圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)課件

圓錐曲線的切線與光學(xué)性質(zhì)圓錐曲線的切線與光學(xué)性質(zhì)1割線LPQ切線PQ割線L圓錐曲線與直線關(guān)係1.切線與割線的意義：(1)當(dāng)直線L與曲線

交於P、Q兩相異點(diǎn)時(shí)，L就不再是割線，此時(shí)稱直線L為曲線

的切線，P為切點(diǎn)。割線L繞P

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)Q點(diǎn)一旦與P

點(diǎn)重合，(2)固定P

點(diǎn)，當(dāng)Q點(diǎn)在曲線

上移動(dòng)逼近P

點(diǎn)時(shí)，此時(shí)稱L為

的一條割線。本段結(jié)束割線LPQ切線PQ割線L圓錐曲線與直線關(guān)2圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)課件3

2.圓錐曲線與直線關(guān)係的判別：已知圓錐曲線的方程式為f(x,y)=0及一直線L：ax+by+c=0，(3)當(dāng)D<0時(shí)，圓錐曲線與直線L

沒(méi)有交點(diǎn)。(2)當(dāng)D=0時(shí)，圓錐曲線與直線L

相切於一點(diǎn)(L

為切線)。(1)當(dāng)D>0時(shí)，圓錐曲線與直線L

相交於相異兩點(diǎn)(L

為割線)?？傻脁的一元二次方程式px2+qx+r=0，令其判別式D=q24pr，解聯(lián)立方程組則：本段結(jié)束

2.圓錐曲線與直線關(guān)係的判別：已知圓錐曲線的方程式為f4P橢圓的切線P拋物線的切線P雙曲線的切線3.圓錐曲線的切線：(1)當(dāng)直線與橢圓相交於一點(diǎn)時(shí)，(2)當(dāng)直線與拋物線相交於一點(diǎn)時(shí)，若此直線不與軸平行，則此直線必為切線，此時(shí)，拋物線落在直線的同一側(cè)。(3)當(dāng)直線與雙曲線相交於一點(diǎn)時(shí)，若此直線不與漸近線平行，則此直線必為切線，此時(shí)，雙曲線的兩支分別落在直線的兩側(cè)。此直線必為切線。TobecontinuedP橢圓的切線P拋物線的切線P雙曲線的切線3.圓錐曲線5P與拋物線軸平行的直線軸LP與雙曲線之漸近線平行的直線漸近線L注意：交於一點(diǎn)(如下圖所示)(切線

有重根判別式D=0)

不一定為切線。切線

交於一點(diǎn)。本段結(jié)束P與拋物線軸平行的直線軸LP與雙曲線之漸近線平行的直線漸近6

切線的性質(zhì)：過(guò)圓或橢圓上任意一點(diǎn)都有唯一一條切線，任意與圓或橢圓恰有一交點(diǎn)的直線都是圓或橢圓的切線。圓錐曲線的切線與曲線恰有一交點(diǎn)，但一曲線的切線與曲線，不一定只有一交點(diǎn)。反之，與曲線恰有一交點(diǎn)的直線也不一定是切線。(3)平行拋物線的對(duì)稱軸的直線與拋物線都恰有一交點(diǎn)，平行雙曲線的漸近線的直線與雙曲線都恰有一交點(diǎn)，但它們都不是切線。本段結(jié)束

切線的性質(zhì)：過(guò)圓或橢圓上任意一點(diǎn)都有唯一一條切線，任意與圓7圓錐曲線切線的基本求法也可考慮根與係數(shù)兩根之和也可假設(shè)已知斜率利用公式圓錐曲線切線的基本求法也可考慮根與係數(shù)兩根之和也可假設(shè)已知斜8圓錐曲線切線方程式圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線切線方程式圓錐曲線的切線方程式9圓錐曲線的切線方程式1.「已知切點(diǎn)」的切線方程式：在坐標(biāo)平面上，軸是水平線及鉛直線的圓錐曲線(圓、拋物線、Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，其中A、C不皆為0。二次曲線：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0上一已知點(diǎn)P(x0,y0)為切點(diǎn)的切線方程式為(見(jiàn)P.63-65)2.範(fàn)例：求過(guò)點(diǎn)(2,2)且與拋物線x2+xy8=0相切的直線方程式。整理得切線方程式為5xy12=0。解：切點(diǎn)P(x0,y0)=(2,2)，橢圓、雙曲線)方程式皆可表為L(zhǎng)et’sdoanexercise!圓錐曲線的切線方程式1.「已知切點(diǎn)」的切線方程式：在坐標(biāo)平面10馬上練習(xí)：(2)求過(guò)點(diǎn)(3,1)且與雙曲線4x2y28x2y9=0Ans：(1)3x+2y12=0。(2)4xy11=0。整理得切線方程式為4xy11=0。(2)切點(diǎn)P(x0,y0)=(3,1)，整理得切線方程式為3x+2y12=0。解：(1)切點(diǎn)P(x0,y0)=(2,3)，相切的直線方程式。＃Tobecontinued(2)馬上練習(xí)：(2)求過(guò)點(diǎn)(3,1)且與雙曲線4x2y211圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線切線方程式圓、橢圓與雙曲線可用來(lái)推導(dǎo)切線公式圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線切線方程式圓、橢圓與雙曲線可用12以x集項(xiàng)整理得(B+Am2)x2+(2Amk)x+(Ak2AB)=0，3.「已知斜率」的切線方程式：證明：設(shè)切線L：y=mx+k，代入Bx2+Ay2AB=0，因?yàn)橄嗲?/p>

x有重根(4A2m24AB4A2m2)k2+4AB(B+Am2)=0。得k2=Am2+B，Tobecontinued得Bx2+A(mx+k)2AB=0，(2Amk)24(B+Am2)(Ak2AB)=0，以x集項(xiàng)整理得(B+Am2)x2+(2Amk)x+(A13注意：設(shè)斜率為m的切線為y=mx+k，代入拋物線方程式，利用相切

判別式D=0，即可求得k。本段結(jié)束注意：設(shè)斜率為m的切線為y=mx+k，代入拋物線方程式14拋物線已知斜率之切線拋物線已知斜率之切線15即x+y3=0或x+y+3=0。4.範(fàn)例：解：y=x3，且m=1Let’sdoanexercise!即x+y3=0或x+y+3=0。4.範(fàn)例：解：y16馬上練習(xí)：Ans：x2y+4=0或x2y4=0。解：即x2y+4=0或x2y4=0。＃馬上練習(xí)：Ans：x2y+4=0或x2y4=0。17x2y=k2x+y+12=05.範(fàn)例：解：設(shè)切線L：x2y=k，即x2y+2=0或x2y8=0。x2y+2=0x2y8=0＃x2y=k2x+y+12=05.範(fàn)例：解：設(shè)切線L：x186.範(fàn)例：求斜率為3且與拋物線y=x2+5x+3相切的直線方程式，及其切點(diǎn)。解：設(shè)所求y=3x+k，代入y=x2+5x+3，相切

判別式D=0

得切線為y=3x+19。故切點(diǎn)為(4,7)。

x28x+(k3)=0k=19。

x=4。且

x28x+(193)=0Let’sdoanexercise!6.範(fàn)例：求斜率為3且與拋物線y=x2+5x+319馬上練習(xí)：設(shè)拋物線y=2x23x+1，求斜率為5的切線方程式，及其切點(diǎn)。Ans：切線y=5x7，切點(diǎn)(2,3)。解：設(shè)所求y=5x+k，代入y=2x23x+1，相切

判別式D=0得切線為y=5x7。故切點(diǎn)為(2,3)。且2x28x+(1+7)=0

x=2。＃馬上練習(xí)：設(shè)拋物線y=2x23x+1，求斜率為5的切線20PPPPP7.「曲線外」已知點(diǎn)的切線方程式：(1)過(guò)拋物線外一點(diǎn)P，有兩條切線。(2)過(guò)橢圓外一點(diǎn)P，有兩條切線。(3)過(guò)雙曲線外一點(diǎn)P，切線有三種情形：

當(dāng)P

點(diǎn)為中心時(shí)，過(guò)點(diǎn)P

的任意直線都不是切線

當(dāng)P

點(diǎn)不是中心且落在漸近線上時(shí)

當(dāng)P

點(diǎn)不在漸近線上且不在雙曲線內(nèi)部時(shí)

沒(méi)有切線。

只有一條切線。

有兩條切線。本段結(jié)束PPPPP7.「曲線外」已知點(diǎn)的切線方程式218.範(fàn)例：解：點(diǎn)P(1,4)

在橢圓外，故有兩條切線。故所求切線為x+y3=0或5xy+9=0。Tobecontinued注意＃8.範(fàn)例：解：點(diǎn)P(1,4)在橢圓外，故有兩條切線。22(1,4)注意：可設(shè)過(guò)(1,4)的切線其切點(diǎn)為(x0,y0)，得切線為x+y3=0或5xy+9=0。(x0,y0)Let’sdoanexercise!(1,4)注意：可設(shè)過(guò)(1,4)的切線其切點(diǎn)為(23馬上練習(xí)：求過(guò)點(diǎn)(1,3)且與雙曲線4x2y2=4相切的直線方程式。Ans：13x6y+5=0，x=1。又點(diǎn)(1,3)非中心且不在漸近線2xy=0上故所求切線為13x6y+5=0或x=1(鉛直線)。兩條切線。解：＃點(diǎn)(1,3)不在雙曲線上，馬上練習(xí)：求過(guò)點(diǎn)(1,3)且與雙曲線4x2y2=4相249.範(fàn)例：求過(guò)點(diǎn)(2,0)且與拋物線y=x22x+4相切的直線方程式。解：點(diǎn)(2,0)不在拋物線上，相切

判別式D=0

解得m=2或6。故所求切線為2x+y4=0或6xy12=0。設(shè)切線方程式為y=m(x2)，代入y=x22x+4，Let’sdoanexercise!9.範(fàn)例：求過(guò)點(diǎn)(2,0)且與拋物線y=x22x+425馬上練習(xí)：求過(guò)點(diǎn)(4,1)且與拋物線2x=y2相切的直線方程式。Ans：x+4y+8=0，x2y+2=0。解：點(diǎn)(4,1)

不在拋物線上，設(shè)切線y+1=m(x+4)，故所求切線為x+4y+8=0或x2y+2=0。相切

判別式D=0，＃馬上練習(xí)：求過(guò)點(diǎn)(4,1)且與拋物線2x=y2相切26F平行軸的光線反射後必過(guò)焦點(diǎn)軸F焦點(diǎn)射出的光線反射後必平行軸軸射到拋物線上經(jīng)反射後，都會(huì)與軸平行。圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)1.拋物線的的光學(xué)性質(zhì)：由拋物線焦點(diǎn)F射出的光線，反之，與軸平行的入射光，射到拋物線上經(jīng)反射後，都會(huì)通過(guò)焦點(diǎn)F。TobecontinuedF平行軸的光線反射後必過(guò)焦點(diǎn)軸F焦點(diǎn)射出的光線反射後必平行27圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)課件28PHA切線1F準(zhǔn)線LQ23M故1=2。證明：設(shè)點(diǎn)P為拋物線上任一點(diǎn)注意：準(zhǔn)線L上任一點(diǎn)A與焦點(diǎn)F且此時(shí)2=3，又QHA為直角

所以Q

點(diǎn)不在拋物線上，1=3(對(duì)頂角相等)，本段結(jié)束PHA切線1F準(zhǔn)線LQ23M故1=2。證明：設(shè)29PQ軸F(7,4)遇到拋物線：y2=4x上一點(diǎn)P，經(jīng)反射後通過(guò)上的點(diǎn)Q，求Q的坐標(biāo)。解：光線碰到

上的點(diǎn)P(4,4)後，反射必過(guò)y2=4x

的焦點(diǎn)F(1,0)，2.範(fàn)例：一光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(7,4)沿水平方向前進(jìn)，Let’sdoanexercise!PQ軸F(7,4)遇到拋物線：y2=4x上一點(diǎn)30PQ軸F(4,6)馬上練習(xí)：一光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,6)沿鉛直方向前進(jìn)，遇到拋物線：x2=16y上一點(diǎn)P，經(jīng)反射後通過(guò)上的點(diǎn)Q，求Q的坐標(biāo)。Ans：(16,16)解：光線碰到上的點(diǎn)P(4,1)後，反射必過(guò)

x2=16y

的焦點(diǎn)F(0,4)，＃PQ軸F(4,6)馬上練習(xí)：一光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,6)31PQ軸F(4,6)馬上練習(xí)：一光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,6)沿鉛直方向前進(jìn)，遇到拋物線：x2=16y上一點(diǎn)P，經(jīng)反射後通過(guò)上的點(diǎn)Q，求Q的坐標(biāo)。Ans：(16,16)解：光線碰到上的點(diǎn)P(4,1)後，反射必過(guò)

x2=16y

的焦點(diǎn)F(0,4)，＃PQ軸F(4,6)馬上練習(xí)：一光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,6)32PQ軸F準(zhǔn)線θθθωωωRSOAPQ軸F準(zhǔn)線θθθωωωRSOA33F2F1P3.橢圓的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓焦點(diǎn)F2射出的光線，經(jīng)反射後都會(huì)通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)F1。射到橢圓上的點(diǎn)P，Tobecontinued證明F2F1P3.橢圓的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓焦點(diǎn)F2射34圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)課件35PF2F1QA1232aMF2F1O切線12O法線P設(shè)點(diǎn)A為圓上任一點(diǎn)證明：以F2

為圓心，半徑為2a(橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng))作一圓，注意：F2PF1

的平分線即為過(guò)P點(diǎn)的法線。故1=2。且此時(shí)2=3，因此Q點(diǎn)不在橢圓上。因此P點(diǎn)在橢圓上。1=3(對(duì)頂角相等)，切線本段結(jié)束PF2F1QA1232aMF2F1O切線12O法線36PF2F1O切線O法線D4k5k4.範(fàn)例：已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(1,7)、F2(2,2)，且P(5,3)在上，試求過(guò)P與相切的直線方程式。解：

切線的斜率=3。故所求切線為3xy12=0。Let’sdoanexercise!PF2F1O切線O法線D4k5k4.範(fàn)例：已知橢圓37切線300法線BPF2F1A300Ans：16。解：馬上練習(xí)：如圖F1、F2為橢圓的兩焦點(diǎn)，直線L切於P點(diǎn)，且F1PF2=600。設(shè)F1、F2對(duì)L的投影點(diǎn)分別為A、B，mn300300＃切線300法線BPF2F1A300Ans：16。解：馬上練38PF2F1其反射光所在的直線會(huì)通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)F2。5.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)F1射出的光線，射到雙曲線上的點(diǎn)PTobecontinued證明PF2F1其反射光所在的直線會(huì)通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)F2。539圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)課件40PF2F1QA證明：以F2

為圓心，半徑為2a(雙曲線貫軸長(zhǎng))作一圓，設(shè)點(diǎn)A為圓上任一點(diǎn)因此P點(diǎn)在雙曲線上。因此Q

點(diǎn)不在雙曲線上，注意：F2PF1的平分線即為過(guò)P點(diǎn)的切線。M故1=2。且此時(shí)2=3，1=3(對(duì)頂角相等)，2a切線123本段結(jié)束PF2F1QA證明：以F2為圓心，半徑為2a41F1、F2為雙曲線的兩焦點(diǎn)，求F1AF2的分角線方程式。切線AF2F16.範(fàn)例：已知A(4,3)為雙曲線x22y2+4x+4y26=0上一點(diǎn)，且整理所求為3x2y6=0。切點(diǎn)A(x0,y0)=(4,3)，解：所求即為過(guò)A

點(diǎn)的切線Let’sdoanexercise!F1、F2為雙曲線的兩焦點(diǎn)，求F1AF2的分角線方程式42PF2F1A(9,6)馬上練習(xí)：故所求點(diǎn)P(5,4)。若一光線從的焦點(diǎn)F1(3,0)發(fā)射，碰到上的P點(diǎn)，反射後通過(guò)點(diǎn)A(9,6)，Ans：P(5,4)。解：反射線PA的延長(zhǎng)線必過(guò)F2(3,0)，已知P點(diǎn)在第一象限，求P點(diǎn)坐標(biāo)。本節(jié)結(jié)束PF2F1A(9,6)馬上練習(xí)：故所求點(diǎn)P(5,43M(1,2)B(x2,y2)A(x1,y1)解：設(shè)此弦交

於A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=2，y1+y2=4，圓錐曲線的弦1.範(fàn)例(中點(diǎn)弦)：求以(1,2)為中點(diǎn)之弦方程式。

所求為8x+25y58=0。Let’sdoanexercise!M(1,2)B(x2,y2)A(x1,y1)解：設(shè)此弦44M(4,3)B(x2,y2)A(x1,y1)馬上練習(xí)：在拋物線：y2=6x的諸弦中，Ans：xy1=0。求以M(4,3)為中點(diǎn)之弦方程式。解：設(shè)此弦交

於A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=8，y1+y2=6，

所求為xy1=0。＃M(4,3)B(x2,y2)A(x1,y1)馬上練習(xí)：45解：將x=12y

代入x2+4y2=4，2.範(fàn)例：若直線x+2y=1與橢圓x2+4y2=4交於P，Q兩點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，得8y24y3=0，Let’sdoanexercise!根與係數(shù)&

(ab)2與(a+b)2解：將x=12y代入x2+4y2=4，2.範(fàn)例：若46得x2+ax+(b+2)=0，將y=0代入y=x2+ax+(b+2)，馬上練習(xí)：設(shè)a、b為實(shí)數(shù)。已知坐標(biāo)平面上拋物線y=x2+ax+b與x軸交於P、Q兩點(diǎn)，若拋物線y=x2+ax+(b+2)Ans：解：將y=0(即x軸)代入y=x2+ax+b，設(shè)交點(diǎn)P(x1,0)，Q(x2,0)，設(shè)交點(diǎn)R(x3

,0)，S(x4,0)，(99學(xué)測(cè))與x軸交於R、S兩點(diǎn)，得x2+ax+b=0，＃得x2+ax+(b+2)=0，將y=0代入y=x2+47OLxyP(x0,y0)MP(x0,y0)LML1L2y10.範(fàn)例：如圖，拋物線y2=x的圖形中有三條法線，L1、L2、L3(x軸)通過(guò)點(diǎn)(2,0)，試求此拋物線有三條法線通過(guò)點(diǎn)(a,0)的a的範(fàn)圍。解：設(shè)直線L與y2=x

相切於P(x0,y0)同理，過(guò)P(x0,y0)的切線為12L3Ox＃OLxyP(x0,y0)MP(x0,y0)LM48圓錐曲線的切線與光學(xué)性質(zhì)圓錐曲線的切線與光學(xué)性質(zhì)49割線LPQ切線PQ割線L圓錐曲線與直線關(guān)係1.切線與割線的意義：(1)當(dāng)直線L與曲線

交於P、Q兩相異點(diǎn)時(shí)，L就不再是割線，此時(shí)稱直線L為曲線

的切線，P為切點(diǎn)。割線L繞P

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)Q點(diǎn)一旦與P

點(diǎn)重合，(2)固定P

點(diǎn)，當(dāng)Q點(diǎn)在曲線

上移動(dòng)逼近P

點(diǎn)時(shí)，此時(shí)稱L為

的一條割線。本段結(jié)束割線LPQ切線PQ割線L圓錐曲線與直線關(guān)50圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)課件51

2.圓錐曲線與直線關(guān)係的判別：已知圓錐曲線的方程式為f(x,y)=0及一直線L：ax+by+c=0，(3)當(dāng)D<0時(shí)，圓錐曲線與直線L

沒(méi)有交點(diǎn)。(2)當(dāng)D=0時(shí)，圓錐曲線與直線L

相切於一點(diǎn)(L

為切線)。(1)當(dāng)D>0時(shí)，圓錐曲線與直線L

相交於相異兩點(diǎn)(L

為割線)?？傻脁的一元二次方程式px2+qx+r=0，令其判別式D=q24pr，解聯(lián)立方程組則：本段結(jié)束

2.圓錐曲線與直線關(guān)係的判別：已知圓錐曲線的方程式為f52P橢圓的切線P拋物線的切線P雙曲線的切線3.圓錐曲線的切線：(1)當(dāng)直線與橢圓相交於一點(diǎn)時(shí)，(2)當(dāng)直線與拋物線相交於一點(diǎn)時(shí)，若此直線不與軸平行，則此直線必為切線，此時(shí)，拋物線落在直線的同一側(cè)。(3)當(dāng)直線與雙曲線相交於一點(diǎn)時(shí)，若此直線不與漸近線平行，則此直線必為切線，此時(shí)，雙曲線的兩支分別落在直線的兩側(cè)。此直線必為切線。TobecontinuedP橢圓的切線P拋物線的切線P雙曲線的切線3.圓錐曲線53P與拋物線軸平行的直線軸LP與雙曲線之漸近線平行的直線漸近線L注意：交於一點(diǎn)(如下圖所示)(切線

有重根判別式D=0)

不一定為切線。切線

交於一點(diǎn)。本段結(jié)束P與拋物線軸平行的直線軸LP與雙曲線之漸近線平行的直線漸近54

切線的性質(zhì)：過(guò)圓或橢圓上任意一點(diǎn)都有唯一一條切線，任意與圓或橢圓恰有一交點(diǎn)的直線都是圓或橢圓的切線。圓錐曲線的切線與曲線恰有一交點(diǎn)，但一曲線的切線與曲線，不一定只有一交點(diǎn)。反之，與曲線恰有一交點(diǎn)的直線也不一定是切線。(3)平行拋物線的對(duì)稱軸的直線與拋物線都恰有一交點(diǎn)，平行雙曲線的漸近線的直線與雙曲線都恰有一交點(diǎn)，但它們都不是切線。本段結(jié)束

切線的性質(zhì)：過(guò)圓或橢圓上任意一點(diǎn)都有唯一一條切線，任意與圓55圓錐曲線切線的基本求法也可考慮根與係數(shù)兩根之和也可假設(shè)已知斜率利用公式圓錐曲線切線的基本求法也可考慮根與係數(shù)兩根之和也可假設(shè)已知斜56圓錐曲線切線方程式圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線切線方程式圓錐曲線的切線方程式57圓錐曲線的切線方程式1.「已知切點(diǎn)」的切線方程式：在坐標(biāo)平面上，軸是水平線及鉛直線的圓錐曲線(圓、拋物線、Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，其中A、C不皆為0。二次曲線：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0上一已知點(diǎn)P(x0,y0)為切點(diǎn)的切線方程式為(見(jiàn)P.63-65)2.範(fàn)例：求過(guò)點(diǎn)(2,2)且與拋物線x2+xy8=0相切的直線方程式。整理得切線方程式為5xy12=0。解：切點(diǎn)P(x0,y0)=(2,2)，橢圓、雙曲線)方程式皆可表為L(zhǎng)et’sdoanexercise!圓錐曲線的切線方程式1.「已知切點(diǎn)」的切線方程式：在坐標(biāo)平面58馬上練習(xí)：(2)求過(guò)點(diǎn)(3,1)且與雙曲線4x2y28x2y9=0Ans：(1)3x+2y12=0。(2)4xy11=0。整理得切線方程式為4xy11=0。(2)切點(diǎn)P(x0,y0)=(3,1)，整理得切線方程式為3x+2y12=0。解：(1)切點(diǎn)P(x0,y0)=(2,3)，相切的直線方程式。＃Tobecontinued(2)馬上練習(xí)：(2)求過(guò)點(diǎn)(3,1)且與雙曲線4x2y259圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線切線方程式圓、橢圓與雙曲線可用來(lái)推導(dǎo)切線公式圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線切線方程式圓、橢圓與雙曲線可用60以x集項(xiàng)整理得(B+Am2)x2+(2Amk)x+(Ak2AB)=0，3.「已知斜率」的切線方程式：證明：設(shè)切線L：y=mx+k，代入Bx2+Ay2AB=0，因?yàn)橄嗲?/p>

x有重根(4A2m24AB4A2m2)k2+4AB(B+Am2)=0。得k2=Am2+B，Tobecontinued得Bx2+A(mx+k)2AB=0，(2Amk)24(B+Am2)(Ak2AB)=0，以x集項(xiàng)整理得(B+Am2)x2+(2Amk)x+(A61注意：設(shè)斜率為m的切線為y=mx+k，代入拋物線方程式，利用相切

判別式D=0，即可求得k。本段結(jié)束注意：設(shè)斜率為m的切線為y=mx+k，代入拋物線方程式62拋物線已知斜率之切線拋物線已知斜率之切線63即x+y3=0或x+y+3=0。4.範(fàn)例：解：y=x3，且m=1Let’sdoanexercise!即x+y3=0或x+y+3=0。4.範(fàn)例：解：y64馬上練習(xí)：Ans：x2y+4=0或x2y4=0。解：即x2y+4=0或x2y4=0。＃馬上練習(xí)：Ans：x2y+4=0或x2y4=0。65x2y=k2x+y+12=05.範(fàn)例：解：設(shè)切線L：x2y=k，即x2y+2=0或x2y8=0。x2y+2=0x2y8=0＃x2y=k2x+y+12=05.範(fàn)例：解：設(shè)切線L：x666.範(fàn)例：求斜率為3且與拋物線y=x2+5x+3相切的直線方程式，及其切點(diǎn)。解：設(shè)所求y=3x+k，代入y=x2+5x+3，相切

判別式D=0

得切線為y=3x+19。故切點(diǎn)為(4,7)。

x28x+(k3)=0k=19。

x=4。且

x28x+(193)=0Let’sdoanexercise!6.範(fàn)例：求斜率為3且與拋物線y=x2+5x+367馬上練習(xí)：設(shè)拋物線y=2x23x+1，求斜率為5的切線方程式，及其切點(diǎn)。Ans：切線y=5x7，切點(diǎn)(2,3)。解：設(shè)所求y=5x+k，代入y=2x23x+1，相切

判別式D=0得切線為y=5x7。故切點(diǎn)為(2,3)。且2x28x+(1+7)=0

x=2。＃馬上練習(xí)：設(shè)拋物線y=2x23x+1，求斜率為5的切線68PPPPP7.「曲線外」已知點(diǎn)的切線方程式：(1)過(guò)拋物線外一點(diǎn)P，有兩條切線。(2)過(guò)橢圓外一點(diǎn)P，有兩條切線。(3)過(guò)雙曲線外一點(diǎn)P，切線有三種情形：

當(dāng)P

點(diǎn)為中心時(shí)，過(guò)點(diǎn)P

的任意直線都不是切線

當(dāng)P

點(diǎn)不是中心且落在漸近線上時(shí)

當(dāng)P

點(diǎn)不在漸近線上且不在雙曲線內(nèi)部時(shí)

沒(méi)有切線。

只有一條切線。

有兩條切線。本段結(jié)束PPPPP7.「曲線外」已知點(diǎn)的切線方程式698.範(fàn)例：解：點(diǎn)P(1,4)

在橢圓外，故有兩條切線。故所求切線為x+y3=0或5xy+9=0。Tobecontinued注意＃8.範(fàn)例：解：點(diǎn)P(1,4)在橢圓外，故有兩條切線。70(1,4)注意：可設(shè)過(guò)(1,4)的切線其切點(diǎn)為(x0,y0)，得切線為x+y3=0或5xy+9=0。(x0,y0)Let’sdoanexercise!(1,4)注意：可設(shè)過(guò)(1,4)的切線其切點(diǎn)為(71馬上練習(xí)：求過(guò)點(diǎn)(1,3)且與雙曲線4x2y2=4相切的直線方程式。Ans：13x6y+5=0，x=1。又點(diǎn)(1,3)非中心且不在漸近線2xy=0上故所求切線為13x6y+5=0或x=1(鉛直線)。兩條切線。解：＃點(diǎn)(1,3)不在雙曲線上，馬上練習(xí)：求過(guò)點(diǎn)(1,3)且與雙曲線4x2y2=4相729.範(fàn)例：求過(guò)點(diǎn)(2,0)且與拋物線y=x22x+4相切的直線方程式。解：點(diǎn)(2,0)不在拋物線上，相切

判別式D=0

解得m=2或6。故所求切線為2x+y4=0或6xy12=0。設(shè)切線方程式為y=m(x2)，代入y=x22x+4，Let’sdoanexercise!9.範(fàn)例：求過(guò)點(diǎn)(2,0)且與拋物線y=x22x+473馬上練習(xí)：求過(guò)點(diǎn)(4,1)且與拋物線2x=y2相切的直線方程式。Ans：x+4y+8=0，x2y+2=0。解：點(diǎn)(4,1)

不在拋物線上，設(shè)切線y+1=m(x+4)，故所求切線為x+4y+8=0或x2y+2=0。相切

判別式D=0，＃馬上練習(xí)：求過(guò)點(diǎn)(4,1)且與拋物線2x=y2相切74F平行軸的光線反射後必過(guò)焦點(diǎn)軸F焦點(diǎn)射出的光線反射後必平行軸軸射到拋物線上經(jīng)反射後，都會(huì)與軸平行。圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)1.拋物線的的光學(xué)性質(zhì)：由拋物線焦點(diǎn)F射出的光線，反之，與軸平行的入射光，射到拋物線上經(jīng)反射後，都會(huì)通過(guò)焦點(diǎn)F。TobecontinuedF平行軸的光線反射後必過(guò)焦點(diǎn)軸F焦點(diǎn)射出的光線反射後必平行75圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)課件76PHA切線1F準(zhǔn)線LQ23M故1=2。證明：設(shè)點(diǎn)P為拋物線上任一點(diǎn)注意：準(zhǔn)線L上任一點(diǎn)A與焦點(diǎn)F且此時(shí)2=3，又QHA為直角

所以Q

點(diǎn)不在拋物線上，1=3(對(duì)頂角相等)，本段結(jié)束PHA切線1F準(zhǔn)線LQ23M故1=2。證明：設(shè)77PQ軸F(7,4)遇到拋物線：y2=4x上一點(diǎn)P，經(jīng)反射後通過(guò)上的點(diǎn)Q，求Q的坐標(biāo)。解：光線碰到

上的點(diǎn)P(4,4)後，反射必過(guò)y2=4x

的焦點(diǎn)F(1,0)，2.範(fàn)例：一光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(7,4)沿水平方向前進(jìn)，Let’sdoanexercise!PQ軸F(7,4)遇到拋物線：y2=4x上一點(diǎn)78PQ軸F(4,6)馬上練習(xí)：一光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,6)沿鉛直方向前進(jìn)，遇到拋物線：x2=16y上一點(diǎn)P，經(jīng)反射後通過(guò)上的點(diǎn)Q，求Q的坐標(biāo)。Ans：(16,16)解：光線碰到上的點(diǎn)P(4,1)後，反射必過(guò)

x2=16y

的焦點(diǎn)F(0,4)，＃PQ軸F(4,6)馬上練習(xí)：一光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,6)79PQ軸F(4,6)馬上練習(xí)：一光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,6)沿鉛直方向前進(jìn)，遇到拋物線：x2=16y上一點(diǎn)P，經(jīng)反射後通過(guò)上的點(diǎn)Q，求Q的坐標(biāo)。Ans：(16,16)解：光線碰到上的點(diǎn)P(4,1)後，反射必過(guò)

x2=16y

的焦點(diǎn)F(0,4)，＃PQ軸F(4,6)馬上練習(xí)：一光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,6)80PQ軸F準(zhǔn)線θθθωωωRSOAPQ軸F準(zhǔn)線θθθωωωRSOA81F2F1P3.橢圓的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓焦點(diǎn)F2射出的光線，經(jīng)反射後都會(huì)通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)F1。射到橢圓上的點(diǎn)P，Tobecontinued證明F2F1P3.橢圓的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓焦點(diǎn)F2射82圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)課件83PF2F1QA1232aMF2F1O切線12O法線P設(shè)點(diǎn)A為圓上任一點(diǎn)證明：以F2

為圓心，半徑為2a(橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng))作一圓，注意：F2PF1

的平分線即為過(guò)P點(diǎn)的法線。故1=2。且此時(shí)2=3，因此Q點(diǎn)不在橢圓上。因此P點(diǎn)在橢圓上。1=3(對(duì)頂角相等)，切線本段結(jié)束PF2F1QA1232aMF2F1O切線12O法線84PF2F1O切線O法線D4k5k4.範(fàn)例：已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(1,7)、F2(2,2)，且P(5,3)在上，試求過(guò)P與相切的直線方程式。解：

切線的斜率=3。故所求切線為3xy12=0。Let’sdoanexercise!PF2F1O切線O法線D4k5k4.範(fàn)例：已知橢圓85切線300法線BPF2F1A300Ans：16。解：馬上練習(xí)：如圖F1、F2為橢圓的兩焦點(diǎn)，直線L切於P點(diǎn)，且F1PF2=600。設(shè)F1、F2對(duì)L的投影點(diǎn)分別為A、B，mn300300＃切線300法線BPF2F1A300Ans：16。解：馬上練86PF2F1其反射光所在的直線會(huì)通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)F2。5.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)F1射出的光線，射到雙曲線上的點(diǎn)PTobecontinued證明PF2F1其反射光所在的直線會(huì)通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)F2。587圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)課件88PF2F1QA證明：以F2

為圓心，半徑為2a(雙曲線貫軸長(zhǎng))作一圓，設(shè)點(diǎn)A為圓上任一點(diǎn)因此P點(diǎn)在雙曲線上。因此Q

點(diǎn)不在雙曲線上，注意：F2PF1的平分線即為過(guò)P點(diǎn)的切線。M故1=2。且此時(shí)2=3，1=3(對(duì)頂角相等)，2a切線123本段結(jié)束PF2F1QA證明：以F2為圓心，半徑為2a89F1、F2為雙曲線的兩焦點(diǎn)，求F1AF2的分角線方程式。切線AF2