分段函數(shù)的幾種常見題型及解法

分段函數(shù)的幾種常見題型及解法分段函數(shù)的幾種常見題型及解法分段函數(shù)的幾種常見題型及解法分段函數(shù)的幾種常見題型及解法編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編: 分段函數(shù)的幾種常見題型及解法分段函數(shù)是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的范圍內(nèi),有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù),它是一個(gè)函數(shù),卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù);它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集,其值域也是各段函數(shù)值域的并集.由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的程度的考察上有較好的作用,時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場,筆者就幾種具體的題型做了一些思考,解析如下：1．求分段函數(shù)的定義域和值域例1．求函數(shù)的定義域、值域.【解析】作圖,利用“數(shù)形結(jié)合”易知的定義域?yàn)?值域?yàn)?2．求分段函數(shù)的函數(shù)值例2．（05年浙江理）已知函數(shù)求.【解析】因?yàn)?所以.3．求分段函數(shù)的最值例3．求函數(shù)的最大值.【解析】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,綜上有.4．求分段函數(shù)的解析式例4．在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,現(xiàn)將的圖象沿軸向左平移2個(gè)單位,再沿軸向上平移1個(gè)單位,所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖所示）,則函數(shù)的表達(dá)式為（）【解析】當(dāng)時(shí),,將其圖象沿軸向右平移2個(gè)單位,再沿軸向下平移1個(gè)單位,得解析式為,所以,當(dāng)時(shí),,將其圖象沿軸向右平移2個(gè)單位,再沿軸向下平移1個(gè)單位,得解析式,所以,綜上可得,故選A.5．作分段函數(shù)的圖像例5．函數(shù)的圖像大致是（）6．求分段函數(shù)得反函數(shù)例6已知是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,設(shè)得反函數(shù)為,求的表達(dá)式.【解析】設(shè),則,所以,又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),所以,且,所以,因此,從而可得.7．判斷分段函數(shù)的奇偶性例7．判斷函數(shù)的奇偶性.【解析】當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,當(dāng),,因此,對(duì)于任意都有,所以為偶函數(shù).8．判斷分段函數(shù)的單調(diào)性例8．判斷函數(shù)的單調(diào)性.【解析】顯然連續(xù).當(dāng)時(shí),恒成立,所以是單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立,也是單調(diào)遞增函數(shù),所以在上是單調(diào)遞增函數(shù);或畫圖易知在上是單調(diào)遞增函數(shù).例9．寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.【解析】,畫圖易知單調(diào)減區(qū)間為.9．解分段函數(shù)的方程例10．（01年上海）設(shè)函數(shù),則滿足方程的的值為【解析】若,則,得,所以（舍去）,若,則,解得,所以即為所求.10．解分段函數(shù)的不等式例11．設(shè)函數(shù),若,則得取值范圍是（）【解析1】首先畫出和的大致圖像,易知時(shí),所對(duì)應(yīng)的的取值范圍是.【解析2】因?yàn)?當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),,解得,綜上的取值范圍是.故選D.例12．設(shè)函數(shù),則使得的自變量的取值范圍為（）A．B.C.D.【解析】當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)時(shí),,所以,綜上所述,或,故選A項(xiàng).【點(diǎn)評(píng)：】以上分段函數(shù)性質(zhì)的考查中,不難得到一種解題的重要途徑,若能畫出其大致圖像,定義域、值