微分中值定理與導數(shù)的應用習題課課件

第三章微分中值定理與

導數(shù)的應用習題課(三)導數(shù)的應用

第三章微分中值定理與

導數(shù)的應用習題課(三)導數(shù)的應用1一、函數(shù)的極值與單調(diào)性

1．函數(shù)極值的定義2．函數(shù)的駐點3．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判別

則為的駐點。

在上，若，則單調(diào)增加；

若，則單調(diào)減少；

為極大值.)(),()(),,(000。xfxfxfxUx￡?d一、函數(shù)的極值與單調(diào)性1．函數(shù)極值的定義2．函數(shù)的駐點3．21．函數(shù)凹凸性定義2．函數(shù)的拐點稱曲線為凹的；

稱曲線為凸的。

3．函數(shù)凹凸性的判別二、函數(shù)的凹凸性及拐點凹弧與凸弧的分界點。

凹；凸。

1．函數(shù)凹凸性定義2．函數(shù)的拐點稱曲線為凹的；稱曲線為凸的31．第一充分條件三、函數(shù)極值的充分條件則在處取得極大值；則在處取得極小值；（3）若

時，的符號保持不變，則在處沒有極值；（1）若

時，而

時，（2）若

時，而

時，1．第一充分條件三、函數(shù)極值的充分條件則42．第二充分條件（2）當時，函數(shù)在處取得極小值；（1）當時，函數(shù)在處取得極大值；設函數(shù)在處具有二階導數(shù)且，，那么

設函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，且除有限個

導數(shù)不存在的點外，導函數(shù)連續(xù)，且，，

，在處導數(shù)不存在。且

2．第二充分條件（2）當時，5

不存在不存在極小拐點極大拐點分別研究函數(shù)在各個部分區(qū)間上單調(diào)性、凸凹性、極值及拐點。，則可用將劃分，五、求函數(shù)極值的解題方法不存在不存在極小拐點極大拐點分別研究函數(shù)在各個部分區(qū)間上單6求的極值為極大值求定義域為駐點變號由正到負求Yes第一充分條件第二充分條件Yes在內(nèi)求的駐點及不可導點為極小值為極值為極值在變號為極小值為極大值非極值YesNoNoNoNoNo解題方法流程圖

求的極值為極大值求定義域7六、典型例題

解:【例1】確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

因為，故知的不可導點僅有,令

，得，。從而有當時，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

當時，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

當時，，故在內(nèi)單調(diào)增加；

當時，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

六、典型例題解:【例1】確定函數(shù)8【例2】設可微函數(shù)由方程所確定，

試確定此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解:在方程兩邊對求導，得，即。令，得，。從而有當時，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

當時，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

當時，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

【例2】設可微函數(shù)由方程9【例3】當時,

證明：設故

在上單調(diào)增加，而

因此

即因為【例3】當時,證明：設故10【例4】證明：當時，有不等式.證明：設,則；從而在內(nèi)單調(diào)增加，即有

因此在內(nèi)單調(diào)增加，于是有

即

亦即

【例4】證明：當時，有不等式11【例5】試確定函數(shù)中的，使得

為函數(shù)的駐點，點為函數(shù)的拐點，并求出拐點.解：，。由于點為拐點，必有,即，。又點

為駐點，必有，即，

從而函數(shù)為，注意到

當時，，圖形是凸的；

當時，，圖形是凹的；

而。故曲線

的拐點為。【例5】試確定函數(shù)12【例6】求函數(shù)

的極值.解：（1）函數(shù)的定義域為

（2）

（3）令得駐點；（4）利用第一充分條件。當

時，；當時，.同理在

處取得極大值,極大值為.本題的第四步也可用第二充分條件來判別：因而,函數(shù)在處取得極小值，極小值為

.【例6】求函數(shù)13（4’）利用第二充分條件。所以，

在處取得極小值,極小值為;【例7】求函數(shù)

的極值.解：函數(shù)的定義域

為令

,得駐點,且在內(nèi)只有一個駐點,而無不可導點.在處取得極大值，且極大值為

.（4’）利用第二充分條件。所以，在14從而，函數(shù)在

處取得極小值，極小值為0.【例8】求函數(shù)

的極值.解：（1）函數(shù)的定義域

為;（2）當時,

;當時,不存在.（3）函數(shù)在內(nèi)無駐點,只有一個不可導點;（4）由于在內(nèi),,函數(shù)單調(diào)增加;在內(nèi),,函數(shù)單調(diào)減少;極大值為.又函數(shù)在處連續(xù),于是函數(shù)在

處取得極大值,從而，函數(shù)在處取得極小值，極小值為0.【例815【例9】求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值。解:令

得駐點將這些點處的函數(shù)值與區(qū)間端點處的函數(shù)值

進行比較得：最大值為最小值為【例9】求函數(shù)16【例10】要造一圓柱形油罐，體積為,問底半徑

和高等于多少時，才能使表面積最?。窟@時底直徑與高的比是多少？解：由題設可知,其中為常量;表面積令得唯一駐點表面積最小，這時底直徑與高的比為1:1.由實際問題的意義和唯一性可知，當和【例10】要造一圓柱形油罐，體積為,問底半徑和17解：無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:得駐點令得特殊點令補充點:

【例11】作函數(shù)的圖形.解：無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值18極大值拐點極小值極大值拐點極小值19【例12】求拋物線在其頂點處的曲率及曲率半徑。則在

處的曲率為解：因為

,所以頂點為.曲率半徑為

【例13】對數(shù)曲線上哪一點處的曲率半徑最??？求出該點處的曲率半徑。解：由題設可得：【例12】求拋物線20從而令得

(舍去),即在內(nèi)只有唯一駐點此時

由問題的實際意義知，

上最大曲率的點存在，所以

是上曲率半徑最小的點,且該點處的曲率半徑為

因此上任一點

處的曲率為從而令得21第三章微分中值定理與

導數(shù)的應用習題課(三)導數(shù)的應用

第三章微分中值定理與

導數(shù)的應用習題課(三)導數(shù)的應用22一、函數(shù)的極值與單調(diào)性

1．函數(shù)極值的定義2．函數(shù)的駐點3．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判別

則為的駐點。

在上，若，則單調(diào)增加；

若，則單調(diào)減少；

為極大值.)(),()(),,(000。xfxfxfxUx￡?d一、函數(shù)的極值與單調(diào)性1．函數(shù)極值的定義2．函數(shù)的駐點3．231．函數(shù)凹凸性定義2．函數(shù)的拐點稱曲線為凹的；

稱曲線為凸的。

3．函數(shù)凹凸性的判別二、函數(shù)的凹凸性及拐點凹弧與凸弧的分界點。

凹；凸。

1．函數(shù)凹凸性定義2．函數(shù)的拐點稱曲線為凹的；稱曲線為凸的241．第一充分條件三、函數(shù)極值的充分條件則在處取得極大值；則在處取得極小值；（3）若

時，的符號保持不變，則在處沒有極值；（1）若

時，而

時，（2）若

時，而

時，1．第一充分條件三、函數(shù)極值的充分條件則252．第二充分條件（2）當時，函數(shù)在處取得極小值；（1）當時，函數(shù)在處取得極大值；設函數(shù)在處具有二階導數(shù)且，，那么

設函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，且除有限個

導數(shù)不存在的點外，導函數(shù)連續(xù)，且，，

，在處導數(shù)不存在。且

2．第二充分條件（2）當時，26

不存在不存在極小拐點極大拐點分別研究函數(shù)在各個部分區(qū)間上單調(diào)性、凸凹性、極值及拐點。，則可用將劃分，五、求函數(shù)極值的解題方法不存在不存在極小拐點極大拐點分別研究函數(shù)在各個部分區(qū)間上單27求的極值為極大值求定義域為駐點變號由正到負求Yes第一充分條件第二充分條件Yes在內(nèi)求的駐點及不可導點為極小值為極值為極值在變號為極小值為極大值非極值YesNoNoNoNoNo解題方法流程圖

求的極值為極大值求定義域28六、典型例題

解:【例1】確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

因為，故知的不可導點僅有,令

，得，。從而有當時，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

當時，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

當時，，故在內(nèi)單調(diào)增加；

當時，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

六、典型例題解:【例1】確定函數(shù)29【例2】設可微函數(shù)由方程所確定，

試確定此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解:在方程兩邊對求導，得，即。令，得，。從而有當時，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

當時，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

當時，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

【例2】設可微函數(shù)由方程30【例3】當時,

證明：設故

在上單調(diào)增加，而

因此

即因為【例3】當時,證明：設故31【例4】證明：當時，有不等式.證明：設,則；從而在內(nèi)單調(diào)增加，即有

因此在內(nèi)單調(diào)增加，于是有

即

亦即

【例4】證明：當時，有不等式32【例5】試確定函數(shù)中的，使得

為函數(shù)的駐點，點為函數(shù)的拐點，并求出拐點.解：，。由于點為拐點，必有,即，。又點

為駐點，必有，即，

從而函數(shù)為，注意到

當時，，圖形是凸的；

當時，，圖形是凹的；

而。故曲線

的拐點為?！纠?】試確定函數(shù)33【例6】求函數(shù)

的極值.解：（1）函數(shù)的定義域為

（2）

（3）令得駐點；（4）利用第一充分條件。當

時，；當時，.同理在

處取得極大值,極大值為.本題的第四步也可用第二充分條件來判別：因而,函數(shù)在處取得極小值，極小值為

.【例6】求函數(shù)34（4’）利用第二充分條件。所以，

在處取得極小值,極小值為;【例7】求函數(shù)

的極值.解：函數(shù)的定義域

為令

,得駐點,且在內(nèi)只有一個駐點,而無不可導點.在處取得極大值，且極大值為

.（4’）利用第二充分條件。所以，在35從而，函數(shù)在

處取得極小值，極小值為0.【例8】求函數(shù)

的極值.解：（1）函數(shù)的定義域

為;（2）當時,

;當時,不存在.（3）函數(shù)在內(nèi)無駐點,只有一個不可導點;（4）由于在內(nèi),,函數(shù)單調(diào)增加;在內(nèi),,函數(shù)單調(diào)減少;極大值為.又函數(shù)在處連續(xù),于是函數(shù)在

處取得極大值,從而，函數(shù)在處取