北京市順義第九中學(xué)2023年高三最后一模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A．8 B．32 C．64 D．1282．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為，且，則（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線l交雙曲線的右支于點(diǎn)P，以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與直線l相切，切點(diǎn)為H，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，，若，對(duì)任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個(gè)使，則的最大值為（）A． B． C． D．5．已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)與圓：的圓心重合，且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．36．已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．18．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（）A．8 B． C． D．9．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．10．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A．5 B．10 C．15 D．2011．M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個(gè)不同的交點(diǎn),則|MN|的最小值為()A．π B．π C．π D．2π12．若2m＞2n＞1，則（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，其中，為正的常數(shù)，且，則的值為_______.14．“六藝”源于中國(guó)周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)”．某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“禮”與“樂(lè)”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為________．15．甲、乙、丙、丁4名大學(xué)生參加兩個(gè)企業(yè)的實(shí)習(xí)，每個(gè)企業(yè)兩人，則“甲、乙兩人恰好在同一企業(yè)”的概率為_________.16．在的展開式中，所有的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)和為-64，則實(shí)數(shù)的值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；②比較與的大小;（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)時(shí)，，且有唯一零點(diǎn)，證明：．18．（12分）在中，．（1）求的值；（2）點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），設(shè)，求的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最小值；（2）設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，證明：.20．（12分）已知數(shù)列中，（實(shí)數(shù)為常數(shù)），是其前項(xiàng)和，且數(shù)列是等比數(shù)列，恰為與的等比中項(xiàng)．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，當(dāng)時(shí)，的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意，都有．21．（12分）如圖在四邊形中，，，為中點(diǎn)，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線：.過(guò)點(diǎn)的直線：（為參數(shù)）與曲線相交于，兩點(diǎn).（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【答案解析】

根據(jù)給定的程序框圖，逐次計(jì)算，結(jié)合判斷條件，即可求解.【題目詳解】由題意，執(zhí)行上述程序框圖，可得第1次循環(huán)，滿足判斷條件，；第2次循環(huán)，滿足判斷條件，；第3次循環(huán)，滿足判斷條件，；第4次循環(huán)，滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次計(jì)算，結(jié)合判斷條件求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．C【答案解析】

令，求出在的對(duì)稱軸，由三角函數(shù)的對(duì)稱性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【題目詳解】令，得，即對(duì)稱軸為.函數(shù)周期，令，可得.則函數(shù)在上有8條對(duì)稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，將以上各式相加得：故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為的形式.3．A【答案解析】

在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.【題目詳解】由已知，，在中，由余弦定理，得，又，，所以，，故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算問(wèn)題，處理雙曲線離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系，本題是一道中檔題.4．C【答案解析】

根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組，求得的表達(dá)式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值，求得的取值范圍，求得對(duì)應(yīng)的取值范圍，由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證，由此求得的最大值.【題目詳解】由題意知，則其中，．又在上有且只有一個(gè)最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，成立；綜上所得的最大值為．故選:C【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.5．A【答案解析】

由已知，圓心M到漸近線的距離為，可得，又，解方程即可.【題目詳解】由已知，，漸近線方程為，因?yàn)閳A被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心M到漸近線的距離為，故，所以離心率為.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的問(wèn)題，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.6．A【答案解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是減函數(shù)，（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，故當(dāng)x=﹣1時(shí)，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1時(shí)，等號(hào)成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí)，等號(hào)成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故選：A．7．C【答案解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，分子分母同時(shí)乘以，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)，再求出，由此得到虛部.【題目詳解】，，所以的虛部為.故選：C【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.8．D【答案解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐，即可求出幾何體的表面積．【題目詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐，如圖，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的底面是正方形,邊長(zhǎng)為2,棱錐的高為2，所以，故選：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，棱錐表面積的計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.9．C【答案解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng)；結(jié)合特殊值，即可排除D選項(xiàng).【題目詳解】∵，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴排除選項(xiàng)A，B；又∵當(dāng)時(shí)，，故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.10．C【答案解析】

利用等差通項(xiàng)，設(shè)出和，然后，直接求解即可【題目詳解】令，則，，∴，，∴.【答案點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題11．C【答案解析】

兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.12．B【答案解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【題目詳解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正確；而當(dāng)m，n時(shí)，檢驗(yàn)可得，A、C、D都不正確，故選：B．【答案點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項(xiàng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

把已知等式變形，展開兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合已知求得值．【題目詳解】解：由，得，，即，，又，，解得：．為正的常數(shù)，．故答案為：．【答案點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．14．【答案解析】

分步排課，首先將“禮”與“樂(lè)”排在前兩節(jié)，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個(gè)元素與其它兩個(gè)元素合起來(lái)全排列，同時(shí)它們內(nèi)部也全排列．【題目詳解】第一步：先將“禮”與“樂(lè)”排在前兩節(jié)，有種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂(lè)”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為．故答案為：1．【答案點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用，排列組合問(wèn)題中，遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則，相鄰問(wèn)題用捆綁法，不相鄰問(wèn)題用插入法．15．【答案解析】

求出所有可能，找出符合可能的情況，代入概率計(jì)算公式．【題目詳解】解：甲、乙、丙、丁4名大學(xué)生參加兩個(gè)企業(yè)的實(shí)習(xí)，每個(gè)企業(yè)兩人，共有種，甲乙在同一個(gè)公司有兩種可能，故概率為，故答案為．【答案點(diǎn)睛】本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題16．3或-1【答案解析】

設(shè)，分別令、，兩式相減即可得，即可得解.【題目詳解】設(shè)，令，則①，令，則②，則①-②得，則，解得或.故答案為：3或-1.【答案點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【答案解析】

（1）①把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到，再求出，利用直線方程的點(diǎn)斜式求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；②令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（2）由題意，，在上有唯一零點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，在，上單調(diào)遞增，得到．由在恒成立，且有唯一解，可得，得，即．令，則，再由在上恒成立，得在上單調(diào)遞減，進(jìn)一步得到在上單調(diào)遞增，由此可得．【題目詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，，，，又，切線方程為，即；②令，則，在上單調(diào)遞減．又，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．證明：（2）由題意，，而，令，解得．，，在上有唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，在，上單調(diào)遞增．．在恒成立，且有唯一解，，即，消去，得，即．令，則，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，又，，．在上單調(diào)遞增，．【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題．18．（1）（2）【答案解析】

（1）先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得,再由求解即可；（2）在中,由正弦定理可得,則,再由求解即可.【題目詳解】解:（1）在中,,所以,所以（2）由（1）可知,所以,在中,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以.【答案點(diǎn)睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查正弦定理的應(yīng)用.19．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【答案解析】

（1），分，，三種情況推理即可；（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到證明.【題目詳解】（1）由，得.當(dāng)時(shí)，方程的，因此在區(qū)間上恒為負(fù)數(shù).所以時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且滿足，所以函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零，函數(shù)在區(qū)間上單增，又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù)，所以在區(qū)間上恒為正數(shù)，不滿足題意；綜上可知：若時(shí)，不等式恒成立，的最小值為.（2）由第（1）知：若時(shí)，.若，則，即成立.將換成，得成立，即，以此類推，得，，上述各式相加，得，又，所以.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問(wèn)題、證明數(shù)列不等式問(wèn)題，考查學(xué)生的邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道難題.20．（1）見(jiàn)解析（2）（3）見(jiàn)解析【答案解析】

（1）令可得，即．得到，再利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解，（2）由（1）知，．設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，再根據(jù)恰為與的等比中項(xiàng)求解，（3）由（2）得到時(shí)，，，求得，再代入證明?！绢}目詳解】（1）解：令可得，即．所以．時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，所以．顯然當(dāng)時(shí)，滿足上式．所以．，所以數(shù)列是等差數(shù)列，（2）由（1）知，．設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，恰為與的等比中項(xiàng)，所以，解得，所以（3）時(shí)，，，而時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，∴對(duì)任意，都有，【答案點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系，等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)以及數(shù)列放縮的方法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題，21．（1）1；（2）【答案解析】

（1），在和中分別運(yùn)用余弦定理可表示出，運(yùn)用算兩次的思想即可求得，進(jìn)而求出；（2）在中，根據(jù)余弦定理和基本不等式，可求得，再由三角形的面積公式以及正弦函數(shù)的有界性，求出的面積的最大值．【題目詳解】（1）由題設(shè)，則在和中由余弦定理得：，即解得，∴（2）在中由余弦定理得，即，∴所以面積的最大值為，此時(shí).【答案