程得：Q2g

MFT M P(3MQRsin

(Q3P)R

O用質(zhì)心運動定理求解軸承O處支反 O取輪O為研究對象，根據(jù)質(zhì)心運動定理

0

FT

0

Q

(

,

(( APCAPC根據(jù)剛體平面運動微分方

求摩擦x

Ff

O

JAA1PR2

2(MPRsin)g

P(MPRsin R2g

(Q3P)R2

(Q3P)R 例3 均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，無滑動地沿傾斜平板由靜止自O(shè)點開始滾動。平板對水平線的傾角為，試求OA=時平板在O點的約束反力。板的重力略去不計。解：(1)用動能定理求速度，加速圓柱體作平面運動 在初始位置時，處于靜止狀態(tài)，故在末位置時，設(shè)角速度為，則vC=R,動能為1T21

1g 2

R22

3Pv4g T3Pv

W

PS

F 4g

由動能定

T2

W P3Pv4g

0

PS t求導(dǎo)數(shù)

2g3

,

2gsin3R(2) 原理求約束反取系統(tǒng)為研究對象，受力分析并虛加慣性力和慣性力

P

3

sin