2016年黃河水院數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

年黃河水院數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽暨全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽選拔賽賽題一、時(shí)間安排：本次競(jìng)賽時(shí)間為2016年5月13日8：00至5月16日8：00。論文上交時(shí)間為5月16日上午9點(diǎn)至11點(diǎn)，11點(diǎn)之后不再受理。二、論文上交地點(diǎn)：基礎(chǔ)部（實(shí)訓(xùn)樓5509室）聯(lián)系電話：李老師；呂老師三、注意事項(xiàng)：1．各參賽隊(duì)從A、B、C題中任選一題。2．選拔賽采用下面給出的統(tǒng)一封面。3．論文（答卷）用A4紙打印，上下左右各留出2.5厘米的頁邊距。4．論文第一頁為承諾書與參賽隊(duì)信息。論文題目和摘要寫在論文第二頁上，從第三頁開始是論文正文。論文從正文開始編寫頁碼，頁碼必須位于每頁頁腳中部，用阿拉伯?dāng)?shù)字從“1”開始連續(xù)編號(hào)，注意論文一律要求從左側(cè)5．論文不能有頁眉、頁腳，論文中不能有任何可能顯示答題人身份的標(biāo)志。6．論文題目用3號(hào)黑體字、一級(jí)標(biāo)題用4號(hào)黑體字，并居中。論文中其他漢字一律采用小4號(hào)黑色宋體字，行距用單倍行距。7．提請(qǐng)大家注意：摘要在整篇論文評(píng)閱中占有較大權(quán)重，請(qǐng)認(rèn)真書寫摘要。8．引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料)必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在參考文獻(xiàn)中明確列出。9．論文寫作要點(diǎn)見試題后附件：《如何寫好數(shù)學(xué)建模選拔賽答卷》。10．參賽隊(duì)必須上交論文的打印稿（原則上若手寫稿按棄權(quán)處理）。請(qǐng)將論文的word電子文檔同論文一起上交或發(fā)電子郵件到：LLj19900628@163.com。電子文檔需在題目下注明隊(duì)員姓名、學(xué)號(hào)、每個(gè)隊(duì)員的手機(jī)號(hào)碼(且手機(jī)需在交稿之日起3—7日間保持暢通，以便隨時(shí)接受答辯通知)。2016年黃河水院數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們完全明白，在選拔賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反選拔賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守選拔賽規(guī)則，以保證選拔賽的公正、公平性。如有違反選拔賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。你們的《高等數(shù)學(xué)》任課教師姓名:______________________參賽隊(duì)員(打印并簽名)： 隊(duì)員1：__________________________________手機(jī)號(hào)：__________________________________隊(duì)員2：__________________________________手機(jī)號(hào)：__________________________________隊(duì)員3：__________________________________手機(jī)號(hào)：__________________________________

題目摘要

2016年黃河水院數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題A題：工期費(fèi)用優(yōu)化問題在工程項(xiàng)目計(jì)劃階段或施工過程中，都存在以合同要求工期為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)進(jìn)度計(jì)劃進(jìn)行優(yōu)化的問題，即通過壓縮關(guān)鍵工作的持續(xù)時(shí)間，以達(dá)到縮短工期的目標(biāo)。工期的壓縮必然以增加費(fèi)用為代價(jià)，而使追加費(fèi)用最少是工期優(yōu)化的主要目標(biāo)。工程實(shí)踐證明，對(duì)某項(xiàng)工作而言，它的直接費(fèi)用與持續(xù)時(shí)間的關(guān)系如圖1所示。圖中A點(diǎn)對(duì)應(yīng)工作正常持續(xù)時(shí)間及正常費(fèi)用,若從A點(diǎn)起增加人力，設(shè)備及其他投入，應(yīng)用新技術(shù)工藝，就會(huì)縮短工作持續(xù)時(shí)間，加快進(jìn)度，但費(fèi)用也會(huì)增加，一直到B點(diǎn)處已不能再縮短工作持續(xù)時(shí)間了。此時(shí)的持續(xù)時(shí)間為極限持續(xù)時(shí)間，相應(yīng)費(fèi)用為極限費(fèi)用。在A，B兩點(diǎn)范圍內(nèi)，費(fèi)用與時(shí)間的關(guān)系為直線，直線斜率的絕對(duì)值稱為費(fèi)用增率，表示工作的持續(xù)時(shí)間縮短單位時(shí)間所增加的費(fèi)用。圖2工作網(wǎng)絡(luò)圖圖1費(fèi)用與持續(xù)時(shí)間關(guān)系圖2工作網(wǎng)絡(luò)圖圖1費(fèi)用與持續(xù)時(shí)間關(guān)系現(xiàn)有一工程，計(jì)劃工期125天，需要完成7個(gè)工作步驟，其工作網(wǎng)絡(luò)圖如圖2，原始數(shù)據(jù)見下表。工作名稱持續(xù)時(shí)間（天）極限持續(xù)時(shí)間（天）費(fèi)用增率（萬）A302510B252015C352510D252225E302430F655020G302045問題1：該工程最短工期為多少天，這時(shí)需要增加多少費(fèi)用？問題2：現(xiàn)在為慶祝一重大節(jié)日，要使工程工期縮短20天，如何安排各工作持續(xù)時(shí)間使所增加費(fèi)用最少，所增加最少費(fèi)用為多少？B題：降落傘問題降落傘由靜止開始下降，測(cè)得下降速度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)如下表1所示，設(shè)降落傘的質(zhì)量，重力加速度。請(qǐng)你建立模型并解決以下問題：?jiǎn)栴}1：2.3秒時(shí)降落傘的速度；問題2：5.7秒時(shí)降落傘的速度；問題3：經(jīng)過5秒降落傘下落的位移；問題4：若降落傘從100米高空下落，多少時(shí)間下落到地面。表1：降落傘下降速度00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.003.555.346.246.696.927.047.05C題：時(shí)彩投注方案問題有一種彩票在10分鐘內(nèi)開出一期，稱為時(shí)彩。時(shí)彩有很多種玩法，其中有一種玩法是后三：個(gè)、十、百三位數(shù)，全對(duì)稱為投中，投中概率為0.001。某時(shí)彩平臺(tái)給出的賠率為0.02：18（即每單倍購買一注的價(jià)格是0.02元，投中賠付18元）。某彩民在購買彩票時(shí)采取“追號(hào)”（即每期都買這個(gè)號(hào)直到買中為止）的方式購買彩票。又考慮到購買彩票又要有盈利，在追號(hào)過程中需要增加購買彩票的倍數(shù)，如首次購買投5倍，不中以后第二期購買可以投10倍，中了以后就把首期投入的金額掙回。從理論上講，一次買一個(gè)號(hào)投中概率0.001較小，相應(yīng)地理論周期1000期較長(zhǎng)（投中一次所需要的期數(shù)）。為了縮短周期，提高抽中的概率，某時(shí)彩打出了多種組合玩法，其規(guī)則與賠率如下表：玩法名稱規(guī)則及示例單倍投注額單倍賠付額三選一1000個(gè)組合分成平分成三組，選其中一組（333注）投注6.6618組60三位數(shù)不重復(fù)，如1282.403組30三位數(shù)中有兩位重復(fù)，如1211.806組30奇偶三位數(shù)中有兩位重復(fù)，且重復(fù)的數(shù)字可以選奇偶，如121奇0.96假設(shè)：彩民在投注時(shí)以“追號(hào)”方式購買彩票；其理想獲得盈利為投注額的20%。問題1：請(qǐng)計(jì)算每種玩法中獎(jiǎng)的概率，并計(jì)算出每種玩法的理論周期（即理論上每種組合在多少期能出現(xiàn)一次）。問題2：彩民要獲得20%的利潤(rùn)，在追號(hào)過程中，后一期投注的倍數(shù)就要比前一期的倍數(shù)要多（比如起始倍數(shù)為10倍，不中之后下一期就可能要投20倍才能獲得利潤(rùn)）。假設(shè)資金無限，請(qǐng)給出每種玩法的倍投數(shù)學(xué)模型，并計(jì)算出每種玩法10期的投注方案及盈虧情況（起始倍數(shù)為10倍）。問題3：假設(shè)總資金一定（如1萬元），若以“理論周期+3期”抽中為完成一個(gè)計(jì)劃，請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型并給出投注方案。問題4：彩民在投注中，可以多種玩法組合，如一期可以投“組30”，同時(shí)投“組30奇偶”。若以80期為一個(gè)結(jié)算點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種投注方案，使在80期內(nèi)投入資金量一定（如1萬元）且獲得最大利潤(rùn)。問題5：事實(shí)上，彩票的每種玩法并不像理論周期那么規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計(jì)在“三選一”玩法中每400期總會(huì)至少有一次10期以上選的號(hào)不出現(xiàn)（遺漏值為10以上）。如果連續(xù)追號(hào)的話就會(huì)造成資金大額虧損，且心理壓力增大（出現(xiàn)極端情況可能本錢虧為0，使自己無力投注）。為了使損失盡可能減少，就要考慮“止損”（即在一個(gè)計(jì)劃內(nèi)選擇到一定期數(shù)時(shí)不再追號(hào)，此計(jì)劃終止），虧損額可以在下一個(gè)計(jì)劃或下多個(gè)計(jì)劃補(bǔ)回。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型并計(jì)算：總資金為1萬元，起始投注倍數(shù)為10倍，“三選一”的止損點(diǎn)（即止損的計(jì)劃周期數(shù)），且給出80期內(nèi)完成目標(biāo)的計(jì)劃方案?！叭x一”遺漏圖見下圖。附錄：如何寫好數(shù)學(xué)建模選拔賽答卷一、寫好數(shù)模答卷的重要性1.評(píng)定參賽隊(duì)的成績(jī)好壞、高低，獲獎(jiǎng)級(jí)別，數(shù)模答卷是重要依據(jù)。2.答卷是選拔賽活動(dòng)的成績(jī)結(jié)晶的書面形式。3.寫好答卷的訓(xùn)練是科技寫作的一種基本訓(xùn)練。二、答卷的基本內(nèi)容，需要重視的問題（一）評(píng)閱原則：假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的合理性，表述的清晰程度。（二）答卷的文章結(jié)構(gòu)0．摘要1．問題的敘述，問題的分析，背景的分析等2．模型的假設(shè)，符號(hào)說明（表）3．模型的建立（問題分析，公式推導(dǎo)，基本模型，最終或簡(jiǎn)化模型等）4．模型的求解

①計(jì)算方法設(shè)計(jì)或選擇；算法設(shè)計(jì)或選擇，

算法思想依據(jù)，步驟及實(shí)現(xiàn)，計(jì)算框圖；所采用的軟件名稱；②引用或建立必要的數(shù)學(xué)命題和定理；

③求解方案及流程

5．結(jié)果表示、分析與檢驗(yàn)，誤差分析，模型檢驗(yàn)……6．模型評(píng)價(jià)，特點(diǎn)，優(yōu)缺點(diǎn)，改進(jìn)方法，推廣…….7．參考文獻(xiàn)8．附錄計(jì)算框圖、詳細(xì)圖表……（三）要重視的問題0．摘要包括：a.模型的數(shù)學(xué)歸類（在數(shù)學(xué)上屬于什么類型）；

b.建模的思想（思路）；

c.算法思想（求解思路）；d.建模特點(diǎn)（模型優(yōu)點(diǎn)，建模思想或方法，算法特點(diǎn)，結(jié)果檢驗(yàn)，靈敏度分析，模型檢驗(yàn)…….）

；e.主要結(jié)果（數(shù)值結(jié)果，結(jié)論）（回答題目所問的全部“問題”）表述：準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明、條理清晰、合乎語法、字體工整漂亮；打印的最好，但要求符合文章格式。務(wù)必認(rèn)真校對(duì)。1．問題重述2．模型假設(shè)跟據(jù)全國(guó)組委會(huì)確定的評(píng)閱原則，基本假設(shè)的合理性很重要。（1）根據(jù)題目中條件作出假設(shè)（2）根據(jù)題目中要求作出假設(shè)關(guān)鍵性假設(shè)不能缺；假設(shè)要切合題意3．模型的建立（1）基本模型：1)首先要有數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)公式、方案等;2)基本模型，要求完整，正確，簡(jiǎn)明.（2）簡(jiǎn)化模型:1）要明確說明：簡(jiǎn)化思想，依據(jù);2）簡(jiǎn)化后模型，盡可能完整給出.（3）模型要實(shí)用有效，以解決問題有效為原則。數(shù)學(xué)建模面臨的、要解決的是實(shí)際問題，不追求數(shù)學(xué)上：高（級(jí)）、深（刻）、難（度大）。能用初等方法解決的就不用高級(jí)方法；能用簡(jiǎn)單方法解決的，就不用復(fù)雜方法；能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數(shù)人看懂、理解的方法。（4）鼓勵(lì)創(chuàng)新，但要切實(shí)，不要離題搞標(biāo)新立異數(shù)模創(chuàng)新可出現(xiàn)在建模中，模型本身，簡(jiǎn)化的好方法、好策略等，模型求解中結(jié)果表示、分析、檢驗(yàn)，模型檢驗(yàn)推廣部分.（5）在問題分析推導(dǎo)過程中，需要注意的問題：分析：中肯、確切；

術(shù)語：專業(yè)、內(nèi)行；

原理、依據(jù)：正確、明確；

表述：簡(jiǎn)明，關(guān)鍵步驟要列出；忌：外行話，專業(yè)術(shù)語不明確，表述混亂，冗長(zhǎng)。4．模型求解（1）需要建立數(shù)學(xué)命題時(shí)：命題敘述要符合表述規(guī)范，盡可能論證嚴(yán)密。（2）需要說明計(jì)算方法或算法的原理、思想、依據(jù)、步驟。若采用現(xiàn)有軟件，說明采用此軟件的理由，軟件名稱（3）計(jì)算過程，中間結(jié)果可要可不要的，不要列出。（4）設(shè)法算出合理的數(shù)值結(jié)果。5．結(jié)果分析、檢驗(yàn)；模型檢驗(yàn)及模型修正；結(jié)果表示（1）最終數(shù)值結(jié)果的正確性或合理性是第一位的；（2）對(duì)數(shù)值結(jié)果或模擬結(jié)果進(jìn)行必要的檢驗(yàn)。結(jié)果不正確、不合理、或誤差大時(shí)，分析原因，

對(duì)算法、計(jì)算方法、或模型進(jìn)行修正、改進(jìn)；（3）題目中要求回答的問題，數(shù)值結(jié)果，結(jié)論，須一一列出；（4）列數(shù)據(jù)問題：考慮是否需要列出多組數(shù)據(jù)，或額外數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較、分析，為各種方案的提出提供依據(jù)；（5）結(jié)果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析

數(shù)值結(jié)果表示：精心設(shè)計(jì)表格；可能的話，用圖形圖表形式求解方案，用圖示更好

（6）必要時(shí)對(duì)問題解答，作定性或規(guī)律性的討論。最后結(jié)論要明確。6．模型評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)突出，缺點(diǎn)不回避。改變?cè)}要求，重新建?？稍诖俗?。推廣或改進(jìn)方向時(shí)，不要玩弄新數(shù)學(xué)術(shù)語。7．參考文獻(xiàn)8．附錄詳細(xì)的結(jié)果，詳細(xì)的數(shù)據(jù)表格，可在此列出。但不要錯(cuò)，錯(cuò)的寧可不列。主要結(jié)果數(shù)據(jù)，應(yīng)在正文中列出，不怕重復(fù)。

檢查答卷的主要三點(diǎn)，把三關(guān)：(1)模型的正確性、合理性、創(chuàng)新性;(2)結(jié)果的正確性、合理性;(3)文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩。三、關(guān)于寫答卷前的思考和工作規(guī)劃答卷需要回答哪幾個(gè)問題――建模需要解決哪幾個(gè)問題；問題以怎樣的方式回答――結(jié)果以怎樣的形式表示；每個(gè)問題要列出哪些關(guān)鍵數(shù)據(jù)――建模要計(jì)算哪些關(guān)鍵數(shù)據(jù)每個(gè)量，列出；還是多組數(shù)――要計(jì)算