線性規(guī)劃原問題與對偶問題的轉(zhuǎn)化及其應(yīng)用

線性規(guī)劃原問題與對偶問題的轉(zhuǎn)化及其應(yīng)用摘要線性規(guī)劃對偶問題是運籌學中應(yīng)用較廣泛的一個重要分支，它是輔助人們進行科學管理的一種數(shù)學方法.線性規(guī)劃對偶問題能從不同角度為管理者提供更多的科學理論依據(jù)，使管理者的決定更加合理準確.本文主要探討了線性規(guī)劃原問題與對偶問題之間的關(guān)系、線性規(guī)劃原問題與對偶問題的轉(zhuǎn)化以及對偶理論的應(yīng)用.本文的研究主要是將復雜的線性規(guī)劃原問題轉(zhuǎn)化成對偶問題進行解決，簡化了線性規(guī)劃問題，使人們能夠快速的找出線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；原問題；對偶問題；轉(zhuǎn)化LinearProgrammingistheOriginalProblemandtheTransfbrmationoftheDu

alProblemandApplicationsAbstract:Linearprogramminginoperationalresearchisresearchearlier,rapiddevelopmentandwideapplication,themethodisanimportantbranchofmature,itisoneofthescientificmanagementofauxiliarypeoplemathematicalmethod.Canfromdifferentanglestolinearprogrammingdualproblemforpolicymakerstoprovidemorescientifictheorybasis.Thisarticlemainlyprobesintothelinearprogrammingproblemandtherelationshipbetweenthedualproblem,linearprogrammingproblemandthetransformationofthedualproblem,theapplicationoflinearprogrammingdualproblem.Thisarticleisthecomplexoftheoriginalproblemintoitsdualproblemtobesolved,simplifiesthelinearprogrammingproblem,enablesustorapidlyfindtheoptimalsolutionoflinearprogrammingproblem.Keywords：linearprogramming;theoriginalproblem;thedualproblem;conversion目錄104.4非對稱型原問題轉(zhuǎn)化為對偶問題1引言10線性規(guī)劃問題是運籌學里的一個重要的分支，它的應(yīng)用比較廣泛，因而是輔助人們進行現(xiàn)代科學管理的一種數(shù)學方法.隨著線性規(guī)劃理論的逐步深入，人們發(fā)現(xiàn)線性規(guī)劃問題具有對偶性，即每一個線性問題都伴有另外一個線性問題的產(chǎn)生，兩者相互配對，密切聯(lián)系，反之亦然.我們把線性規(guī)劃的這個特性稱為對偶性.于是，我們將其中的一個問題稱為原問題，另一個問題則稱為它的對偶問題.對偶性不僅僅是數(shù)學上的理論問題，而且也是線性規(guī)劃中實際問題的內(nèi)在經(jīng)濟聯(lián)系的必然反映.我們通過對對偶問題的深入研究，發(fā)現(xiàn)對偶問題能從不同角度對生產(chǎn)計劃進行分析，從而使管理者能夠間接地獲得更多比較有用的信息.2文獻綜述2.1國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在所查閱到的國內(nèi)外參考文獻［1-15］中，有不少文章是探討了原問題轉(zhuǎn)化為對偶問題的方法以及對偶性質(zhì)的證明，并在對偶理論的應(yīng)用方面有所研究.如郝英奇，胡運權(quán)在［1］、［10］中主要介紹了線性規(guī)劃中原問題與對偶問題中的一些基本概念，探究了實際問題中的數(shù)學模型以及解.孫君曼，馮巧玲，孫慧君，李淑君等在［2］中探討了對偶理論中互補松弛定理在各種情況下的使用方法，使學生更好地掌握互補松弛定理的含義和應(yīng)用方法.胡運權(quán)，郭耀煌，殷志祥等在［3］、［5］中系統(tǒng)的介紹了線性規(guī)劃中原始問題與對偶問題的兩種形式.郭鵬，徐玖平等在［6］、［8］中用不同例子來說明了原問題轉(zhuǎn)化為對偶問題的必要性.崔永新等在［9］、［15］中探討了對偶問題的相關(guān)定理以及對偶問題的可行解和最優(yōu)解之間的若干性質(zhì).李師正，王德勝在［11］中探討了如何用計算機計算對偶問題的最優(yōu)解.岳宏志，藺小林，孫文喻等在［12］、［14］中探討了對偶理論的證明過程，并用常見的例子來說明對偶理論的基本思想和解題方法.曾波，葉宗文在［13］中主要從經(jīng)濟管理的實際問題中闡述了線性規(guī)劃的基本概念，基本原理，對偶理論，靈敏度分析等.2.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價文獻［1-15］分別探討了線性規(guī)劃問題中原問題轉(zhuǎn)化為對偶問題的理論依據(jù)以及如何利用對偶理論去解決實際生產(chǎn)問題.文獻中主要探討了對稱型的原問題轉(zhuǎn)化為對偶問題的方法.沒有全面介紹非對稱型的原問題與對偶問題之間轉(zhuǎn)化的具體步驟，而且文獻中對原問題轉(zhuǎn)化為對偶問題的步驟提及甚少，大都一帶而過，對應(yīng)用中存在的問題也未給出詳細深入的說明.2.3提出問題在線性規(guī)劃問題中，根據(jù)實際生產(chǎn)中具體情況的需要，我們常常要把原問題與它的對偶問題進行轉(zhuǎn)換，以解決一些復雜的線性規(guī)劃問題，因而對偶問題的應(yīng)用較為廣泛.但大部分書籍都只介紹了線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)知識，并沒有給出原問題與對偶問題轉(zhuǎn)換的具體步驟.因此本文主要探討了線性規(guī)劃原問題與對偶問題之間轉(zhuǎn)化的具體步驟，體會不同類型原問題的轉(zhuǎn)化過程.3預(yù)備知識首先我先簡單的介紹一些關(guān)于線性規(guī)劃問題中的原問題和對偶問題的一些基本的知識.3.1對稱形式的原問題我們將滿足下列條件的線性規(guī)劃問題稱之為具有對稱形式的線性規(guī)劃問題.這類問題的變量都具有非負約束，當目標函數(shù)求極大值時，它的約束條件都取“V”號，當目標函數(shù)求極小值時它的約束條件均取">”號.因而，這類數(shù)學模型的特點是：（1）所有的決策變量都是非負的；（2）所有的約束條件都是“<”型；（3）目標函數(shù)是最大化類型.線性規(guī)劃原問題的對稱形式的一般形式［1］為:ax+ax+A+ax<b1111221nn1ax+ax+A+ax<b2112222nnM2(3.1)ax+ax+A+axm11m22mnix.>0(j=1,2,A,n)3.2非對稱形式的原問題不是所有的線性規(guī)劃問題都具有對稱的形式，我們將沒有對稱形式的線性規(guī)劃問題稱之為非對稱形式的線性規(guī)劃問題.非對稱形式的線性規(guī)劃問題指的是一般情況下的線性規(guī)劃問題，即是目標函數(shù)值求極小或者求極大；約束條件：?，.-.：；頊，*。"（〕，或是無限制的隨意的組合.例如:ax+ax+ax<b1111221331ax+ax+ax=b/、s.t〈2112222332(3.2)ax+ax+ax<b3113223333x>0,x<0,x無約束3.3對偶問題的定義在運籌學中，關(guān)于對線性規(guī)劃的對偶規(guī)劃給出的定義⑵如下.設(shè)給定的線性規(guī)劃為:IAX<b°、

s."(3.2)IX>0其中X=(x,x,A,x》，A=(a)，b=(b,b,A,b》，C=(,c,A,c)jmxn12m12n因此，定義它的對偶問題為:\YA>Cs.t<|Y>0(3.4)其中Y=（y,y,A,y）是行向量.（3.4）是對偶問題，（3.3）是原問題，（3.3）與（3.4）合12m在一起我們就稱為是一對對稱形式的對偶規(guī)劃問題.3.4原問題轉(zhuǎn)化為對偶問題的理論依據(jù)我們根據(jù)線性規(guī)劃問題中約束條件和變量的對應(yīng)關(guān)系，統(tǒng)一歸納為下表1[3]所示:項目原問題（對偶問題）對偶問題（原問題）約束系數(shù)矩陣約束系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置約束條件右端項向量目標函數(shù)中的價格系數(shù)向量目標函數(shù)中的價格系數(shù)向量約束條件右端項向量目標函數(shù)表14原問題與對偶問題的轉(zhuǎn)化一對對偶的線性規(guī)劃問題表示了同一個問題的兩個側(cè)面，是從兩個角度對同一個研究對象提出的極值問題，兩類極值的問題都具有相同的目標函數(shù)值.我們發(fā)現(xiàn)在很多時候求解對偶問題比原問題更加容易，為決策者提供更多的科學理論依據(jù)，因此我們常常需要把原問題轉(zhuǎn)化為對偶問題.4.1原問題與對偶問題的關(guān)系一對對偶的線性規(guī)劃問題具有相互對應(yīng)的關(guān)系：（1）原問題中的目標函數(shù)值是max，約束條件是“<”的形式；對偶問題的目標函數(shù)值為min，約束條件是“2”的形式.（2）原問題的價值系數(shù)和對偶問題的右端項對應(yīng)，原始問題的右端項和對偶問題的價值系數(shù)對應(yīng).（3）原問題的變量和對偶問題的約束條件對應(yīng)，即，原問題中有〃個變量，那么對偶問題就有〃個約束條件；原問題有m個約束條件，那么對偶問題就有m個變量.（4）對偶問題的系數(shù)矩陣就是原問題的系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置.用矩陣表示，原問題為：則對偶問題為：需要注意的是，我們所討論的對偶問題一定是指一對問題，而原問題和對偶問題是相對的，它們互為對偶問題，一個問題可以是原問題也可以是對偶問題.4.2對稱型原問題轉(zhuǎn)化為對偶問題當線性規(guī)劃問題為一般形式（3.1）時，我們將根據(jù)下面的四條規(guī)則轉(zhuǎn)換為它的對偶問題：（1）原問題和它的對偶問題之間的系數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置.（2）原問題中變量的個數(shù)等于它的對偶問題的約束條件的個數(shù).（3）原問題的右端常數(shù)就是對偶問題的目標函數(shù)的系數(shù).（4）原問題的目標函數(shù)求極大時，約束條件是“V”類型，而它的對偶問題的目標函數(shù)求極小，約束條件則為“>”類型.因此，它的對偶問題可以轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦碌男问舰?例1生產(chǎn)計劃問題云南一公司加工生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品，它的市場前景非常的好，銷路也不成問題，各種制約因素主要有技術(shù)工人、設(shè)備臺時和原材料供應(yīng).已知制造每噸產(chǎn)品的資源消耗系數(shù)、每天的資源限量和售價等參數(shù)如表2所示.問題：云南的這家公司應(yīng)該怎樣制定每天的生產(chǎn)計劃，才能使它的產(chǎn)量得到最大？甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品資源限量人力86320設(shè)備68260原材料410300售價（元/公斤）90150表2分析：為了建立此問題的數(shù)學模型，第一，要選定決策變量.第二，要確定問題的目標，即用來評價不同方案優(yōu)劣的標準，這種目標總是決策變量的函數(shù)，稱為目標函數(shù).第三，我們把要確定達到目標時所受的限制條件，稱之為約束條件.這里要決策的問題是，在現(xiàn)有人力、設(shè)備、礦石的限制下，如何確定產(chǎn)量使得產(chǎn)值自大？設(shè)X和x12分別表示該公司A，B產(chǎn)品的數(shù)量，用z表示產(chǎn)值，則每天的產(chǎn)值表示為z=90氣+150x2，使其最大化，即maxz=90氣+150x2，稱為目標函數(shù).將制約因素表達出來，即有：人力不超過320工時，為8xi+6x2<320；設(shè)備不超過260臺時有，6七+8x2<260；原材料不超過300公斤有，4xi+10x2<300。表述限制條件的數(shù)學表達式稱為約束條件，由此該問題的數(shù)學模型可表示為：上面的問題是一個典型的求解利潤最大化的生產(chǎn)計劃的問題.題中，“max”是“maximize”的縮寫，意思是"最大化”；“s.七”是”subjectto"單詞的縮寫，表示“滿足于”.因此，上述模型的含義是：在給定的條件限制下，求出使目標函數(shù)值達到最大的氣,x2的值.從數(shù)學模型中看出，上面的例題具有下面的三個特征：用一組決策變量表示問題的一個方案，決策變量的一組取值代表一個具體的方案.通常狀況下，決策變量的取值是非負的，部分情況下，還要求決策變量取值為整數(shù).每個問題都有一個目標，而且都可以用決策變量的線性函數(shù)表示.根據(jù)問題的不同，要求目標實現(xiàn)最大或者最小.決策變量都滿足一定的約束條件，而且都可以用決策變量的線性等式或者不等式表示.具備以上三個要素的問題稱為線性規(guī)劃問題，簡單地講，線性規(guī)劃問題就是求一個線性目標函數(shù)在滿足一組線性等式(或不等式方程)約束條件下的極值問題.例2云南一公司加工生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品，市場前景非常的很好，銷路也不成問題，各種制約因素主要有技術(shù)工人、設(shè)備臺時和原材料供應(yīng).已知制造每噸產(chǎn)品的資源消耗系數(shù)、每天的資源限量和售價等參數(shù)如表3所示.現(xiàn)在公司有意轉(zhuǎn)換經(jīng)營方式，現(xiàn)在將各種資源出租轉(zhuǎn)讓，我們假定市場廣闊.問題：公司轉(zhuǎn)讓資源的價格底線是什么？甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品資源限量人力86320設(shè)備68260原材料410300售價(元/公斤)90150表3我們將例1叫做原問題，將例2叫做對偶問題.原問題的數(shù)學模型是:〔8尤+6x<3206x+8x<260/.s.t.<12(4.1)4x+10x<30012s.t.<x,x>0分析：現(xiàn)在在對偶問題中我們需要考慮的是，將例題中的三種資源租讓或者轉(zhuǎn)出，應(yīng)該是不少于原來的收益的，否則這家公司寧愿選擇自己繼續(xù)生產(chǎn).所以，決策的約束條件應(yīng)該是：出租制造的產(chǎn)品消耗掉的資源不能少于自己生產(chǎn)該產(chǎn)品的收益；目標函數(shù)應(yīng)該是：資源轉(zhuǎn)讓的收益底線.所以，我們設(shè)y，y，y分別為人力、設(shè)備臺時和123原材料的轉(zhuǎn)讓或者出租的價格.由于生產(chǎn)1公斤A產(chǎn)品需消耗8個工時，6個臺時和4公斤的原材料，可創(chuàng)造產(chǎn)值90元.所以出讓生產(chǎn)A產(chǎn)品資源至少應(yīng)帶來90元的產(chǎn)值，即8yi+6y2+4y3>90同理，生產(chǎn)1公斤B產(chǎn)品需耗時4個工時，6個臺時和8公斤的原材料，可創(chuàng)造產(chǎn)值150元，出讓這些資源所獲得的銷售收益應(yīng)滿足6yi+8y2+10y3>150上面兩個不等式保證了“出售”資源所獲得的收益不低于自己組織生產(chǎn)所能創(chuàng)造的收益.但是也不能隨意要價，否則由于市場的調(diào)節(jié)作用將會使資源賣不出去.因此目標函數(shù)應(yīng)該是表達所獲的收益的底線，即解：從轉(zhuǎn)讓資源的方面考慮，得到此問題的數(shù)學模型應(yīng)是|8義+6y2+4，3>90s.t.〈6y+8y+10y>150(4.2)y:y,/>03、123評注：通過分析我們可以知道，重新得到的對偶問題是一個非常重要的線性規(guī)劃問題，它對問題的分析又加深了一步，減少了管理工作中的盲目性，為決策者提供了

更多的科學依據(jù).原問題與對偶問題之間是相互對應(yīng)的關(guān)系，原問題與對偶問題是從不同的角度對同一問題進行了分析研究.它們之間存在著很密切的關(guān)系，這些關(guān)系我們將在通過分析可知.從形式上我們可以看到，在原問題中，制訂生產(chǎn)計劃有3種設(shè)備的總工時構(gòu)成規(guī)劃的資源約束，可建立3個約束不等式，其中2種要生產(chǎn)的產(chǎn)品將構(gòu)成決策變量；而在它的對偶問題中，原問題里的3個資源約束所對應(yīng)的資源估價正好構(gòu)成了對偶問題的決策變量，原問題中的2個決策變量對應(yīng)的2種產(chǎn)品則構(gòu)成了對偶問題的2個約束條件.小結(jié)：通過分析可以得出，問題(4.1)和問題(4.2)具有下面的關(guān)系：(1)問題(4.1)的目標函數(shù)值求極?。粏栴}(4.2)的目標函數(shù)值求極大.(2)問題(4.1)有2個決策變量和3個主約束條件，問題(4.2)有3個決策變量和2個主約束條件.即問題(4.1)中決策變量的個數(shù)和問題(4.2)中主約束條件的個數(shù)相等，問題(4.1)中的主約束條件的個數(shù)和問題(4..2)中的決策變量的個數(shù)是相等.原因是，問題(4.1)的系數(shù)矩陣和問題(4.2)的系數(shù)矩陣是互為轉(zhuǎn)置的.(3)問題(4.1)的價格指標與問題(4.2)的資源指標對應(yīng)，且問題(4.1)的第，個價格指標與問題(4.2)的第，個資源指標對應(yīng).(4)問題(4.1)的資源指標與問題(4.2)的價格指標對應(yīng)，且問題(4.1)的第，個資源指標與問題(4.2)的第i個價格指標對應(yīng).⑸問題(4.1)的主約束條件是會”型的約束條件；而問題(4.2)的主約束條件是“V”型的約束條件.4.3對稱型對偶問題轉(zhuǎn)換為原問題對偶理論中關(guān)于線性規(guī)劃問題里，對偶問題的對偶就是原問題.設(shè)原問題為：(4.3)IAX<bs.t.<IX>0(4.3)則對偶問題為：(4.4)\YA>Cs.t.<|Y>0

(4.4)而對偶問題的對偶為:(4.5)IAZ<bs.t.<\Z>0(4.5)由此可見，線性規(guī)劃問題（4.3）,（4.5）的形式是完全一致，因而，原問題和它的對偶問題是互為對偶的關(guān)系，也即是對偶問題的對偶就是原問題.4.4非對稱型的原問題轉(zhuǎn)化為對偶問題線性規(guī)劃有時以非對稱型出現(xiàn)，那么如何從原始問題寫出它的對偶問題，將是下面要討論的問題.在非對稱形式的規(guī)劃問題中，可以按照下面的對應(yīng)規(guī)則直接給出它的對偶問題：（1）將線性規(guī)劃問題統(tǒng)一為“max,<”或“min,>”的形式，而其中的等式約束按照下面（2），（3）中的方法進行處理.（2）若原問題的某個約束條件時等式約束，則對偶問題中與此約束對應(yīng)的那個變量取值沒有非負限制的.（3）若原問題的某個變量的值沒有非負限制，則在它的偶問題中與此變量對應(yīng)的約束條件是等式約束.下面對于規(guī)則（2）做一些必要的說明，對于規(guī)則（3）可以給出類似的證明設(shè)原問題中的第一個約束是等式：那么，此等式與下面的兩個不等式等價：這樣，原問題可以寫成因為就轉(zhuǎn)換為對稱形式，所以可以直接寫出對偶問題這里，我們把.「看作y=y-y”，，于是y沒有限制，規(guī)則（2）的說明完畢.將非對1111稱的線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為對稱形式時可能會有以下幾種情形[5]:（1）目標函數(shù)的轉(zhuǎn)換設(shè)minz=cx+cx+A+cx，令z，=-z，則將求最小值的問題轉(zhuǎn)換為求最大值1122nn的問題，即將求minz轉(zhuǎn)化為求maxz，且maxz=-cx-cx-A-cx.反之，要將1122nn極大化目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為極小化目標函數(shù)，也可以直接給原目標函數(shù)乘以-1,把maxz'改寫成minz.主約束條件的轉(zhuǎn)換A.將y”型(或者“X')的約束條件乙x<b(或Zax>b)，轉(zhuǎn)化ijJiijJiTOC\o"1-5"\h\zj=1j=1為“>”型(或者“<”型)的約束條件時，直接將原約束條件兩邊同乘以1,即Zax>-b(或Zax<-b)ijjiijjij=1j=1B.將“二”型的約束條件￡ax.=氣轉(zhuǎn)化為“>”型或者“〈”型的約束條件時，j=1首先將其寫成兩個不等式約束條件，然后再轉(zhuǎn)化為所需形式的不等式約束條件，即：非負約束條件的轉(zhuǎn)換若變量*沒有非負限制，取值可正可負，這時可設(shè)兩個非負變量xj和xj，令x=x'一x",x',x''>0jjjjj若變量x<0，可令：x=一x',x'>0jjjj例3：請寫出下列的線性規(guī)劃問題的對偶問題分析：首先將上述非對稱型問題轉(zhuǎn)換為我們所熟悉的對稱型問題，然后按照對稱型問題的方法將原問題轉(zhuǎn)化為對偶問題。第一，在第一個約束條件的兩邊同乘以-1.TOC\o"1-5"\h\z第二，將第三個約束方程分解成x-x+3x<1和x-x+3x>1再將約束條件123123x一x+3x>1兩邊同時乘以-1，即一x+x一3x<-1123123解：原問題轉(zhuǎn)換為如下的對稱型：現(xiàn)在四個約束，分別對應(yīng)四個對偶變量y,y,y,y”，按表1可得到下面的對偶問題：1233再設(shè)y-y”=y，代入上面的數(shù)學模型就可得出原問題的對偶問題為：333評注：將上面對偶問題同原問題對比發(fā)現(xiàn)，無論是對稱的形式或者是非對稱形式的線性規(guī)劃問題在寫出它的對偶問題時，表格中前四行的對應(yīng)關(guān)系都適應(yīng)，區(qū)別的只是約束條件的形式與其對應(yīng)變量的取值.4.5對偶問題的應(yīng)用設(shè)有如下線性規(guī)劃問題：已知它的最優(yōu)解為X=(0,50,50,9,0,0)t，求對偶問題的最優(yōu)解.解：根據(jù)對偶規(guī)則，我們很容易的寫出了原問題的對偶問題:根據(jù)對偶性質(zhì)，有如下對應(yīng)關(guān)系：原問題中的原始變量原問題中的松弛變量對偶問題的剩余變量對偶問題的原始變量將對偶問題標準化為：由于y,y,y為零，上述約束條件簡化為：156由此的對偶問題的最優(yōu)解為：y=0,y=8,y=2,y=4,y=0,y=0123456評注：線性規(guī)劃問題中，有時為了計算變得簡單，我們常常需要把線性規(guī)劃問題的原問題轉(zhuǎn)換為它的對偶問題進行解決.5結(jié)論5.1主要發(fā)現(xiàn)對偶理論是線性規(guī)劃問題的重要內(nèi)容之一，任何一個線性規(guī)劃都有一個伴生的線性規(guī)劃，稱之為原問題的對偶規(guī)劃問題.本文主要探究了原問題與對偶問題之間的關(guān)系，原問題與對偶問題轉(zhuǎn)化的具體步驟和對偶理論的應(yīng)用.用科學的方法對生產(chǎn)計劃進行預(yù)測，及時調(diào)整、科學決策，使企業(yè)決策更加合理.5.2啟示線性規(guī)劃中常常用到對偶問題，它的思想方法是利用線性代數(shù)的方法找出線性規(guī)劃模型中目標函數(shù)與約束條件的可行解.同時利用對偶問題能夠快速的找出問題的最優(yōu)解，對解的特性的判斷起關(guān)鍵作用.在計算工具不斷發(fā)展的今天，用對偶問題處理生產(chǎn)、經(jīng)營上的問題已經(jīng)越來越廣泛.企業(yè)經(jīng)營者可以根據(jù)市場的具體情況，建立相應(yīng)的數(shù)學模型，然后用對偶問題加以分析，科學的為決策者提供理論依據(jù).5.3局限性本文主要研究了對稱型與非對稱型的線性規(guī)劃原問題轉(zhuǎn)化為對偶問題的具體步驟.對偶問題是一組線性約束條件下的線性規(guī)劃問題，它只能處理單個目標函數(shù)的優(yōu)化問題.而實際問題中往往要考慮多個目標函數(shù)，這些目標函數(shù)之間可能是相互矛盾、相互排斥的.5.4努力方向雖然對偶問題的適用范圍很大，但受實際問題中約束條件的制約，只能處理單目標的優(yōu)化問題，所以研究線性規(guī)劃最優(yōu)解的求解方法是有必要的.因此，線性規(guī)劃的對偶理論，單純形法求最優(yōu)解這些都值得進一步的研究.參考文獻郝英奇.實用應(yīng)籌學[M].北京：中國人民大學出版社,2011:70-113.孫君曼，馮巧玲，孫慧君，李淑君，趙秀花.線性規(guī)劃中原問題與對偶問題轉(zhuǎn)化方法探究[J].鄭州輕工業(yè)學院學報，2001,(2):44-47.胡運權(quán)，郭耀煌.運籌學教程[M].北京：清華大學出版