“平移法”巧解一類平面向量問題

“平移法”巧解一類平面向量問題OABP圖1眾所周知，由平面向量基本定理可以得到如下結(jié)論：“已知向量、不共線，且，則三點(diǎn)共線的充要條件是”．筆者發(fā)現(xiàn)以這個(gè)結(jié)論為基礎(chǔ)通過簡單的拓展，可以直觀、快捷的解決一類和向量有關(guān)的最值問題．OABP圖1ABABCDE圖2思考1：如圖2，直線，從點(diǎn)出發(fā)的三條射線依次交直線、于點(diǎn)、、、、、，，若，，的值是定值嗎？ABCDEMP圖3分析：由得：，由三點(diǎn)共線可知：ABCDEMP圖3總結(jié)：若，，則，顯然這個(gè)定值與點(diǎn)在上的具體位置無關(guān)．思考2：如圖3，直線，，若，，點(diǎn)為直線、之間（包括邊界）任意一點(diǎn)，的取值范圍可求嗎？分析：過點(diǎn)作直線，交線段于點(diǎn)，隨著點(diǎn)的位置不同，直線可從滑動(dòng)至?xí)r，此時(shí)的值在連續(xù)發(fā)生變化，易知：，由上面的結(jié)論可知．總結(jié)：當(dāng)點(diǎn)是某個(gè)平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，首先作與基底兩端點(diǎn)連線平行的直線，因點(diǎn)無論在何處，對(duì)應(yīng)的值恒為定值，我們不妨稱之為“等值線”，然后將“等值線”在動(dòng)點(diǎn)的“可行域”內(nèi)平行移動(dòng)，于是問題便轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)線段長度的比值范圍，這種方法類似于線性規(guī)劃中的平移，為了好記，我們不妨稱之為“平移法”．ABCMDGABCMDGP圖4例1（原創(chuàng)題）若為的重心，為內(nèi)任一點(diǎn)(包括邊界)，求的范圍．解：如圖4，過點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線平行于，交于點(diǎn)，因點(diǎn)為內(nèi)任一點(diǎn)(包括邊界)，于是可在直線與直線之間滑動(dòng)，設(shè)，則，由平面幾何知識(shí)可知，即，故．例2（2009安徽）給定兩個(gè)長度為1的向量、，它們的夾ABCDM圖5角為，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，若，其中，則的最大值是______．ABCDM圖5O解：如圖5，設(shè)過、兩點(diǎn)的直線為，過點(diǎn)作直線，交線段的延長線于點(diǎn)，設(shè)與平行且與弧相切的直線為，設(shè)交線段的延長線于點(diǎn)，設(shè)，則，顯然“等值線”可從平移至，由平面幾何知識(shí)可知，故，則的最大值為2．OABCDEFPMNG圖6例3（2010年江蘇南京模擬測試題）正六邊形ABCDEFPMNG圖6解：如圖6，連接，過點(diǎn)作直線交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，直線交的延長線于點(diǎn)，設(shè)，則，顯然“等值線”可從直線的位置移至直線的位置，由平面幾何知識(shí)可知：，故，，故．例4（武漢二中2012屆高三調(diào)研）在直角梯形中，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，則的范圍是______．ABCDEFMHP圖7解：如圖7，作于，由∽知，即，所以，設(shè)與平行且與圓相切的直線交延長線于點(diǎn)，作垂直該線于點(diǎn)，顯然，由∽得，即，所以，過點(diǎn)作直線，交的延長線于點(diǎn)，設(shè)，則，由圖形知“等值線”可從直線的位置平移至直線的位置（不包括和），由平面幾何知識(shí)可，即，故．ABCDEFMHP圖73“平移法”的靈活運(yùn)用ABCFGHMDP圖8E例5（原創(chuàng)題）如圖為的重心，、均為、上的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），，則ABCFGHMDP圖8E解：如圖8，在線段上取點(diǎn)，使，則，設(shè)，則，連接，延長交于點(diǎn)，由知，，過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，設(shè)，則，由圖形知，“等值線”可從直線的位置平移到過點(diǎn)的位置，由平面幾何知識(shí)可知，故，即，故．例6（2012屆黃岡中學(xué)高三模擬訓(xùn)練題）為的邊的中點(diǎn)，為邊三等分點(diǎn)，，為內(nèi)（包括邊界）任一點(diǎn)，若，求取值范圍．ABCDKHPEM圖9O解：如圖9，延長至點(diǎn)，使，則，則，令，則，，設(shè)過點(diǎn)與平行的直線分別為、、，設(shè)交線段延長線于點(diǎn)，令，由圖形知：，“等值線”可從的位置平移至的位置，由平面幾何知識(shí)可知，則，故．ABCDKHPEM圖9O點(diǎn)評(píng)：通過以上例子我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：若給出確定的向量、為基底，，和系數(shù)相關(guān)的形如“”的最值（范圍）問題都可采用“平移法”解決．以平面幾何圖形為載體，以向量為背景的最值（范圍）問題近年來頻繁出現(xiàn)在高考和調(diào)考試題中．由于平面向量融數(shù)和形于一體，是代數(shù)、平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)的交匯點(diǎn)，因而這類問題通?？蓮臄?shù)和