彈性力學(xué)第四章-本構(gòu)關(guān)系

§4-1物體的彈性性質(zhì)和廣義胡克定律§4-2線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系第四章本構(gòu)關(guān)系§4-3各向同性線彈性材料的物理方程一般情況下，物體的應(yīng)力與應(yīng)變呈某一函數(shù)關(guān)系，可表示為：應(yīng)力與應(yīng)變張量均為六個(gè)獨(dú)立分量。則§4-1物體的彈性性質(zhì)·廣義Hooke定律一.彈性的概念

如果材料呈單值連續(xù)關(guān)系（不一定線性），則稱為柯西（Cauchy）彈性材料（一般意義上的彈性）。

受材料在單向拉伸試驗(yàn)時(shí)彈性階段的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系（胡克定律）的啟發(fā)，

線彈性材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下其應(yīng)力張量與應(yīng)變張量亦呈線性關(guān)系。稱為廣義胡克定律的一般形式

呈線性單值連續(xù)關(guān)系的材料性質(zhì)稱為線彈性。

在柯西彈性的基礎(chǔ)上附加等溫絕熱的外部環(huán)境條件，使有勢(shì)函數(shù)存在，則這種彈性性質(zhì)又稱為超彈性。可以證明線彈性一定是超彈性。二.廣義胡克（Hooke）定律即

廣義胡克定律的一般形式最廣泛地描述了材料的線彈性性質(zhì)，但未能描述物體外部環(huán)境條件和內(nèi)部物理特征。其中——稱為彈性常數(shù)，共81個(gè)系數(shù)，因各六個(gè)獨(dú)立，縮減為36個(gè)獨(dú)立的常數(shù)。cmn和cijkl

的下標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系：m、n123456ij、kl112233122331如，c22c2222

，c56c2331矩陣表示形式：——分別稱為應(yīng)力和應(yīng)變列陣——稱為彈性矩陣。其元素cmn為36個(gè)其中張量表示形式：§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系如果材料在變形過程中處于等溫絕熱過程。根據(jù)熱力學(xué)第一定律和相應(yīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，有勢(shì)，其勢(shì)函數(shù)U0(ij)為物體單位體積的變形能（應(yīng)變能）?！狦reen公式由同理即

彈性矩陣為對(duì)稱矩陣，共有21個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)對(duì)

稱廣義胡克定律的上述形式表征的是各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系。

如果材料具有彈性對(duì)稱面，則本構(gòu)關(guān)系還可簡(jiǎn)化，使彈性常數(shù)進(jìn)一步縮減。

彈性體中每一點(diǎn)均有一個(gè)對(duì)稱方向，在這些對(duì)稱方向上彈性性質(zhì)相同，即應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不變。稱為彈性對(duì)稱。彈性對(duì)稱

彈性對(duì)稱方向

彈性對(duì)稱方向

彈性對(duì)稱面

彈性主軸

彈性主軸一.橫觀各向異性材料

相應(yīng)的對(duì)稱方向和對(duì)稱面稱為彈性對(duì)稱方向和彈性對(duì)稱面。垂直于彈性對(duì)稱面的方向稱為彈性主軸。xyz

彈性對(duì)稱面OP

(x,y,z)P

(x,y,-z)y

設(shè)Oxy平面為材料的彈性對(duì)稱面，z軸為彈性主軸。其中[C]為各向異性的彈性矩陣

現(xiàn)將z軸反向，考察其本構(gòu)關(guān)系xz

僅具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的材料稱為橫觀各向異性材料。

體內(nèi)一點(diǎn)P(x,y,z)的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)閧

}

和{

}。則在新坐標(biāo)下，由于彈性對(duì)稱，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系保持不變但P點(diǎn)坐標(biāo)和應(yīng)力應(yīng)變分量發(fā)生變化由坐標(biāo)變換兩坐標(biāo)系三軸的方向余弦為xyzx100y010x00-1代入上式由比較得例如比較[C]和[C]

中的第一行

橫觀各向異性材料，其獨(dú)立的彈性常數(shù)為13個(gè)；正應(yīng)變會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)力，切應(yīng)變也會(huì)產(chǎn)生正應(yīng)力

工程上，單斜晶體（如正長(zhǎng)石）可簡(jiǎn)化為橫觀各向異性彈性體。

橫觀各向異性材料的廣義胡克定律可表示為對(duì)

稱

將y軸反向，不產(chǎn)生新的結(jié)果。

將x軸反向，仿前分析步驟可得二.正交各向異性材料xyzP

(x,y,z)O

設(shè)三個(gè)彈性對(duì)稱面分別為Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿x、

y、

z三方向彈性性質(zhì)各異。

具有三個(gè)相互垂直彈性對(duì)稱面的材料稱為正交各向異性材料。綜合之，，正交各各向異性性材料的的廣義胡克定律律可表示為為對(duì)

稱正交各向向異性材料，其獨(dú)立立的彈性常數(shù)數(shù)為9個(gè)；正應(yīng)變僅僅產(chǎn)生正正應(yīng)力，，切應(yīng)變變僅產(chǎn)生生切應(yīng)力力。煤、木材材、增強(qiáng)強(qiáng)纖維復(fù)復(fù)合材料料等可簡(jiǎn)簡(jiǎn)化為正交各向向異性彈性體。。工程上一一般用三三個(gè)彈性性模量（（Ex、Ey、Ez），三個(gè)個(gè)泊松比比（Poisson）（xy、yz、zx）和三個(gè)個(gè)切變模模量（Gxy、Gyz、Gzx）表示。。三.橫觀各向向同性材材料具有各向向同性面面，且各各各向同同性面相相互平行行（或具具有彈性性對(duì)稱軸軸）的物物體，稱稱為橫觀觀各向同同性材料料。yzxxyzO設(shè)體內(nèi)每每一點(diǎn)存存在一軸軸（z軸），在在與此軸軸垂直的的平面（（Oxy）內(nèi)，所所有射線線方向的的彈性性性質(zhì)均相相同。稱該平面面為各向向同性面面。在正交各各向異性性的基礎(chǔ)礎(chǔ)上，按按相似分分析步驟驟，設(shè)xy平面繞z軸旋轉(zhuǎn)任任意角度度，旋轉(zhuǎn)前后后應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變關(guān)系系不變，，比較其其彈性常常數(shù)可得得對(duì)

稱所以，橫橫觀各向向同性材材料的廣廣義胡克定律律可表示為為橫觀各向向同性材料，其獨(dú)立立的彈性常數(shù)數(shù)為5個(gè)；地層、層層狀巖體體、復(fù)合合板材等等可簡(jiǎn)化化為橫觀各向向同性彈性材料料。工程上一一般用兩兩個(gè)彈性性模量（（Exy、Ez），兩個(gè)個(gè)泊松比比（xy、z）和一個(gè)個(gè)切變模模量（G）表示。。四.各向同性性材料在橫觀各各向同性性的基礎(chǔ)上上，將z軸反向，，考察其其反向前前后的應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變變關(guān)系可可得對(duì)

稱所以，各各向同性性材料的的廣義胡克定律律可表示為為各向同同性材材料獨(dú)獨(dú)立的的彈性性常數(shù)數(shù)只有有2個(gè)§4-3各向同同性線彈性性材料料的物物理方方程一.廣義胡克定定律的基本本形式式對(duì)于各向同同性材材料的的廣義義胡克克定律律表達(dá)達(dá)式，，展開開令則其中張量形形式（注：：Lamé原文所所用符號(hào)為為和而非G，也不是是泊松松比。。在工工程形形式中中，Lamé常數(shù)實(shí)際上上被定定義為為切變變模量量G）、G稱為拉梅（（Lamé）常數(shù)數(shù)此即廣廣義胡胡克定定律的的基本本形式式，該該形式式數(shù)學(xué)學(xué)表述述簡(jiǎn)練練，便便于理理論推推導(dǎo)應(yīng)應(yīng)用，，但力力學(xué)意意義不不能一一目了了然，，不便便于工工程運(yùn)運(yùn)用。。二.廣義胡胡克定定律的的工程程形式式將前六六式反反解，，并令令則此即廣廣義胡胡克定定律的的工程程形式式，其其中常常數(shù)E、G和是廣為為熟知知的彈彈性模模量、、切變變模量量和泊泊松比比。僅僅兩個(gè)個(gè)獨(dú)立立。張量形形式其中由得若用應(yīng)應(yīng)變表表示，，反解解或由由基本本形式式代入入即得得或三.體積胡胡克定定律由即描述了了體積積應(yīng)力力和體體積應(yīng)應(yīng)變的的關(guān)系系令稱為體體積彈彈性模模量故稱為體體積胡胡克定定律張量形形式或所以當(dāng)ij時(shí)，因因三式相相加為為恒等等式即六對(duì)對(duì)量?jī)H僅五個(gè)個(gè)關(guān)系系補(bǔ)充一一個(gè)關(guān)關(guān)系——體積胡胡克定定律故四.廣義胡胡克定定律的的偏量量形式式此形式式便于于塑性性分析析五.彈性常常數(shù)的的關(guān)系系前述廣廣義胡胡克定定律的的各種種形