數(shù)學建模微分方程模型課件

數(shù)學建模－

微分方程模型關曉飛同濟大學數(shù)學科學學院數(shù)學建模－

微分方程模型一、什么是微分方程？最最簡單的例子一、什么是微分方程？最最簡單的例子引例一曲線通過點（1，2），且在該曲線任一點M(x,y)處的切線的斜率為2x，求該曲線的方程。解

因此，所求曲線的方程為

若設曲線方程為，又因曲線滿足條件

根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知未知函數(shù)滿足關系式：對（1）式兩端積分得：代入（3）得C＝1引例一曲線通過點（1，2），且在該曲線任一點M(x回答什么是微分方程：

建立關于未知變量、未知變量的導數(shù)以及自變量的方程

回答什么是微分方程：二、微分方程的解法積分方法，分離變量法二、微分方程的解法積分方法，分離變量法可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解.分離變量法可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解例1

求解微分方程解分離變量兩端積分典型例題例1求解微分方程解分離變量兩端積分典型例題過定點的積分曲線;一階:二階:過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題.過定點的積分曲線;一階:二階:過定點且在定點的切線的斜率為定例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為例2.解初值問題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件得練習題練習題數(shù)學建模微分方程模型課件練習題答案練習題答案三、建立微分方程數(shù)學模型1、簡單的數(shù)學模型2、復雜的數(shù)學模型三、建立微分方程數(shù)學模型1、簡單的數(shù)學模型2、復雜的數(shù)學模型1、簡單的數(shù)學模型1、簡單的數(shù)學模型

利用微分方程求實際問題中未知函數(shù)的一般步驟是：

(1)分析問題，設所求未知函數(shù)，建立微分方程，確定初始條件；

(2)求出微分方程的通解；

(3)根據(jù)初始條件確定通解中的任意常數(shù)，求出微分方程相應的特解．

利用微分方程求實際問題中未知函數(shù)的一般步驟是：

實際問題需尋求某個變量y

隨另一變量t的變化規(guī)律：y=y(t).直接求很困難

建立關于未知變量、未知變量的導數(shù)以及自變量的方程

建立變量能滿足的微分方程

？哪一類問題實際問題需尋求某個變量y隨另一變量t的直接在工程實際問題中

“改變”、“變化”、“增加”、“減少”等關鍵詞提示我們注意什么量在變化.

關鍵詞“速率”,“增長”,“衰變”,“邊際的”,常涉及到導數(shù).

建立方法常用微分方程運用已知物理定律

利用平衡與增長式運用微元法應用分析法機理分析法在工程實際問題中“改變”、“變化”、“增加”、“建立微分方程模型時應用已知物理定律，可事半功倍一、運用已知物理定律建立微分方程模型時應用已知物理定律，一、運用已知物理定律例1鈾的衰變規(guī)律問題：放射性元素由于不斷地有原子放射出微粒子變成其他元素，鈾的含量不斷的減少，這種現(xiàn)象稱為衰變，由原子物理學知道，鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比，已知t＝0時刻鈾的含量為，求在衰變過程中鈾的含量M（t）隨時間t的變化規(guī)律。例1鈾的衰變規(guī)律問題：放射性元素由于不斷地有原子放射出微鈾的衰變速度就是對時間t的導數(shù)，解

因此，由于衰變速度與其含量成正比，可知未知函數(shù)滿足關系式：對上式兩端積分得：是衰變系數(shù)且初始條件分離變量得代入初始條件得所以有，這就是鈾的衰變規(guī)律。鈾的衰變速度就是對時間t的導數(shù)

例2

一個較熱的物體置于室溫為180c的房間內(nèi)，該物體最初的溫度是600c，3分鐘以后降到500c.想知道它的溫度降到300c需要多少時間？10分鐘以后它的溫度是多少？一、運用已知物理定律例2一個較熱的物體置于室溫為180c的一、運用已

牛頓冷卻（加熱）定律：將溫度為T的物體放入處于常溫

m

的介質中時，T的變化速率正比于T與周圍介質的溫度差.

分析：假設房間足夠大，放入溫度較低或較高的物體時，室內(nèi)溫度基本不受影響，即室溫分布均衡,保持為m，采用牛頓冷卻定律是一個相當好的近似.建立模型：設物體在冷卻過程中的溫度為T(t)，t≥0，

牛頓冷卻（加熱）定律：將溫度為T的物體分析：假設房“T的變化速率正比于T與周圍介質的溫度差”

翻譯為數(shù)學語言建立微分方程其中參數(shù)k>0，m=18.求得一般解為“T的變化速率正比于T與周圍介質的溫度差”翻譯為數(shù)學語言建ln(T－m)=－kt+c,代入條件:求得c=42，,最后得

T(t)=18+42,t≥0.結果

：T(10)=18+42=25.870，該物體溫度降至300c需要8.17分鐘.

ln(T－m)=－kt+c,代入條件:T(t)=1另一個例子：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比．設有一瓶熱水，水溫原來是100℃，空氣的溫度是20℃，經(jīng)過20小時以后，瓶內(nèi)水溫降到60℃，求瓶內(nèi)水溫的變化規(guī)律．

另一個例子：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度例3：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比．設有一瓶熱水，水溫原來是100℃，空氣的溫度是20℃，經(jīng)過20小時以后，瓶內(nèi)水溫降到60℃，求瓶內(nèi)水溫的變化規(guī)律．解

可以認為在水的冷卻過程中，空氣的溫度是不變的．由題意，得其中

k

是比例系數(shù)(k>0)

．由于是單調(diào)減少的，即

設瓶內(nèi)水的溫度與時間之間的函數(shù)關系為，則水的冷卻速率為

,(1)所以(1)式右邊前面應加“負號”．初始條件為 ．例3：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成對(1)式分離變量，得

于是方程(1)的特解為

兩邊積分

得

即把初始條件

代入上式，求得

C=80

，

其中比例系數(shù)

k

可用問題所給的另一條件

來確定，

即

解得因此瓶內(nèi)水溫

與時間

的函數(shù)關系為對(1)式分離變量，得二.利用平衡與增長式

許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種不變的特性，如封閉區(qū)域內(nèi)的能量、貨幣量等.

利用變量間的平衡與增長特性,可分析和建立有關變量間的相互關系.

二.利用平衡與增長式許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出解例1

某車間體積為12000立方米,開始時空氣中含有的,為了降低車間內(nèi)空氣中的含量,用一臺風量為每秒2000立方米的鼓風機通入含的的新鮮空氣,同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出,問鼓風機開動6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到多少?設鼓風機開動后時刻的含量為在內(nèi),的通入量的排出量解例1某車間體積為12000立方米,開始時空氣中含有的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的二.利用平衡與增長式

例2簡單人口增長模型

對某地區(qū)時刻t的人口總數(shù)N(t)，除考慮個體的出生、死亡，再進一步考慮遷入與遷出的影響.二.利用平衡與增長式例2簡單人口增長模型對某地區(qū)時

在很短的時間段Δt內(nèi)，關于N(t)變化的一個最簡單的模型是：

{Δt時間內(nèi)的人口增長量}={Δt內(nèi)出生人口數(shù)}－{Δt內(nèi)死亡人口數(shù)}+{Δt內(nèi)遷入人口數(shù)}－{Δt內(nèi)遷出人口數(shù)}

{Δt時間內(nèi)的凈改變量}={Δt時間內(nèi)輸入量}－{Δt時間內(nèi)輸出量}般化更一基本模型在很短的時間段Δt內(nèi)，關于N(t)變化的一個{Δt時三.微元法

基本思想：通過分析研究對象的有關變量在一個很短時間內(nèi)的變化情況.三.微元法基本思想：例

一個高為2米的球體容器里盛了一半的水，水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面積為1平方厘米.試求放空容器所需要的時間.2米對孔口的流速做兩條假設：1．t

時刻的流速v

依賴于此刻容器內(nèi)水的高度h(t).

2．整個放水過程無能量損失。

例一個高為2米的球體容器里盛了一半2米對孔口的流速做兩條分析：放空容器？容器內(nèi)水的體積為零容器內(nèi)水的高度為零

模型建立：由水力學知：水從孔口流出的流量Q為通過“孔口橫截面的水的體積V對時間t的變化率”，即分析：放空容器？容器內(nèi)水的體積為零容器內(nèi)水的高度為零S—孔口橫截面積（單位：平方厘米）

h(t)—水面高度（單位：厘米）

t—時間（單位：秒）當S=1平方厘米，有h(t)h+Δhr1r2水位降低體積變化S—孔口橫截面積（單位：平方厘米）h(t)—水面高度（單

在[t，t+Δt]內(nèi)，水面高度h(t)降至h+Δh(Δh<0),容器中水的體積的改變量為令Δt0,得

在[t，t+Δt]內(nèi)，水面高度h(t)降至h+ΔdV=－πr2dh，（2）比較(1)、(2)兩式得微分方程如下：

積分后整理得

0≤h≤100

令

h=0，求得完全排空需要約2小時58分.

dV=－πr2dh，（2）比較(1)另一個例子

有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).開始時容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.解由力學知識得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度另一個例子有高為1米的半球形容器,水設在微小的時間間隔水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:設在微小的時間間隔水面的高度由h降至即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為四.分析法

基本思想：根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，分析其因果關系,找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律.

例(獨家廣告模型)廣告是調(diào)整商品銷售的強有力的手段,廣告與銷售量之間有什么內(nèi)在聯(lián)系？如何評價不同時期的廣告效果？分析廣告的效果,可做如下的條件假設：

*1.

商品的銷售速度會因廣告而增大,當商品在市場上趨于飽和時，銷售速度將趨于一個極限值；四.分析法基本思想：根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，例*2.

商品銷售率（銷售加速度）隨商品銷售速度的增高而降低；

*3.

選擇如下廣告策略，t時刻的廣告費用為：

建模記

S(t)—t時刻商品的銷售速度；M—銷售飽和水平，即銷售速度的上限；

λ（＞0）—衰減因子，廣告作用隨時間的推移而自然衰減的速度.*2.商品銷售率（銷售加速度）隨商品銷售*3.選擇如下廣直接建立微分方程

稱

p為響應系數(shù)，表征A(t)對S(t)的影響力.模型分析：是否與前三條假設相符？改寫模型直接建立微分方程稱p為響應系數(shù)，表征A(t)對S(假設1*市場“余額”假設2*銷售速度因廣告作用增大,同時又受市場余額的限制.假設1*市場“余額”假設2*銷售速度因廣告作用增大,同時2、復雜的數(shù)學模型2、復雜的數(shù)學模型背景

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長人口增長模型背景年16251830常用的計算公式今年人口x0,年增長率rk年后人口常用的計算公式今年人口x0,年增長率rk年后人口指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)，即單位時間內(nèi)人口的增長量與人口成正比，且比例系數(shù)為r隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長根據(jù)假設，在到時間段內(nèi)，人口的增長量為指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)x(t)~時刻t模型檢驗據(jù)估計1961年地球上人口總數(shù)為，在以后7年中，人口總數(shù)以每年的數(shù)度增長，這樣也就是說到2670年，地球上將有36000億人口，非?；闹嚒＿@個公式非常準確地反映了1700－1961年世界人口的總數(shù)。但是：模型檢驗據(jù)估計1961年地球上人口總數(shù)為，在以后7年中，也就指數(shù)增長模型的應用及局限性

可用于短期人口增長預測

不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律

不能預測較長期的人口增長過程事實：人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)指數(shù)增長模型的應用及局限性可用于短期人口增長預測不符合1阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假定：r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，阻滯增長模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm模型的參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）17901800181018201830……19501960197019803.95.37.29.612.9……150.7179.3204.0226.5r=0.2072,xm=464

專家估計模型的參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，利用模型檢驗用模型預報1990年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為251.4(百萬)模型應用——人口預報用美國1790~1990年人口數(shù)據(jù)重新估計參數(shù)r=0.2083,xm=457.6x(2000)=275.0x(2010)=297.9Logistic模型在經(jīng)濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)模型檢驗用模型預報1990年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實1、指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）英國人口學家馬爾薩斯（Malthus1766~1834）于1798年提出。2、阻滯增長模型（Logistic模型）3、更復雜的人口模型隨機性模型、考慮人口年齡分布的模型等可見數(shù)學模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實際情況的變化。小結1、指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）英國人口學家馬爾薩斯（M兩方軍隊交戰(zhàn),希望為這場戰(zhàn)斗建立一個數(shù)學模型，應用這個模型達到如下目的：1.預測哪一方將獲勝？

2.

估計獲勝的一方最后剩下多少士兵？

3.計算失敗的一方開始時必須投入多少士兵才能贏得這場戰(zhàn)斗？戰(zhàn)爭模型兩方軍隊交戰(zhàn),希望為這場戰(zhàn)斗建立一個數(shù)學1.預測哪一方將模型建立：設

x(t)—t

時刻X方存活的士兵數(shù)；

y(t)—t

時刻Y方存活的士兵數(shù)；假設：

1）雙方所有士兵不是戰(zhàn)死就是活著參加戰(zhàn)斗，x(t)與y(t)都是連續(xù)變量.

2）Y方軍隊的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死X

方軍隊a名士兵；

模型建立：設x(t)—t時刻X方存活的士兵數(shù)；假平衡式

3）X方軍隊的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死Y方軍隊b

名士兵；{Δt時間內(nèi)X軍隊減少的士兵數(shù)

}={Δt時間內(nèi)Y軍隊消滅對方的士兵數(shù)}即有

Δx=－ayΔt,

同理

Δy=－bxΔt,

令Δt0,得到微分方程組：

平衡式3）X方軍隊的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死Y方軍數(shù)學建模微分方程模型課件附：微分方程模型匯總1

傳染病模型2

經(jīng)濟增長模型3

正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)4

藥物在體內(nèi)的分布與排除5

香煙過濾嘴的作用6人口預測和控制7

煙霧的擴散與消失8萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)附：微分方程模型匯總1傳染病模型動態(tài)模型

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程

分析對象特征的變化規(guī)律

預報對象特征的未來性態(tài)

研究控制對象特征的手段

根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù)微分方程建模

根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設

按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程動態(tài)模型描述對象特征隨時間(空間)的演變過程分析對象特征1傳染病模型問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預報傳染病高潮到來的時刻

預防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型1傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)

已感染人數(shù)(病人)i(t)

每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數(shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數(shù)模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設1）總人數(shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個方程模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者S模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質模型4SIR模型無法求出在相平面模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進行分析模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0si101D模型4SIR模型相軌線及其分模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低(=/),群體免疫模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高閾值1/降低被傳染人數(shù)比例xs0-1/=模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<<s0i2

經(jīng)濟增長模型增加生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟增加投資增加勞動力提高技術

建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關系

研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大

調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長1.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)

產(chǎn)值Q(t)F為待定函數(shù)資金K(t)勞動力L(t)技術f(t)=f02經(jīng)濟增長模型增加生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟增加投資增加勞動力提高模型假設靜態(tài)模型每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的投資z隨著

y的增加而增長，但增長速度遞減yg(y)01.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)含義？Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型假設靜態(tài)模型每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的投資z隨著yQK~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL~單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值~資金在產(chǎn)值中的份額1-~勞動力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)1.Douglas生產(chǎn)函數(shù)QK~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL~單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值w,r,K/L求資金與勞動力的分配比例K/L(每個勞動力占有的資金)，使效益S最大資金和勞動力創(chuàng)造的效益資金來自貸款，利率r勞動力付工資w2）資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型）w,r,求資金與勞動力的分配比例K/3)經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長的條件(動態(tài)模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增長,K(t),L(t)應滿足的條件模型假設

投資增長率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴大再生產(chǎn))

勞動力相對增長率為常數(shù)3)經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長的條件(動態(tài)模型)要使Q(t)Bernoulli方程Bernoulli方程產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt>03)經(jīng)濟增長的條件產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt>03)經(jīng)濟增長的條件勞動力增長率小于初始投資增長率每個勞動力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt>03)經(jīng)濟增長的條件勞動力增長率小于初始投資增長率每個勞動力的產(chǎn)值Z(t)=Q3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關建模思路和方法為用數(shù)學模型討論社會領域的實際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預測戰(zhàn)役結局的模型3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)一般模型

每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力

每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比

甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)f,g

取決于戰(zhàn)爭類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設模型一般模型每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力每方非戰(zhàn)斗正規(guī)戰(zhàn)爭模型

甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設沒有增援f(x,y)=ay,a~乙方每個士兵的殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率正規(guī)戰(zhàn)爭模型甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關系平方律模型乙方勝0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結局，不求x(t),y(t)而在游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)

甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設沒有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每個士兵的殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動面積sry~乙方射擊有效面積游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵0游擊戰(zhàn)爭模型線性律模型0游擊戰(zhàn)爭模型線性律模型0混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊乙方必須10倍于甲方的兵力設x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)0混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊乙方必須10倍于4

藥物在體內(nèi)的分布與排除

藥物進入機體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量)

血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設計

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程——藥物動力學

建立房室模型——藥物動力學的基本步驟

房室——機體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉移

本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)4藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物進入機體形成血藥濃度(單位

中心室周邊室給藥排除模型假設

中心室(1)和周邊室(2),容積不變

藥物在房室間轉移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比

藥物從體外進入中心室，在二室間相互轉移,從中心室排出體外模型建立中心室周邊室給藥排除模型假設中心室(1)和周邊室(2),線性常系數(shù)非齊次方程對應齊次方程通解模型建立線性常系數(shù)非齊次方程對應齊次方程通解模型建立幾種常見的給藥方式1.快速靜脈注射t=0

瞬時注射劑量D0的藥物進入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件幾種常見的給藥方式1.快速靜脈注射t=0瞬時注射劑量D0的2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進入中心室0Tt￡￡2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)吸收室中心室3.口服或肌肉注射相當于藥物(劑量D0)先進入吸收室，吸收后進入中心室吸收室藥量x0(t)吸收室中心室3.口服或肌肉注射相當于藥物(劑量D0)先進入?yún)?shù)估計各種給藥方式下的c1(t),c2(t)取決于參數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速靜脈注射D0,在ti(i=1,2,n)測得c1(ti)由較大的用最小二乘法定A,由較小的用最小二乘法定B,參數(shù)估計各種給藥方式下的c1(t),c2(t)取決于參參數(shù)估計進入中心室的藥物全部排除參數(shù)估計進入中心室的藥物全部排除

過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關系

人體吸入的毒物量與哪些因素有關，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型分析

分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學模型。

設想一個“機器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認為是不變的。問題5

香煙過濾嘴的作用過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關系人體吸入的毒物量與模型假設定性分析1）l1~煙草長，l2~過濾嘴長，l=l1+l2，毒物量M均勻分布，密度w0=M/l12）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a′:a,a′+a=13）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的(單位時間)吸收率分別是b和4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u，v>>uQ~吸一支煙毒物進入人體總量模型假設定性分析1）l1~煙草長，l2~過濾嘴長，l=模型建立0t=0,x=0，點燃香煙q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)模型建立0t=0,x=0，點燃香煙q(x,t)~毒物流t時刻，香煙燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)t時刻，香煙燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)3)求w(ut,t)3)求w(ut,t)4)計算Q4)計算Q結果分析煙草為什么有作用?1）Q與a,M成正比，aM是毒物集中在x=l處的吸入量2)~過濾嘴因素，,l2~負指數(shù)作用是毒物集中在x=l1處的吸入量3）(r)~煙草的吸收作用b,l1~線性作用結果分析煙草為什么有作用?1）Q與a,M成正比，aM是毒物帶過濾嘴不帶過濾嘴結果分析4)與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉提高-b與加長l2，效果相同帶過濾嘴不帶過濾嘴結果分析4)與另一支不帶過濾嘴的香煙比較6人口預測和控制

年齡分布對于人口預測的重要性

只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口發(fā)展方程6人口預測和控制年齡分布對于人口預測的重要性只考人口發(fā)展方程一階偏微分方程人口發(fā)展方程一階偏微分方程人口發(fā)展方程~已知函數(shù)（人口調(diào)查）~生育率（控制人口手段）0tr人口發(fā)展方程~已知函數(shù)（人口調(diào)查）~生育率（控制人口手段）0生育率的分解~總和生育率h~生育模式0生育率的分解~總和生育率h~生育模式0人口發(fā)展方程和生育率~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密

正反饋系統(tǒng)

滯后作用很大人口發(fā)展方程和生育率~總和生育率——控制生育的多少~生育模式人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按(r,t)計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)不過大控制(t)不過高人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時刻出生的人，7

煙霧的擴散與消失現(xiàn)象和問題炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形成圓形不透光區(qū)域。不透光區(qū)域不斷擴大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失時間與各因素的關系。問題分析無窮空間由瞬時點源導致的擴散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以及儀器對明暗的靈敏程度有關。7煙霧的擴散與消失現(xiàn)象和炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，模型假設1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風的影響；擴散服從熱傳導定律。2）光線穿過煙霧時光強的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強。3）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。模型建立1）煙霧濃度的變化規(guī)律熱傳導定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比模型假設1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風的影響；擴散服從曲面積分的奧氏公式1）煙霧濃度的變化規(guī)律曲面積分的奧氏公式1）煙霧濃度

初始條件Q~炮彈釋放的煙霧總量

~單位強度的點源函數(shù)

對任意t,C的等值面是球面x2+y2+z2=R2;RC

僅當t,對任意點(x,y,z),C01）煙霧濃度的變化規(guī)律初始條件Q~炮彈釋放的煙霧總量~單位強度的點源函數(shù)對2）穿過煙霧光強的變化規(guī)律光強的減少與煙霧濃度成正比2）穿過煙霧光強的變化規(guī)律光強的減少與煙霧濃度成正比3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限煙霧濃度連續(xù)變化煙霧中光強連續(xù)變化儀器z-設光源在z=-,儀器在z=,則觀測到的明暗界限為不透光區(qū)域有擴大、縮小、消失的過程穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。~不透光區(qū)域邊界3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限煙霧濃度連續(xù)變化煙霧中光強連續(xù)變4）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律對任意t,不透光區(qū)域邊界是圓周不透光區(qū)域邊界半徑4）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律對任意t,不透光區(qū)域邊界是圓周r(t)rm0t1t2t結果分析觀測到不透光區(qū)域邊界達到最大的時刻t1，可以預報煙霧消失的時刻t2r(t)rm0t1t2t結果分析觀測到不透光區(qū)域邊界達到最大5.8萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)背景航海業(yè)發(fā)展天文觀測精確“地心說”動搖哥白尼：“日心說”伽里略：落體運動開普勒：行星運動三定律變速運動的計算方法牛頓：一切運動有力學原因牛頓運動三定律牛頓：研究變速運動，發(fā)明微積分（流數(shù)法）開普勒三定律牛頓運動第二定律萬有引力定律《自然科學之數(shù)學原理》(1687)5.8萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)背景航海業(yè)發(fā)展天文觀測精確“模型假設極坐標系(r,)太陽(0,0)1.行星軌道a~長半軸,b~短半軸,e~離心率3.行星運行周期T行星位置：向徑O(太陽)P(行星)r2.單位時間

掃過面積為常數(shù)Am~行星質量~絕對常數(shù)4.行星運行受力模型假設極坐標系(r,)太陽(0,0)1.行星軌道a模型建立O(太陽)P(行星)r向徑的基向量模型建立O(太陽)P(行星)r向徑的基向量模型建立萬有引力定律需證明4A2/p=kM（與哪一顆行星無關）A~單位時間

掃過面積O(太陽)P(行星)r(習題)lp//22=pA模型建立萬有引力定律需證明4A2/p=kMA~單位時間數(shù)學建模－

微分方程模型關曉飛同濟大學數(shù)學科學學院數(shù)學建模－

微分方程模型一、什么是微分方程？最最簡單的例子一、什么是微分方程？最最簡單的例子引例一曲線通過點（1，2），且在該曲線任一點M(x,y)處的切線的斜率為2x，求該曲線的方程。解

因此，所求曲線的方程為

若設曲線方程為，又因曲線滿足條件

根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知未知函數(shù)滿足關系式：對（1）式兩端積分得：代入（3）得C＝1引例一曲線通過點（1，2），且在該曲線任一點M(x回答什么是微分方程：

建立關于未知變量、未知變量的導數(shù)以及自變量的方程

回答什么是微分方程：二、微分方程的解法積分方法，分離變量法二、微分方程的解法積分方法，分離變量法可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解.分離變量法可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解例1

求解微分方程解分離變量兩端積分典型例題例1求解微分方程解分離變量兩端積分典型例題過定點的積分曲線;一階:二階:過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題.過定點的積分曲線;一階:二階:過定點且在定點的切線的斜率為定例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為例2.解初值問題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件得練習題練習題數(shù)學建模微分方程模型課件練習題答案練習題答案三、建立微分方程數(shù)學模型1、簡單的數(shù)學模型2、復雜的數(shù)學模型三、建立微分方程數(shù)學模型1、簡單的數(shù)學模型2、復雜的數(shù)學模型1、簡單的數(shù)學模型1、簡單的數(shù)學模型

利用微分方程求實際問題中未知函數(shù)的一般步驟是：

(1)分析問題，設所求未知函數(shù)，建立微分方程，確定初始條件；

(2)求出微分方程的通解；

(3)根據(jù)初始條件確定通解中的任意常數(shù)，求出微分方程相應的特解．

利用微分方程求實際問題中未知函數(shù)的一般步驟是：

實際問題需尋求某個變量y

隨另一變量t的變化規(guī)律：y=y(t).直接求很困難

建立關于未知變量、未知變量的導數(shù)以及自變量的方程

建立變量能滿足的微分方程

？哪一類問題實際問題需尋求某個變量y隨另一變量t的直接在工程實際問題中

“改變”、“變化”、“增加”、“減少”等關鍵詞提示我們注意什么量在變化.

關鍵詞“速率”,“增長”,“衰變”,“邊際的”,常涉及到導數(shù).

建立方法常用微分方程運用已知物理定律

利用平衡與增長式運用微元法應用分析法機理分析法在工程實際問題中“改變”、“變化”、“增加”、“建立微分方程模型時應用已知物理定律，可事半功倍一、運用已知物理定律建立微分方程模型時應用已知物理定律，一、運用已知物理定律例1鈾的衰變規(guī)律問題：放射性元素由于不斷地有原子放射出微粒子變成其他元素，鈾的含量不斷的減少，這種現(xiàn)象稱為衰變，由原子物理學知道，鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比，已知t＝0時刻鈾的含量為，求在衰變過程中鈾的含量M（t）隨時間t的變化規(guī)律。例1鈾的衰變規(guī)律問題：放射性元素由于不斷地有原子放射出微鈾的衰變速度就是對時間t的導數(shù)，解

因此，由于衰變速度與其含量成正比，可知未知函數(shù)滿足關系式：對上式兩端積分得：是衰變系數(shù)且初始條件分離變量得代入初始條件得所以有，這就是鈾的衰變規(guī)律。鈾的衰變速度就是對時間t的導數(shù)

例2

一個較熱的物體置于室溫為180c的房間內(nèi)，該物體最初的溫度是600c，3分鐘以后降到500c.想知道它的溫度降到300c需要多少時間？10分鐘以后它的溫度是多少？一、運用已知物理定律例2一個較熱的物體置于室溫為180c的一、運用已

牛頓冷卻（加熱）定律：將溫度為T的物體放入處于常溫

m

的介質中時，T的變化速率正比于T與周圍介質的溫度差.

分析：假設房間足夠大，放入溫度較低或較高的物體時，室內(nèi)溫度基本不受影響，即室溫分布均衡,保持為m，采用牛頓冷卻定律是一個相當好的近似.建立模型：設物體在冷卻過程中的溫度為T(t)，t≥0，

牛頓冷卻（加熱）定律：將溫度為T的物體分析：假設房“T的變化速率正比于T與周圍介質的溫度差”

翻譯為數(shù)學語言建立微分方程其中參數(shù)k>0，m=18.求得一般解為“T的變化速率正比于T與周圍介質的溫度差”翻譯為數(shù)學語言建ln(T－m)=－kt+c,代入條件:求得c=42，,最后得

T(t)=18+42,t≥0.結果

：T(10)=18+42=25.870，該物體溫度降至300c需要8.17分鐘.

ln(T－m)=－kt+c,代入條件:T(t)=1另一個例子：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比．設有一瓶熱水，水溫原來是100℃，空氣的溫度是20℃，經(jīng)過20小時以后，瓶內(nèi)水溫降到60℃，求瓶內(nèi)水溫的變化規(guī)律．

另一個例子：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度例3：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比．設有一瓶熱水，水溫原來是100℃，空氣的溫度是20℃，經(jīng)過20小時以后，瓶內(nèi)水溫降到60℃，求瓶內(nèi)水溫的變化規(guī)律．解

可以認為在水的冷卻過程中，空氣的溫度是不變的．由題意，得其中

k

是比例系數(shù)(k>0)

．由于是單調(diào)減少的，即

設瓶內(nèi)水的溫度與時間之間的函數(shù)關系為，則水的冷卻速率為

,(1)所以(1)式右邊前面應加“負號”．初始條件為 ．例3：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成對(1)式分離變量，得

于是方程(1)的特解為

兩邊積分

得

即把初始條件

代入上式，求得

C=80

，

其中比例系數(shù)

k

可用問題所給的另一條件

來確定，

即

解得因此瓶內(nèi)水溫

與時間

的函數(shù)關系為對(1)式分離變量，得二.利用平衡與增長式

許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種不變的特性，如封閉區(qū)域內(nèi)的能量、貨幣量等.

利用變量間的平衡與增長特性,可分析和建立有關變量間的相互關系.

二.利用平衡與增長式許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出解例1

某車間體積為12000立方米,開始時空氣中含有的,為了降低車間內(nèi)空氣中的含量,用一臺風量為每秒2000立方米的鼓風機通入含的的新鮮空氣,同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出,問鼓風機開動6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到多少?設鼓風機開動后時刻的含量為在內(nèi),的通入量的排出量解例1某車間體積為12000立方米,開始時空氣中含有的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的二.利用平衡與增長式

例2簡單人口增長模型

對某地區(qū)時刻t的人口總數(shù)N(t)，除考慮個體的出生、死亡，再進一步考慮遷入與遷出的影響.二.利用平衡與增長式例2簡單人口增長模型對某地區(qū)時

在很短的時間段Δt內(nèi)，關于N(t)變化的一個最簡單的模型是：

{Δt時間內(nèi)的人口增長量}={Δt內(nèi)出生人口數(shù)}－{Δt內(nèi)死亡人口數(shù)}+{Δt內(nèi)遷入人口數(shù)}－{Δt內(nèi)遷出人口數(shù)}

{Δt時間內(nèi)的凈改變量}={Δt時間內(nèi)輸入量}－{Δt時間內(nèi)輸出量}般化更一基本模型在很短的時間段Δt內(nèi)，關于N(t)變化的一個{Δt時三.微元法

基本思想：通過分析研究對象的有關變量在一個很短時間內(nèi)的變化情況.三.微元法基本思想：例

一個高為2米的球體容器里盛了一半的水，水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面積為1平方厘米.試求放空容器所需要的時間.2米對孔口的流速做兩條假設：1．t

時刻的流速v

依賴于此刻容器內(nèi)水的高度h(t).

2．整個放水過程無能量損失。

例一個高為2米的球體容器里盛了一半2米對孔口的流速做兩條分析：放空容器？容器內(nèi)水的體積為零容器內(nèi)水的高度為零

模型建立：由水力學知：水從孔口流出的流量Q為通過“孔口橫截面的水的體積V對時間t的變化率”，即分析：放空容器？容器內(nèi)水的體積為零容器內(nèi)水的高度為零S—孔口橫截面積（單位：平方厘米）

h(t)—水面高度（單位：厘米）

t—時間（單位：秒）當S=1平方厘米，有h(t)h+Δhr1r2水位降低體積變化S—孔口橫截面積（單位：平方厘米）h(t)—水面高度（單

在[t，t+Δt]內(nèi)，水面高度h(t)降至h+Δh(Δh<0),容器中水的體積的改變量為令Δt0,得

在[t，t+Δt]內(nèi)，水面高度h(t)降至h+ΔdV=－πr2dh，（2）比較(1)、(2)兩式得微分方程如下：

積分后整理得

0≤h≤100

令

h=0，求得完全排空需要約2小時58分.

dV=－πr2dh，（2）比較(1)另一個例子

有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).開始時容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.解由力學知識得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度另一個例子有高為1米的半球形容器,水設在微小的時間間隔水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:設在微小的時間間隔水面的高度由h降至即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為四.分析法

基本思想：根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，分析其因果關系,找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律.

例(獨家廣告模型)廣告是調(diào)整商品銷售的強有力的手段,廣告與銷售量之間有什么內(nèi)在聯(lián)系？如何評價不同時期的廣告效果？分析廣告的效果,可做如下的條件假設：

*1.

商品的銷售速度會因廣告而增大,當商品在市場上趨于飽和時，銷售速度將趨于一個極限值；四.分析法基本思想：根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，例*2.

商品銷售率（銷售加速度）隨商品銷售速度的增高而降低；

*3.

選擇如下廣告策略，t時刻的廣告費用為：

建模記

S(t)—t時刻商品的銷售速度；M—銷售飽和水平，即銷售速度的上限；

λ（＞0）—衰減因子，廣告作用隨時間的推移而自然衰減的速度.*2.商品銷售率（銷售加速度）隨商品銷售*3.選擇如下廣直接建立微分方程

稱

p為響應系數(shù)，表征A(t)對S(t)的影響力.模型分析：是否與前三條假設相符？改寫模型直接建立微分方程稱p為響應系數(shù)，表征A(t)對S(假設1*市場“余額”假設2*銷售速度因廣告作用增大,同時又受市場余額的限制.假設1*市場“余額”假設2*銷售速度因廣告作用增大,同時2、復雜的數(shù)學模型2、復雜的數(shù)學模型背景

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長人口增長模型背景年16251830常用的計算公式今年人口x0,年增長率rk年后人口常用的計算公式今年人口x0,年增長率rk年后人口指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)，即單位時間內(nèi)人口的增長量與人口成正比，且比例系數(shù)為r隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長根據(jù)假設，在到時間段內(nèi)，人口的增長量為指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)x(t)~時刻t模型檢驗據(jù)估計1961年地球上人口總數(shù)為，在以后7年中，人口總數(shù)以每年的數(shù)度增長，這樣也就是說到2670年，地球上將有36000億人口，非?；闹?。這個公式非常準確地反映了1700－1961年世界人口的總數(shù)。但是：模型檢驗據(jù)估計1961年地球上人口總數(shù)為，在以后7年中，也就指數(shù)增長模型的應用及局限性

可用于短期人口增長預測

不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律

不能預測較長期的人口增長過程事實：人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)指數(shù)增長模型的應用及局限性可用于短期人口增長預測不符合1阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假定：r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，阻滯增長模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm模型的參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）17901800181018201830……19501960197019803.95.37.29.612.9……150.7179.3204.0226.5r=0.2072,xm=464

專家估計模型的參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，利用模型檢驗用模型預報1990年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為251.4(百萬)模型應用——人口預報用美國1790~1990年人口數(shù)據(jù)重新估計參數(shù)r=0.2083,xm=457.6x(2000)=275.0x(2010)=297.9Logistic模型在經(jīng)濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)模型檢驗用模型預報1990年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實1、指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）英國人口學家馬爾薩斯（Malthus1766~1834）于1798年提出。2、阻滯增長模型（Logistic模型）3、更復雜的人口模型隨機性模型、考慮人口年齡分布的模型等可見數(shù)學模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實際情況的變化。小結1、指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）英國人口學家馬爾薩斯（M兩方軍隊交戰(zhàn),希望為這場戰(zhàn)斗建立一個數(shù)學模型，應用這個模型達到如下目的：1.預測哪一方將獲勝？

2.

估計獲勝的一方最后剩下多少士兵？

3.計算失敗的一方開始時必須投入多少士兵才能贏得這場戰(zhàn)斗？戰(zhàn)爭模型兩方軍隊交戰(zhàn),希望為這場戰(zhàn)斗建立一個數(shù)學1.預測哪一方將模型建立：設

x(t)—t

時刻X方存活的士兵數(shù)；

y(t)—t

時刻Y方存活的士兵數(shù)；假設：

1）雙方所有士兵不是戰(zhàn)死就是活著參加戰(zhàn)斗，x(t)與y(t)都是連續(xù)變量.

2）Y方軍隊的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死X

方軍隊a名士兵；

模型建立：設x(t)—t時刻X方存活的士兵數(shù)；假平衡式

3）X方軍隊的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死Y方軍隊b

名士兵；{Δt時間內(nèi)X軍隊減少的士兵數(shù)

}={Δt時間內(nèi)Y軍隊消滅對方的士兵數(shù)}即有

Δx=－ayΔt,

同理

Δy=－bxΔt,

令Δt0,得到微分方程組：

平衡式3）X方軍隊的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死Y方軍數(shù)學建模微分方程模型課件附：微分方程模型匯總1

傳染病模型2

經(jīng)濟增長模型3

正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)4

藥物在體內(nèi)的分布與排除5

香煙過濾嘴的作用6人口預測和控制7

煙霧的擴散與消失8萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)附：微分方程模型匯總1傳染病模型動態(tài)模型

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程

分析對象特征的變化規(guī)律

預報對象特征的未來性態(tài)

研究控制對象特征的手段

根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù)微分方程建模

根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設

按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程動態(tài)模型描述對象特征隨時間(空間)的演變過程分析對象特征1傳染病模型問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預報傳染病高潮到來的時刻

預防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型1傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)

已感染人數(shù)(病人)i(t)

每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數(shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數(shù)模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設1）總人數(shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個方程模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者S模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質模型4SIR模型無法求出在相平面模型4消去dtSIR模型相軌線