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三角函數(shù)綜合運(yùn)用1理解正余弦定理;會(huì)利用正余弦定理解三角形;理解并運(yùn)用正余弦定理解決三角函數(shù)中范圍問(wèn)題?!究键c(diǎn)要求】課前一練1.在△ABC中,已知C=90°,a=2,B=30°,求b+c__.2.在Rt△ABC中,已知C=90°,則sinAsinB的最大值為____.3.在△ABC中,已知c=
,C=60°,則AC+BC的最大值是____.考點(diǎn)一:正余弦定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用例一在△ABC中,acosA+bcosB=ccosC,試判斷△ABC的形狀法一(正弦定理):sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC,即:sin2A+sin2B=2sinCcosC,就是2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC則2sinCcos(A-B)=2sinCcosC所以,cos(A-B)=cosC即:A-B=C或A-B=-C,即:A=B+C或B=A+C從而A=90°或B=90°此三角形為直角三角形=法二(余弦定理)由題可得:即:所以:則有:因此△ABC為直角三角形變式訓(xùn)練在△ABC中,已知
判斷△ABC的形狀
。
由(
)sin(A一B)=(
)sin(A+B),得
[sin(A+B)-sin(A一B)]=
[sin(A+B)+sin(A-B)],所以
cosAsinB=
sinAcosB由正弦定理得sin
AcosAsinB=sin
BsinAcosB因?yàn)?<A<
,0<B<
,所以sinA>0,sinB>0,0<2A<2
,0<2B<2
,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B所以2A=2B或2A+2B=
,即A=B或A+B=所以△ABC等腰三角形或直角三角形考點(diǎn)二:三角函數(shù)的范圍問(wèn)題變式訓(xùn)練在銳角△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊。且2bsinA=a.(1)求角B(2)求cosA+cosB+cosC的取值范圍。解:(1)由正弦定理得2sinBsinA=sinA,
且sinA0,因此sinB=
因?yàn)锽(0,
)所以B=
(2)由A+B+C=得C=-A
由△ABC是銳角三角形得A所以cosC=cos(-A)=
所以
cosA+cosB+cosC==
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