數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件

值分析第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分第一節(jié)等距節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes求積公式第二節(jié)復(fù)化求積法第三節(jié)提高求積公式精度的外推方法第四節(jié)Gaus型求積公式第六節(jié)數(shù)值微分?jǐn)?shù)值李析值分析1值分析引言Newton-Leibnitz公式(其中F(x)為f(x)的原函數(shù))f(rdx=F(b-F(a)例如,對(duì)概率積分「edxt∈[0,+∞o)VnJo由于被積函數(shù)的原函數(shù)F(x)不可能找到,牛頓萊布尼茲公式也就無(wú)能為力了。數(shù)值李析值分析2值分析所謂數(shù)值積分,從近似計(jì)算的角度看,就是在區(qū)間a,b上適當(dāng)?shù)剡x取若干個(gè)點(diǎn)x,然后用這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值f(x)的加權(quán)平均方法獲得定積分的近似值,即∫(xMx≈∑4f(x)從數(shù)值逼近的觀點(diǎn)看,所謂數(shù)值積分,就是用一個(gè)具有一定精度的簡(jiǎn)單函數(shù)p(x)代替被積函數(shù)f(x,而求出定積分的近似值,即f(xdr≈,p(x)a取q(x)→pn(x)得插值型求積公式,即:用插值多項(xiàng)式pn(x)≈f(x),廣r(xtn(xhx數(shù)值李析值分析3值分析下面推導(dǎo)插值型求積公式設(shè)x,x1,…,xn∈a,b1,p(x)是f(x)的n次Lagrange插值多項(xiàng)式p1(x)=∑f(x(x)則有f(m+((x)f(x)=p,(x)+n+1)!Wn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn),a<5(x)<b∫(xdx=.pn(x)dlx+(2(x)raxa(n+1)!∫∑f(x)1(x)dx+f(s(x))wm(x)dx(n+1)!∑Af(x)+bf(+(s()wn+(r)dr(n+1)!a數(shù)值李析值分析4值分析∫。f(x)dx=∑4∫(x)+(n+D)!(m+D(E(x))Wn+I(x)d插值型求積公式∫(x)x=∑Af(x)+R()s∑4f(x)()其中A1=「"l(xdxi=0,1,,nl(x)為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)。截?cái)嗾`差或余項(xiàng)為Rof(n+1)!∫r5(x)mn(xMt(3數(shù)值李析值分析5值分析數(shù)值求積公式的一般形式∫∫(xdx∑4f(x)A:(i=0,1,…,m)稱為求積系數(shù),x;Gi=0,1,,)稱為求積節(jié)點(diǎn)。數(shù)值李析值分析6值分析第一節(jié)等距節(jié)點(diǎn)的牛頓—柯特斯求積公式當(dāng)求積節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí),插值型求積公式稱為牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)求積公式牛頓一柯特斯求積公式的導(dǎo)出將積分區(qū)間[a,b]n等分,節(jié)點(diǎn)x;為=a+i,i=0,1,2,,n其中h=(b-)加。有f(x)dx≈∑A,f(x;)其中4=x數(shù)值李析值分析7值分析引進(jìn)變換x=a+h,0snx=a+i,產(chǎn)=0,2,A;=4,()dxdxj=0ti-xhdt=(b-a)c(n)i=0.1i∫,II(-j)t(5)(n-LnCm稱為柯特斯系數(shù)。于是牛頓一柯特斯求積公式為∫f(xMre∑A(x)=(b-a∑c"f(x)(6)i=0數(shù)值李析值分析8值分析牛頓一柯特斯系表nCO1C2C8l2122|16231631838381879016452/1516457901928825962542514425961928964184093591:03410592809354140151357713232989298913233577751172801728017280172801728017280172801729098988-92810406-454010496-92858828350283602835028302835028350283508350數(shù)值李析值分析9值分析(1)梯形公式(n=1)xo=a,x=b,h=b-a,co=C,)=1/2bf(r)dx(f(a)+f(b)=T2梯形公式的幾何意義yf(r)是用四邊梯形paBX的y=P,(x)面積代替曲邊梯形的面積fo=a數(shù)值李析值分析10數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件11數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件12數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件13數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件14數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件15數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件16數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件17數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件18數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件19數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件20數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件21數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件22數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件23數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件24數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件25數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件26數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件27數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件28數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件29數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件30數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件31數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件32數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件33值分析第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分第一節(jié)等距節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes求積公式第二節(jié)復(fù)化求積法第三節(jié)提高求積公式精度的外推方法第四節(jié)Gaus型求積公式第六節(jié)數(shù)值微分?jǐn)?shù)值李析值分析34值分析引言Newton-Leibnitz公式(其中F(x)為f(x)的原函數(shù))f(rdx=F(b-F(a)例如,對(duì)概率積分「edxt∈[0,+∞o)VnJo由于被積函數(shù)的原函數(shù)F(x)不可能找到,牛頓萊布尼茲公式也就無(wú)能為力了。數(shù)值李析值分析35值分析所謂數(shù)值積分,從近似計(jì)算的角度看,就是在區(qū)間a,b上適當(dāng)?shù)剡x取若干個(gè)點(diǎn)x,然后用這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值f(x)的加權(quán)平均方法獲得定積分的近似值,即∫(xMx≈∑4f(x)從數(shù)值逼近的觀點(diǎn)看,所謂數(shù)值積分,就是用一個(gè)具有一定精度的簡(jiǎn)單函數(shù)p(x)代替被積函數(shù)f(x,而求出定積分的近似值,即f(xdr≈,p(x)a取q(x)→pn(x)得插值型求積公式,即:用插值多項(xiàng)式pn(x)≈f(x),廣r(xtn(xhx數(shù)值李析值分析36值分析下面推導(dǎo)插值型求積公式設(shè)x,x1,…,xn∈a,b1,p(x)是f(x)的n次Lagrange插值多項(xiàng)式p1(x)=∑f(x(x)則有f(m+((x)f(x)=p,(x)+n+1)!Wn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn),a<5(x)<b∫(xdx=.pn(x)dlx+(2(x)raxa(n+1)!∫∑f(x)1(x)dx+f(s(x))wm(x)dx(n+1)!∑Af(x)+bf(+(s()wn+(r)dr(n+1)!a數(shù)值李析值分析37值分析∫。f(x)dx=∑4∫(x)+(n+D)!(m+D(E(x))Wn+I(x)d插值型求積公式∫(x)x=∑Af(x)+R()s∑4f(x)()其中A1=「"l(xdxi=0,1,,nl(x)為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)。截?cái)嗾`差或余項(xiàng)為Rof(n+1)!∫r5(x)mn(xMt(3數(shù)值李析值分析38值分析數(shù)值求積公式的一般形式∫∫(xdx∑4f(x)A:(i=0,1,…,m)稱為求積系數(shù),x;Gi=0,1,,)稱為求積節(jié)點(diǎn)。數(shù)值李析值分析39值分析第一節(jié)等距節(jié)點(diǎn)的牛頓—柯特斯求積公式當(dāng)求積節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí),插值型求積公式稱為牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)求積公式牛頓一柯特斯求積公式的導(dǎo)出將積分區(qū)間[a,b]n等分,節(jié)點(diǎn)x;為=a+i,i=0,1,2,,n其中h=(b-)加。有f(x)dx≈∑A,f(x;)其中4=x數(shù)值李析值分析40值分析引進(jìn)變換x=a+h,0snx=a+i,產(chǎn)=0,2,A;=4,()dxdxj=0ti-xhdt=(b-a)c(n)i=0.1i∫,II(-j)t(5)(n-LnCm稱為柯特斯系數(shù)。于是牛頓一柯特斯求積公式為∫f(xMre∑A(x)=(b-a∑c"f(x)(6)i=0數(shù)值李析值分析41值分析牛頓一柯特斯系表nCO1C2C8l2122|16231631838381879016452/1516457901928825962542514425961928964184093591:03410592809354140151357713232989298913233577751172801728017280172801728017280172801729098988-92810406-454010496-92858828350283602835028302835028350283508350數(shù)值李析值分析42值分析(1)梯形公式(n=1)xo=a,x=b,h=b-a,co=C,)=1/2bf(r)dx(f(a)+f(b)=T2梯形公式的幾何意義yf(r)是用四邊梯形paBX的y=P,(x)面積代替曲邊梯形的面積fo=a數(shù)值李析值分析43數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件44數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件45數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件46數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件47數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件48數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件49數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件50數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件51數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件52數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件53數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件54數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件55數(shù)值分析(16)牛頓-柯特斯求積公式課件56數(shù)值分析(16)牛頓-柯