高數(shù)第二章一元函數(shù)微分學(xué)

第二元函數(shù)微內(nèi)容(12學(xué)時(shí)左右導(dǎo)數(shù)的概求導(dǎo)法微中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概問題的引非勻速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速切線的斜導(dǎo)數(shù)的定義（要點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的意義（要點(diǎn)由定義求導(dǎo)數(shù)舉例（要點(diǎn)、難點(diǎn)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（要點(diǎn)一、問題的引t0t0tt自 s

1gt21

t2

212運(yùn) s

g2

2平均速度

V

12

2t0

tt0時(shí)刻的瞬時(shí)速度是多少平均速度:V平均速度:Vs1g2tt20t無限地接0時(shí)平均速度無限地時(shí)速度極限的描述性定義當(dāng)自變量x以任意方式無限地趨近于x0時(shí)數(shù)x無限地趨近于一個(gè)常數(shù)A,則稱當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)x以A為極限.Vlimslim1g2ttt0 t0 切線(TangentLine)的斜率 y

N(x,y)TM(x0

y0Ntan

y x

x0 k

lim

f(x)f(x0x0

x運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

k函數(shù)增自變的增vt共同點(diǎn)二、導(dǎo)數(shù)（Derivative)若函數(shù)y

f(x)在x0處的增量y與自變量的增量之比y

f

x)

f(x0

y

f(x)

f(x0)

x 0當(dāng)0

0時(shí)有極

那么稱此極限值為y

f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)(derivative

并記為

(x0)

yx

x ,f(x0

或f(x0

lim

(x)x

f(x0x0二、導(dǎo)數(shù)（Derivative)的定義f(x0)

如果函數(shù)y

fx)在區(qū)間(ab)內(nèi)每一點(diǎn)x導(dǎo)數(shù)

x顯然

x)仍是x的函數(shù)，

這個(gè)函數(shù)稱fx)的導(dǎo)函數(shù)

簡稱為導(dǎo)數(shù).

f

dy

(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)

(x0)就導(dǎo)函f(x)在x0處的f(x0)

f

x單側(cè)導(dǎo)limf(f(xx)f(x)f(xx)f(x)f(x)在x處的右導(dǎo) f(x)在x處的左導(dǎo)f(x)在x處可導(dǎo)的充要條件

f(x)

f(x)在(a,b)可導(dǎo),且f(a),f(b)存則f(x)[,可導(dǎo)例求函數(shù)

(x)

x在

0處的導(dǎo)數(shù)

f(x

x)

f(x)

0x

f(0

x)

f

limxx0

f(0

x)

f(0)

x

f(x)在

0三、導(dǎo)數(shù)的意物理意義：物體運(yùn)動(dòng)位移函

s(t)在t0處的導(dǎo)s(t0就是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度幾何意義：函y

f(x)在x

x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0就是曲線y

f(x)在點(diǎn)(x0f(x0處的切線斜率四、由定義求導(dǎo)數(shù)舉

C(C為常數(shù)）的例2.已知

sin

求

y

n

為正整數(shù)的導(dǎo)數(shù)

已知

x,

y'x2四、由定義求導(dǎo)數(shù)舉

C(C為常數(shù)）的解：y

f(x)

limx0

f(x

x)

f(x)

C 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為例2.已知

sin

求mx0

limsinxlimsinxx0x

2cos(2xx)sin(x

cos(2x

2

y

n

為正整數(shù)的導(dǎo)數(shù)mx0

(x

xn二項(xiàng)式定理(ab)nannan1b

an2b2

bnnxn1x

xn2x2

xn

已知

x,

y'x2mx0

1x1x

ln

1

xx0 1

x

x

x1

lim1

x x

已知

x,

y'x2

lim1

1x1x1x x1lnex

yx2

11x2 11例4.求曲

yx2上一

39的切線方程和法線方程M0 解:y

limx0

lim

x

x2

2xktany

x2

232

法線方程.y9.4

33x 23x

y

1x3

3 2五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)定理如果函數(shù)y

fx)在點(diǎn)x則這個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)證明

limyx0y

f(x)f(x)

limy

f

limy 連續(xù)五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)定理如果函數(shù)y

fx)在點(diǎn)x則這個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)連續(xù)不一定

limylimyx0

k等價(jià)說法

如果函數(shù)

x)在x則該函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)例y

x在

0點(diǎn)連續(xù)，

limylimy

0

f

連

f(x)

f(0)

x

x0

x

x0

f(x)

f(0)

x0

x

yyoxyyoxy

f(x)

x在區(qū)間（

）內(nèi)連續(xù)但在點(diǎn)

0處不可導(dǎo)。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念小問題的引非勻速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速切線的斜導(dǎo)數(shù)的定義（要點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的意義（要點(diǎn)由定義求導(dǎo)數(shù)舉例（要點(diǎn)、難點(diǎn)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（要點(diǎn)相關(guān)習(xí)題：習(xí)題第二節(jié)內(nèi)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公求導(dǎo)運(yùn)算法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法隱函數(shù)的求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)反函數(shù)求導(dǎo)法高階導(dǎo)由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1.C

2.(xn)

nxn

3.ax

ax

x)

x) sin

x

cos

x

sin

x

sec2x

cot

x

sin

csc211x2

x

arcco

x 11x2

x

arc

x 1x2 1x2一、求導(dǎo)運(yùn)算法

設(shè)u,v

w都是的可導(dǎo)函數(shù)則(u

w)

u

v(uv)u

v v2 推論:(cu)

(uvw)

(x)

x3

4cos

sin2

,求

(x)和

(2

-2x2

ex

x

x)例求y5求函數(shù) 已知曲

2xx3（）(11,1)的切線方程和法）(x0y0)處的切線通過求(x0,y0)及該點(diǎn)處的 線

(x)

x3

4cos

sin2

,求

(x)和

()解

4sinf(2

3(2

4sin2

3

2

ex

-2x2

解

4x

sin

ex

x

(uv)解

ex

xcosex

(cos

sin2excosuvuvuvv2解：

sinx cosx

sec2cos25求函數(shù)

u uv解secx)

cosx

sin

v cos2

sin

cos cos(csc

1sinx1

sinx

sin2cscxcot 已知曲

2xx3處的切線方程和法(x0,y0)處的切線通過求(x0,y0)及該點(diǎn)處的 線y

2

y

23處切線方

y1

(x

處法線方

y1

x1 已知曲

2xx3）(x0y0)處的切線通過求(x0,y0)及該點(diǎn)處的 線解：y

23x2

(x0

y0y

3x2)(x

x0

因?yàn)?0,2)2

3x2)(0

x00(xy)在曲線上0

2xx30 0

已知曲

2xx3）(x0y0)處的切線通過求(x0,y0)及該點(diǎn)處的 線解：y

23x2

x0

y

23

y1

(x

(1,1)處法線方程

y1

x1二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則若u

(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)

(x)

且y

f(u)xu應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)yxu

f(u)

則復(fù)合函數(shù)y

fx)給定點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)

dydy

yyu

x u x即復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于y對中間變量u的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量u對自變量的導(dǎo)數(shù).另，二個(gè)中間變量情況(多個(gè)類推y

fg

x,y

f(u),u

gv,

x,y

yu 例

x,求例5.y

ln1x2例6.y ,求1x2例

lnx

x21,例

x,求解

sinx,

u2dydydydy

cos

2

xcos例5.y

ln解

cosx,

lnyu

(sin

x)

sincos

tan1x2例6.y 1x2dydydy解

1

x2,yuyu

u12

x2)1例

lnx

x21,解p,

x,q

x21v

up

ylnyu1

dvdx1

1 1u

dv

dqdxdydydydyu

2x p

qx21,v

,up2quqy1 2x)2quq x x21 x21xx21xxx21xx21x21 x21三、隱函數(shù)(implicitfunction)的求導(dǎo)法形如y

f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù)(explicit而由方程F(x,

0所表示的y與的函數(shù)關(guān)系為隱函數(shù)

xyex

ey1.求導(dǎo)方法把y看成中間變量F(x,y)=0等例

ex

ey

0確定y是的函數(shù)求y及y0.解y看成中間變量，兩邊x求導(dǎo)yxyexeyydzdzdzdz

y

(x)

ey

y

exexyxey例

xyex

ey

0確定y是的函數(shù)求y及y0.y

ex

x0代入xey1ey

yy(0)

1 0e0例例x2y29在點(diǎn)323處的切線方程解y看成中間變量，兩邊x求導(dǎo)2x

2yy9

y

9x16yy2

9 3316 332例例x2y29在點(diǎn)323處的切線方程334切線方程y2

(x33433

四、對數(shù)求導(dǎo)兩邊先取對數(shù)，再求導(dǎo)yxsn11.y

y

y

xln

隱含數(shù)求導(dǎo)法則yy

xlnx

sinxy

xsin

xlnx

sinxx

xx(x1)(x(x1)(x(3x)(4

y'.

,解u,

x，

sindydydydy

xlnuu

lnxx

u

xx

xy

cosu

xx

xcosxx

xx

xy

(x1)(x2

y'.(3x)(4ny

2

2)

x)

ln(4

y1

1

1 x1

x 3

4

2x

2x y

(x1)(x

(3x)(4x)五、反函數(shù)求導(dǎo)法定理：如果函數(shù)

(y)在區(qū)間Iy上單調(diào)、可導(dǎo)且y。則它的反函數(shù)y

f(x)在對應(yīng)區(qū)間

yIy上也可導(dǎo)，且f(x)

(y)定理表明，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。證明

arcsinx

xsin例證明arcsin例證明arcsinx11x2(1x

y x

y在(2

y

)單調(diào)可導(dǎo)x

cosy在(2

y

)不等0例

證明

x

1

x

cos1sin21sin2

xsin1x21x2六、高階導(dǎo)f(x)是個(gè)函數(shù),可能有導(dǎo)數(shù).它的導(dǎo)數(shù)稱f(x)的二階導(dǎo)數(shù),y

d2dx2

fx;同樣

(x)也是的函數(shù),可能也有導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)稱為f(x)的三階導(dǎo)數(shù) d3

y dx3

xdxndn二階以上的導(dǎo)數(shù)稱dxndnn階導(dǎo)數(shù)

yn

fnx. s

s例

求y

x的階導(dǎo)數(shù) y

y

y

例s例s1gt2求2

x七、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法若參數(shù)方

x

確定y與x之間的y y

函數(shù)關(guān)系yf(x)則稱y

f(x)是由上述參數(shù)方程如果

(t)

1(x)f且此反函數(shù)f

(t)構(gòu)成復(fù)合函,y

[1(x)]

(x)dydy

dy

前提是(t)，

存在(t)例求橢圓

acos在相應(yīng)于bsin

點(diǎn)處的切線方程4dy

(bsint)

bcos

bcot

dy

解： (acost)

asin 切線斜率

4dxt4

a

cot

t4

a切點(diǎn)坐

x0

acos 2 2

y0

bsin4

2222切線方程

y 2

a

(x

例拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡數(shù)方程

v2t

1gt2求拋射體在時(shí)t的運(yùn)(大小解：x(t

t)

y(t)(vt1gt2速度大小

v

1 1速度方

設(shè)是切線的傾角，則線方向?yàn)閠an

y(t) 第二節(jié)求導(dǎo)法則小基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公求導(dǎo)運(yùn)算法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法隱函數(shù)的求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)反函數(shù)求導(dǎo)法高階導(dǎo)由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1.C

2.(xn)

nxn

3.ax

ax

x)

x) sin

x

cos

x

sin

x

sec2x

cot

x

sin

csc211x2

x

arcco

x 11x2

x

arc

x 1x2 1x2一、求導(dǎo)運(yùn)算法

設(shè)u,v

w都是的可導(dǎo)函數(shù)則(u

w)

u

v(uv)u

v v2 推論:(cu)

(uvw)

二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則若u

(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)

(x)

且y

f(u)xu應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)yxu

f(u)

則復(fù)合函數(shù)y

fx)給定點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)

dydy

yyu

x u x即復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于y對中間變量u的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量u對自變量的導(dǎo)數(shù).另，二個(gè)中間變量情況(多個(gè)類推y

fg

x,y

f(u),u

gv,

x,y

yu 三、隱函數(shù)(implicitfunction)的求導(dǎo)法形如y

f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù)(explicit而由方程F(x,

0所表示的y與的函數(shù)關(guān)系為隱函數(shù)

xyex

ey1.求導(dǎo)方法把y看成中間變量F(x,y)=0等四、對數(shù)求導(dǎo)兩邊先取對數(shù)，再求導(dǎo)yxsn反函數(shù)求導(dǎo)法定理：如果函數(shù)

(y)在區(qū)間Iy上單調(diào)、可導(dǎo)且y。則它的反函數(shù)y

f(x)在對應(yīng)區(qū)間

yIy上也可導(dǎo)，且f(x)

(y)定理表明，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。六、高階導(dǎo)f(x)是個(gè)函數(shù),可能有導(dǎo)數(shù).它的導(dǎo)數(shù)稱f(x)的二階導(dǎo)數(shù),y

d2dx2

fx;同樣

(x)也是的函數(shù),可能也有導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)稱為f(x)的三階導(dǎo)數(shù) d3

y dx3

xdxndn二階以上的導(dǎo)數(shù)稱dxndnn階導(dǎo)數(shù)

yn

fnx.七、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法若參數(shù)方

x

確定y與x之間的y y

函數(shù)關(guān)系yf(x)則稱y

f(x)是由上述參數(shù)方程如果

(t)

1(x)f且此反函數(shù)f

(t)構(gòu)成復(fù)合函,y

[1(x)]

(x)dydy

dy

前提是(t)，

存在(t)第二節(jié)求導(dǎo)法則小相關(guān)習(xí)題：習(xí)題第三節(jié)微內(nèi)微分的概定可微的條微分的幾何意微分的運(yùn)算法微分形式的不變微分的簡單應(yīng)一、微分的概

其面積增加多少

x2

A

xx2

x2

(x)2

x

A21、定義

設(shè)y

f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)在點(diǎn)x0處的改變y

f

x)

f(x0可以表示為yAxo(x)其中只與x0有關(guān)而與x無關(guān)則稱函數(shù)

(x)在點(diǎn)x0處可微稱Ax為函數(shù)

(x)在點(diǎn)x0處相應(yīng)于x微分(differential記作

即dyAdf(x)2、可微的條定理函數(shù)

(x)在點(diǎn)x0可微的證 y

f(x)在x0y

limx0

limA

o(x) f(x)在x0可導(dǎo)f(x02、可微的條定理函數(shù)

(x)在點(diǎn)x0可微的證 y

f(x)在x0可導(dǎo)

(x0limyx0

f(x0

y

f(x0

f(x0

(x)x

f(x)在x0可微Af(x02、可微的條定理函數(shù)

(x)在點(diǎn)x0可微的一般又把自變量的改變量x自變量的微分記作dx,即xdx,dy

f(x)dx

亦即dy

f(x數(shù)又叫微商3yTNPyTNPyf(x)Mox0x當(dāng)y是曲線的坐標(biāo)增量,就是切線縱坐標(biāo)對應(yīng)的增.

dy

f'(x)dx當(dāng)x很小

在點(diǎn)M的附

dx切線段MP可近似代替曲線MN.當(dāng)自變量在點(diǎn)x0處有改變量x時(shí),y

f(x)所對應(yīng)的微分dy線在點(diǎn)M

(x0

f(x0

))注意與導(dǎo)數(shù)幾何意義的對比ydy

f(x)xf(x)x

稱dy是y的線性主若函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0導(dǎo)數(shù)

(x0

0

則由微分的,當(dāng)

很小

略去高階無窮小o(x),

就可y 可導(dǎo)lmyx0

f(x0可 y

f(x0

連續(xù)lim

f(x)

f(x0極限

f(x)的運(yùn)設(shè)u,v,w都是,則d(uv)du(u

w)

u

vd

(uv)

d )

,

v2u uv3.v v2 的運(yùn)設(shè)u,v,w都是,則推論d

cdu(c為推論:(cu)

d

(uvw)

基本初等函數(shù)的微1.d

d(xa

d(sin

d(tanx)

cos2

d

sin2d(ax

ax

d(ex

exdxd

x) esp.d(lnx)11x2 1x21x2d(arcsin1x2

d(arccosx)

d(arctanx)

12.d(arccotx) 1x2 1x2歸可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的微分是

f(x0)dx

f(x0在點(diǎn)x0的鄰域可以用微分代替函數(shù)增y當(dāng)u為自變量時(shí),函數(shù)y

f(u)的微為dyf(u)du,那么當(dāng)u不是自變而是另一個(gè)函數(shù)

(x),y是x的復(fù)合函yf[(x)],上式否還成立呢由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得dy

dx

f(u)(x)dx

f即不論u是自變量還是中間變量,函y

的微分形式是一樣,這一質(zhì)稱為一階微分形式的不變性dyf(u)du或dy

設(shè)函y

fx)有導(dǎo)

f(x),若x是自變量時(shí)

dy

f((2)

若x是中間變量時(shí)

即另一變量t的可

(t),

dy

f(x)(t(t

dy

f(x)dx.結(jié)論無論

x是自變量還是中間變量,函數(shù)y

(x)的微分形式總微分形式的

dy

f(x)dx1.

a解

x2)

4x(a2x2例

y

sin

求

aeaxsin

beaxcosbxdxbcosbxasin若函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)

(x0

0則由微分的定義

,當(dāng)

很小

略去x高階無窮小o(x)

就可取

dy,即

y

f(x0y

f

x)

f(x0

f

x)

f(x0)

f(x0例 1

Tuu1uu△x=0.01.求對應(yīng)的TT1udTu5uu 1

u

1

du

uu1x2uudT

dT

dx

)2

x)2T

0.01

例解設(shè)yf(x) x2xfx)在(0,)可導(dǎo)，所2xdy

f(x)dx

f(x)x

xf(x)

f(x0)

f(x0取x

49,則x

xx02f(50)2

誤差估x y分別稱為x和的絕對誤差xx

y分別稱為x和的相對誤差y例、一5.2cm，測量誤差不超過0.05cm.A

x2計(jì)算圓板面積4差。解

x

絕對誤

f(x0)x

相對誤差： 4

1%?解：Va3

VV

V

a3

aa

微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)dy

y

dy

ydx

y

dy

o(x)微導(dǎo) 基本公微dyydyyx高階導(dǎo)x0.ylnsinsin

求.y

x求例：y

.

lnsin

求解y

cossindycosxsin..ysinlnysin1lnx求yyy

xln2cosx

sinsin

1x2y

ln

cos1x2 dy

ln

cos

sin xx2 例：y

解y

e

x)ex[sin(3

dy

ex[sin(3ex[sin(3

x)x)

cos(3

第三節(jié)微分小微分的概定可微的條微分的幾何意微分的運(yùn)算法微分形式的不變微分的簡單應(yīng)相關(guān)習(xí)題：習(xí)題第四 中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)內(nèi)費(fèi)馬定理 定中值定函數(shù)的單調(diào)函數(shù)的極值、最值及凹凸函數(shù)的作法費(fèi)馬定理(x)在點(diǎn)的某鄰域里有定,且在可導(dǎo)若對于此鄰域內(nèi)x總有(x)([(x)

費(fèi)馬定理(x)在點(diǎn)的某鄰域里有定,且在可導(dǎo)若對于此鄰域內(nèi)x總有(x)([(x)證明(x)

(

則x

x，有

x)()

(x)()

()存在

(x)()

) 定理設(shè)函數(shù)(x)滿足在閉區(qū)[a,b]上連(ab)3)且(a則在(ab)內(nèi)至少存在一使得()證明

c時(shí)，'(x)

(x)c時(shí)，由P16x

存在最大

最小設(shè)M(a)

上至少存在一 ()

由費(fèi)馬定理，'(

f()

f(b)b

(a)yC

yf(x)B在曲線

AB上至少一點(diǎn)C,在該點(diǎn)處的 線平行于

2 弦AB方程y

(a)

f(b)b

(a)

(x

一 日(Lagrange)中值定設(shè)f(x)滿足以下兩個(gè)條件1在ab上連續(xù)2在ab內(nèi)可導(dǎo)f

f(b)f(a)

a(ba)ff()f(b)f(a)b()yCyCyf(x)BAD 2xyx弦AB方程y

(a)

f(b)b

(a)

(x

證明引進(jìn)輔助函數(shù)(x)

f(x)

f(a)

f(b)b

(a)

(xa)則x) 在(a,內(nèi)至少存在一()

f(b)b

(a)f()

f(b)b

(a)f()

f(b)b

(a)設(shè)在x處有一個(gè)

xx端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng) 0f(x

x)

f(x)y

f(xf(x

描述y和x之間的關(guān)系又稱為微分中值定理dy

f'(x)dxyTNPyTNPyf(x)MLox0xyf(x)xydyfy

f

x)

f(x0)x

f

bbf()f(b)f推論

若x(ab)時(shí)

'(

則f

C(C為常數(shù)，a

x(a,b)上日中值定

x2

x2f(x2)

f(x1)ff(x2)f(x)

(x1

x1)f(f()f(b)f(a)b

若x(ab)時(shí)

'(x)

g'(則fx)

g(

C(C為常數(shù)，a

x(x)

f(x)

g(x)(x)(x)

f(x)

g(x)f(x)g(x)例.證明：對任意實(shí)p和q，總有

parctanq

p

(x)

arctanx,在

,[ 由中值定理

f(p)

f(q)

f()(

(pq)(arctan

1x2

12p2yyBAoyyBAoabxyAyB bx定理

f(x)

f(x)如果對區(qū)間(ab)內(nèi)所有的x

fx則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)fx是單調(diào)遞增的如果對區(qū)間(a,b內(nèi)所有的x

fx則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)

x是單調(diào)減少 x2例求f(x)

f(x)x2x(xx1xx

f(x)f(x)f(x)

單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞

(x)

1

x

22的單調(diào)區(qū)間f(x)

23

33xxx

f(x)f(x)

單調(diào)遞減單調(diào)遞增求單調(diào)區(qū)間的步求函數(shù)的定義域及導(dǎo)三、函數(shù)的極值、最值及凸凹yyyyaobxyoxyox1、極定義：如果函數(shù)f(x)在x0處及其鄰域內(nèi)義，并且恒有

(x)

f(x0(其中x

(x如果函數(shù)f(x)在x0處及其鄰域內(nèi)有定義恒有

f(x)

f(x0(其中x

xx3可導(dǎo)函數(shù)極值存在必要條件

x在x0處可導(dǎo)

則必

fx0證明：由費(fèi)馬定理得證yyaobx駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的合稱為函數(shù)的臨界點(diǎn)定理4設(shè)函數(shù)

x在x0當(dāng)點(diǎn)x遞增變動(dòng)經(jīng)過x0點(diǎn)時(shí)1若

x由正變負(fù)

則fx在點(diǎn)x0處有極大值

x0;2若

x由負(fù)變正

則 3若

x符號不變

則fx在點(diǎn)x0處沒有極值yoyoxyox不是極值點(diǎn)情yyoxyoxy0yy0

3x2 注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)例求

(x)

x13的極值解f

1)3xx35

(x

(x

1)2

1)x1x2x1x(-

x13的極值1x11

x3求極值及極值點(diǎn)的步驟求函數(shù)的定義域及導(dǎo)求函數(shù)在定義域內(nèi)的全部駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的按第一判別法判別各個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，如果是，計(jì)算出極值對于導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，按極值定義或判別法判斷是否為極值點(diǎn)，如果是，計(jì)算出極值。例求

(x)

(x

x2的極值

(x)并且在定義域連續(xù) x2f(x x2

5xxx由fxx

0x1

2（駐點(diǎn)5x2

0是導(dǎo)x0和x

2時(shí)5

(x)

0x2

25

(x)f(0)

是極大值，f )5

0.326是極小值若連續(xù)函數(shù)

x有若干個(gè)極值點(diǎn)

與極小值點(diǎn)一定交替出現(xiàn)yyyaobx定理（定理（極值第二判別法設(shè)f(x00,f(x)在xx0處具有二階導(dǎo)數(shù)，則1若fx00,則fx0為極小值2若3若

則fx0為極大值為函數(shù)的極值

f(xx)f(x證明：f(x0

0

f(x0f

f(x0)f(x0)

ff

x)x)

的極 f

12x2

12x2(x

1)

x2f(x)36x2

36x(x2)3f(0)

1

0,f(x)0,f(x)

x1不是極值 x2是極小值點(diǎn)極小值

的極極小值

x2是極小值點(diǎn)求

(x)

4

x-12的極值解

23

4

1

5

33x2133x21

0得駐點(diǎn)為

x

f(x)

f(1)

x

f(x)

極大值例求

(x)

4

x-12的極值

3x是f1

x

f(x)

fx

f(x)

極小值f(x)

x4

3x-3x-x求極值的方求二階導(dǎo)函數(shù),由第二判別法進(jìn)行判斷yyaobxyyaobx2、函數(shù)的最最大值=max所有極最小值=min所有極

yoabyoaby yoa

(x)

x3-6x2

5在0,5最小值解:

3x2

12x

3(

令f

0得駐點(diǎn)為:

及

端點(diǎn)為

0及

f

f

f

f

f(x)[0,5]上的最大值為25,最小值為y50 f(x)

x3-6x2

5在05上的最大值和最小值求最值的步求出駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(有的話例求

(x)

cos3x

sin3x[4

,4

]上的最值解：

3sin3x3cos3x3x

x 2f()cos3sin3 2 f(5

cos3

sin3 22f(4

cos34

sin3 2f4

)cos34

sin3 4R夾的角）

燈的亮I(h)

比例系k h2hR

R2I(h)

h2R2hh2R2I(h) h2R22h2R22I(h)

h2R2

3

R2

R2k

2h2 h2R22h 22

(h

R舍去222II(h)hRI(h)223hRR22h252222h 22220h 2

I(h)

2h 222h 22

I(h)

是最大值點(diǎn)3、曲線的凹凸性及拐yx凹的--曲線位于切線上方y(tǒng)x凸的--曲線位于切線下方拐點(diǎn)--凹凸部分的分界點(diǎn)定理

設(shè)fx在[ab]上連續(xù)且在a,b上有一階階導(dǎo)數(shù)1若

x在a,b內(nèi)是正的

則相應(yīng)的曲線弧是凹的定理

設(shè)fx在[ab]上連續(xù)且在a,b上有一階階導(dǎo)數(shù)2若

x在a,b內(nèi)是負(fù)的

則相應(yīng)的曲線弧是凸的定理

設(shè)fx在[ab]上連續(xù)且在a,b上有一階階導(dǎo)數(shù)3若

則點(diǎn)

x0,

x0是曲線的拐點(diǎn)例求曲線

-4x3

并討論其凹凸性解y

x

y

36xx2,3,

0得x 2

由下表可x,00 3 232, 00曲凹拐凸拐凹拐點(diǎn)為0,1和23

.. y

-4x3

1拐點(diǎn)為0,1和2

. 3273210 注意：求拐點(diǎn)時(shí)，除二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)外，還須考慮二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例問曲線y

x是否有拐點(diǎn)?33x2解y33x2

y

9x3x2x3x2x時(shí)

y

x時(shí)

y(0,0)為拐點(diǎn)3y3(0,0)為拐點(diǎn)求拐點(diǎn)的步

x0左右兩邊

'(x)(x0,f(x0))為拐點(diǎn)，否則不是拐點(diǎn)4、漸近定義當(dāng)曲線上的動(dòng)點(diǎn)沿曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)與某一條直線的距離趨于0，則稱此直線為曲線的漸近線。y yx4、漸近y分類水平漸近垂直漸近斜漸近 yx4、漸近垂直漸近y

yx

0xx000

f(x)f(x)f(x)f(x)

C或者或者yx

xxxx斜漸近x2yx1limf(x)

且x

f則yax為斜漸近四、曲線作圖步1確定函數(shù)的定義域,間斷點(diǎn)奇偶性及周期性2求出函數(shù)的漸3求

內(nèi)的全部實(shí)根以及

x,用這些值把定義域分成幾個(gè)區(qū)間4確定這些區(qū)間內(nèi)

x和

x的符號,并由此確的升降,凹凸極值點(diǎn)和拐點(diǎn)作圖步5算出

x,

x等于零及不存在的x值所對應(yīng)的函數(shù)值6把上面的結(jié)果按自變量由小到大的順序列成一個(gè)表格7按表描點(diǎn)并連成相應(yīng)的曲線(必要時(shí)增加適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)例作出函數(shù)yx2x例作出函數(shù)yx2x12求出函數(shù)的漸解:定義域?yàn)? -

f(x)f(x)

垂直漸近

f(x)

x

x1

x 1lim(

(x)x)

x

x

x1

y

1為斜漸近線例例作出函數(shù)yx2x13求

內(nèi)的全部實(shí)根以及

x,用這些值把定義域分成幾個(gè)區(qū)間y'

x(x

2),y' (x (xx1

x3

y'、

'

0.y(-

-y

x(x2),y 4確定這些

(x

(x的升降,凹凸極值點(diǎn)和拐點(diǎn)x(,(2,0002y0曲增極減減極增線凸凸凸凹凹凹x2xyx1函數(shù)圖形描繪小是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜 y

凸單(x 單 凹 值 法則定理70型,01當(dāng)xa時(shí)函數(shù) 2在a存在且gxf