高等數(shù)學微積分不定積分(專題)課件

微分與積分——微分是導數(shù)的變型運算——積分是微分的逆運算12/3/2022不定積分馮國臣微分與積分——微分是導數(shù)的變型運算12/2/2022不定積分例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念12/3/2022不定積分馮國臣例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念12/2/2022不定積分原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)必然有原函數(shù).問題：(1)原函數(shù)是否唯一？(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？12/3/2022不定積分馮國臣原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)必然有原函數(shù).問題：(1)關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若，則對于任意常數(shù)，（2）若和都是的原函數(shù)則（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）12/3/2022不定積分馮國臣關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分的定義：——不定積分就是原函數(shù)族被積表達式積分變量12/3/2022不定積分馮國臣任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分的定義：——不定積分就是原函例1求解解例2求12/3/2022不定積分馮國臣例1求解解例2求12/2/2022不定積分馮國例3設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為12/3/2022不定積分馮國臣例3設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運算與求不定積分的運算是互逆的.12/3/2022不定積分馮國臣顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論實例啟示能否根據(jù)求導公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式.二、基本積分表12/3/2022不定積分馮國臣實例啟示能否根據(jù)求導公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運算和微分基本積分表是常數(shù));說明：簡寫為12/3/2022不定積分馮國臣基本積分表是常數(shù));說明：簡寫為12/2/2022不定積分12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣例4求積分解根據(jù)積分公式（2）12/3/2022不定積分馮國臣例4求積分解根據(jù)積分公式（2）12/2/2022不定積證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、不定積分的性質(zhì)12/3/2022不定積分馮國臣證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、不定例5求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例5求積分解12/2/2022不定積分馮國臣例6求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例6求積分解12/2/2022不定積分馮國臣例7求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例7求積分解12/2/2022不定積分馮國臣例8求積分解說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表.12/3/2022不定積分馮國臣例8求積分解說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變解所求曲線方程為12/3/2022不定積分馮國臣解所求曲線方程為12/2/2022不定積分馮國臣基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)12/3/2022不定積分馮國臣基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)原函數(shù)的概念：不定積分的概念思考題符號函數(shù)在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？12/3/2022不定積分馮國臣思考題符號函數(shù)在內(nèi)是否思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯誤所以在內(nèi)不存在原函數(shù).結(jié)論每一個含有第一類間斷點的函數(shù)都沒有原函數(shù).12/3/2022不定積分馮國臣思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯誤所以問題？解決方法利用復合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令一、第一類換元法12/3/2022不定積分馮國臣問題？解決方法利用復合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令一、第一類換在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理12/3/2022不定積分馮國臣在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理12/2/2第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察重點不同，所得結(jié)論不同.定理112/3/2022不定積分馮國臣第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察例1求解（一）解（二）解（三）12/3/2022不定積分馮國臣例1求解（一）解（二）解（三）12/2/2022不定例2求解一般地12/3/2022不定積分馮國臣例2求解一般地12/2/2022不定積分馮國臣例3求解12/3/2022不定積分馮國臣例3求解12/2/2022不定積分馮國臣例4求解12/3/2022不定積分馮國臣例4求解12/2/2022不定積分馮國臣例5求解12/3/2022不定積分馮國臣例5求解12/2/2022不定積分馮國臣例6求解12/3/2022不定積分馮國臣例6求解12/2/2022不定積分馮國臣例7求解12/3/2022不定積分馮國臣例7求解12/2/2022不定積分馮國臣例8求解12/3/2022不定積分馮國臣例8求解12/2/2022不定積分馮國臣例9求原式12/3/2022不定積分馮國臣例9求原式12/2/2022不定積分馮國臣例10求解12/3/2022不定積分馮國臣例10求解12/2/2022不定積分馮國臣例11求解說明當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分.12/3/2022不定積分馮國臣例11求解說明當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊例12求解12/3/2022不定積分馮國臣例12求解12/2/2022不定積分馮國臣例13求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）12/3/2022不定積分馮國臣例13求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）12/2/2解（二）類似地可推出12/3/2022不定積分馮國臣解（二）類似地可推出12/2/2022不定積分馮國臣解例14設(shè)求.令12/3/2022不定積分馮國臣解例14設(shè)例15求解12/3/2022不定積分馮國臣例15求解12/2/2022不定積分馮國臣問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程令（應用“湊微分”即可求出結(jié)果）12/3/2022不定積分馮國臣問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程令（應用“湊微分”即證設(shè)為的原函數(shù),令則則有換元公式定理212/3/2022不定積分馮國臣證設(shè)為第二類積分換元公式12/3/2022不定積分馮國臣第二類積分換元公式12/2/2022不定積分馮國臣例16求解令12/3/2022不定積分馮國臣例16求解令12/2/2022不定積分馮國臣回顧：第一類換元公式（湊微分法）第二類積分換元公式12/3/2022不定積分馮國臣回顧：第一類換元公式（湊微分法）第二類積分換元公式12/2/例17求解令12/3/2022不定積分馮國臣例17求解令12/2/2022不定積分馮國臣例18求解令12/3/2022不定積分馮國臣例18求解令12/2/2022不定積分馮國臣說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有可令可令可令12/3/2022不定積分馮國臣說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉說明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式例中,令12/3/2022不定積分馮國臣說明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.說明(3)例19求（三角代換很繁瑣）令解12/3/2022不定積分馮國臣積分中為了化掉根式是否一定采用三例20求解令12/3/2022不定積分馮國臣例20求解令12/2/2022不定積分馮國臣說明(4)當分母的階較高時,可采用倒代換例21求令解12/3/2022不定積分馮國臣說明(4)當分母的階較高時,可采用倒代換例21求令解例22求解令（分母的階較高）12/3/2022不定積分馮國臣例22求解令（分母的階較高）12/2/2022不定積分12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣說明(5)當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例23求解令12/3/2022不定積分馮國臣說明(5)當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣基本積分表12/3/2022不定積分馮國臣基本積分表12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣三、小結(jié)兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根式代換基本積分表(2)12/3/2022不定積分馮國臣三、小結(jié)兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、思考題求積分12/3/2022不定積分馮國臣思考題求積分12/2/2022不定積分馮國臣思考題解答12/3/2022不定積分馮國臣思考題解答12/2/2022不定積分馮國臣問題解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.分部積分公式一、基本內(nèi)容12/3/2022不定積分馮國臣問題解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.分部積分公式一、基本例1求積分解（一）令顯然，選擇不當，積分更難進行.解（二）令12/3/2022不定積分馮國臣例1求積分解（一）令顯然，選擇不當，積例2求積分解（再次使用分部積分法）總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))12/3/2022不定積分馮國臣例2求積分解（再次使用分部積分法）總結(jié)例3求積分解令12/3/2022不定積分馮國臣例3求積分解令12/2/2022不定積分馮國臣例4求積分解總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.12/3/2022不定積分馮國臣例4求積分解總結(jié)若被積函數(shù)是例5求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例5求積分解12/2/2022不定積分馮國臣例6求積分解注意循環(huán)形式12/3/2022不定積分馮國臣例6求積分解注意循環(huán)形式12/2/2022不定積分例7求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例7求積分解12/2/2022不定積分馮國臣令12/3/2022不定積分馮國臣令12/2/2022不定積分馮國臣解兩邊同時對求導,得12/3/2022不定積分馮國臣解兩邊同時對求導,得12/2/2022不定積分馮國合理選擇，正確使用分部積分公式二、小結(jié)12/3/2022不定積分馮國臣合理選擇，正確使用分部積分公式二、小結(jié)思考題在接連幾次應用分部積分公式時，應注意什么？12/3/2022不定積分馮國臣思考題在接連幾次應用分部積分公式時，應注思考題解答注意前后幾次所選的應為同類型函數(shù).例第一次時若選第二次時仍應選12/3/2022不定積分馮國臣思考題解答注意前后幾次所選的應為同類型函數(shù).例第一次有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.一、有理函數(shù)的積分12/3/2022不定積分馮國臣有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.一、有理函數(shù)的假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例難點將有理函數(shù)化為部分分式之和.12/3/2022不定積分馮國臣假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為12/3/2022不定積分馮國臣（1）分母中若有因式，則分解后（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為12/3/2022不定積分馮國臣（2）分母中若有因式真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例112/3/2022不定積分馮國臣真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例112/2/2022不定代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例212/3/2022不定積分馮國臣代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例21例3整理得12/3/2022不定積分馮國臣例3整理得12/2/2022不定積分馮國臣例4求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例4求積分解12/2/2022不定積分馮國臣例5求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例5求積分解12/2/2022不定積分馮國臣例6求積分解令12/3/2022不定積分馮國臣例6求積分解令12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；討論積分令12/3/2022不定積分馮國臣說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；討則記12/3/2022不定積分馮國臣則記12/2/2022不定積分馮國臣這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).12/3/2022不定積分馮國臣這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的三角有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分12/3/2022不定積分馮國臣三角有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算令（萬能置換公式）12/3/2022不定積分馮國臣令（萬能置換公式）12/2/2022不定積分馮國臣例7求積分解由萬能置換公式12/3/2022不定積分馮國臣例7求積分解由萬能置換公式12/2/2022不定積分馮12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣例8求積分解（一）12/3/2022不定積分馮國臣例8求積分解（一）12/2/2022不定積分馮國臣解（二）修改萬能置換公式,令12/3/2022不定積分馮國臣解（二）修改萬能置換公式,令12/2/2022不定積分馮國解（三）可以不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.12/3/2022不定積分馮國臣解（三）可以不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬例9求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例9求積分解12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣討論類型解決方法作代換去掉根號.例10求積分解令三、簡單無理函數(shù)的積分12/3/2022不定積分馮國臣討論類型解決方法作代換去掉根號.例10求積分解12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣例11求積分解令說明無理函數(shù)去根號時,取根指數(shù)的最小公倍數(shù).12/3/2022不定積分馮國臣例11求積分解令說明無理函數(shù)去根號時,取根例12求積分解先對分母進行有理化原式12/3/2022不定積分馮國臣例12求積分解先對分母進行有理化原式12/2/2022不簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）四、小結(jié)12/3/2022不定積分馮國臣簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必思考題將分式分解成部分分式之和時應注意什么？12/3/2022不定積分馮國臣思考題將分式分解成部分分式之和時應注意什么？12/2/202思考題解答分解后的部分分式必須是最簡分式.12/3/2022不定積分馮國臣思考題解答分解后的部分分式必須是最簡分式.12/2/2022（1）常用積分公式匯集成的表稱為積分表.（2）積分表是按照被積函數(shù)的類型來排列的.（4）積分表見《高等數(shù)學》（四版）上冊（同濟大學數(shù)學教研室主編）第452頁．（3）求積分時，可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接或經(jīng)過簡單變形后，查得所需結(jié)果.一、關(guān)于積分表的說明12/3/2022不定積分馮國臣（1）常用積分公式匯集成的表稱為積分表.（2）積分表是按照被例1求被積函數(shù)中含有在積分表（一）中查得公式（7）現(xiàn)在于是二、例題12/3/2022不定積分馮國臣例1求被積函數(shù)中含有在積分表（一）中查得公式（7）現(xiàn)在例2求被積函數(shù)中含有三角函數(shù)在積分表（十一）中查得此類公式有兩個選公式（105）將代入得12/3/2022不定積分馮國臣例2求被積函數(shù)中含有三角函數(shù)在積分表（十一）中查得此類例3求表中不能直接查出,需先進行變量代換.令被積函數(shù)中含有12/3/2022不定積分馮國臣例3求表中不能直接查出,需先進行變量代換.令被積函數(shù)在積分表（六）中查得公式（37）將代入得12/3/2022不定積分馮國臣在積分表（六）中查得公式（37）將例4求在積分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使正弦的冪次減少兩次,重復使用可使正弦的冪次繼續(xù)減少,直到求出結(jié)果.這個公式叫遞推公式.現(xiàn)在于是12/3/2022不定積分馮國臣例4求在積分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使對積分使用公式（93）12/3/2022不定積分馮國臣對積分使用公式（93）1說明初等函數(shù)在其定義域內(nèi)原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù).例12/3/2022不定積分馮國臣說明初等函數(shù)在其定義域內(nèi)原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初積分法原函數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部積分法不定積分幾種特殊類型函數(shù)的積分一、主要內(nèi)容12/3/2022不定積分馮國臣積分法原函數(shù)選基第一換元法直接分部不定積分幾1、原函數(shù)定義原函數(shù)存在定理即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．12/3/2022不定積分馮國臣1、原函數(shù)定義原函數(shù)存在定理即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．12/2、不定積分(1)定義12/3/2022不定積分馮國臣2、不定積分(1)定義12/2/2022不定積分馮國臣(2)微分運算與求不定積分的運算是互逆的.(3)不定積分的性質(zhì)12/3/2022不定積分馮國臣(2)微分運算與求不定積分的運算是互逆的.(3)不定積分3、基本積分表是常數(shù))12/3/2022不定積分馮國臣3、基本積分表是常數(shù))12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣5、第一類換元法4、直接積分法第一類換元公式（湊微分法）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法.12/3/2022不定積分馮國臣5、第一類換元法4、直接積分法第一類換元公式（湊微分法）由定常見類型:12/3/2022不定積分馮國臣常見類型:12/2/2022不定積分馮國臣6、第二類換元法第二類換元公式12/3/2022不定積分馮國臣6、第二類換元法第二類換元公式12/2/2022不定積分馮常用代換:12/3/2022不定積分馮國臣常用代換:12/2/2022不定積分馮國臣7、分部積分法分部積分公式8.選擇u的有效方法:LIATE選擇法L----對數(shù)函數(shù)；I----反三角函數(shù)；A----代數(shù)函數(shù)；T----三角函數(shù)；E----指數(shù)函數(shù)；

哪個在前哪個選作u.12/3/2022不定積分馮國臣7、分部積分法分部積分公式8.選擇u的有效方法:LIATE選9、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分定義兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法12/3/2022不定積分馮國臣9、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分定義兩個多項式四種類型分式的不定積分此兩積分都可積,后者有遞推公式12/3/2022不定積分馮國臣四種類型分式的不定積分此兩積分都可積,后者有遞推公式12/2令（2）三角函數(shù)有理式的積分定義由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為12/3/2022不定積分馮國臣令（2）三角函數(shù)有理式的積分定義由三角函數(shù)（3）簡單無理函數(shù)的積分討論類型：解決方法：作代換去掉根號．12/3/2022不定積分馮國臣（3）簡單無理函數(shù)的積分討論類型：解決方法：作代換去掉根號二、典型例題例1解12/3/2022不定積分馮國臣二、典型例題例1解12/2/2022不定積分馮國臣例2解12/3/2022不定積分馮國臣例2解12/2/2022不定積分馮國臣例3解12/3/2022不定積分馮國臣例3解12/2/2022不定積分馮國臣例4解(倒代換)12/3/2022不定積分馮國臣例4解(倒代換)12/2/2022不定積分馮國臣例5解12/3/2022不定積分馮國臣例5解12/2/2022不定積分馮國臣解得12/3/2022不定積分馮國臣解得12/2/2022不定積分馮國臣例6解12/3/2022不定積分馮國臣例6解12/2/2022不定積分馮國臣例7解12/3/2022不定積分馮國臣例7解12/2/2022不定積分馮國臣例8解12/3/2022不定積分馮國臣例8解12/2/2022不定積分馮國臣例9解12/3/2022不定積分馮國臣例9解12/2/2022不定積分馮國臣例10解12/3/2022不定積分馮國臣例10解12/2/2022不定積分馮國臣例11解12/3/2022不定積分馮國臣例11解12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣測驗題12/3/2022不定積分馮國臣測驗題12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣測驗題答案12/3/2022不定積分馮國臣測驗題答案12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣微分與積分——微分是導數(shù)的變型運算——積分是微分的逆運算12/3/2022不定積分馮國臣微分與積分——微分是導數(shù)的變型運算12/2/2022不定積分例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念12/3/2022不定積分馮國臣例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念12/2/2022不定積分原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)必然有原函數(shù).問題：(1)原函數(shù)是否唯一？(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？12/3/2022不定積分馮國臣原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)必然有原函數(shù).問題：(1)關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若，則對于任意常數(shù)，（2）若和都是的原函數(shù)則（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）12/3/2022不定積分馮國臣關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分的定義：——不定積分就是原函數(shù)族被積表達式積分變量12/3/2022不定積分馮國臣任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分的定義：——不定積分就是原函例1求解解例2求12/3/2022不定積分馮國臣例1求解解例2求12/2/2022不定積分馮國例3設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為12/3/2022不定積分馮國臣例3設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運算與求不定積分的運算是互逆的.12/3/2022不定積分馮國臣顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論實例啟示能否根據(jù)求導公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式.二、基本積分表12/3/2022不定積分馮國臣實例啟示能否根據(jù)求導公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運算和微分基本積分表是常數(shù));說明：簡寫為12/3/2022不定積分馮國臣基本積分表是常數(shù));說明：簡寫為12/2/2022不定積分12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣例4求積分解根據(jù)積分公式（2）12/3/2022不定積分馮國臣例4求積分解根據(jù)積分公式（2）12/2/2022不定積證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、不定積分的性質(zhì)12/3/2022不定積分馮國臣證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、不定例5求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例5求積分解12/2/2022不定積分馮國臣例6求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例6求積分解12/2/2022不定積分馮國臣例7求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例7求積分解12/2/2022不定積分馮國臣例8求積分解說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表.12/3/2022不定積分馮國臣例8求積分解說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變解所求曲線方程為12/3/2022不定積分馮國臣解所求曲線方程為12/2/2022不定積分馮國臣基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)12/3/2022不定積分馮國臣基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)原函數(shù)的概念：不定積分的概念思考題符號函數(shù)在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？12/3/2022不定積分馮國臣思考題符號函數(shù)在內(nèi)是否思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯誤所以在內(nèi)不存在原函數(shù).結(jié)論每一個含有第一類間斷點的函數(shù)都沒有原函數(shù).12/3/2022不定積分馮國臣思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯誤所以問題？解決方法利用復合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令一、第一類換元法12/3/2022不定積分馮國臣問題？解決方法利用復合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令一、第一類換在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理12/3/2022不定積分馮國臣在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理12/2/2第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察重點不同，所得結(jié)論不同.定理112/3/2022不定積分馮國臣第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察例1求解（一）解（二）解（三）12/3/2022不定積分馮國臣例1求解（一）解（二）解（三）12/2/2022不定例2求解一般地12/3/2022不定積分馮國臣例2求解一般地12/2/2022不定積分馮國臣例3求解12/3/2022不定積分馮國臣例3求解12/2/2022不定積分馮國臣例4求解12/3/2022不定積分馮國臣例4求解12/2/2022不定積分馮國臣例5求解12/3/2022不定積分馮國臣例5求解12/2/2022不定積分馮國臣例6求解12/3/2022不定積分馮國臣例6求解12/2/2022不定積分馮國臣例7求解12/3/2022不定積分馮國臣例7求解12/2/2022不定積分馮國臣例8求解12/3/2022不定積分馮國臣例8求解12/2/2022不定積分馮國臣例9求原式12/3/2022不定積分馮國臣例9求原式12/2/2022不定積分馮國臣例10求解12/3/2022不定積分馮國臣例10求解12/2/2022不定積分馮國臣例11求解說明當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分.12/3/2022不定積分馮國臣例11求解說明當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊例12求解12/3/2022不定積分馮國臣例12求解12/2/2022不定積分馮國臣例13求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）12/3/2022不定積分馮國臣例13求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）12/2/2解（二）類似地可推出12/3/2022不定積分馮國臣解（二）類似地可推出12/2/2022不定積分馮國臣解例14設(shè)求.令12/3/2022不定積分馮國臣解例14設(shè)例15求解12/3/2022不定積分馮國臣例15求解12/2/2022不定積分馮國臣問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程令（應用“湊微分”即可求出結(jié)果）12/3/2022不定積分馮國臣問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程令（應用“湊微分”即證設(shè)為的原函數(shù),令則則有換元公式定理212/3/2022不定積分馮國臣證設(shè)為第二類積分換元公式12/3/2022不定積分馮國臣第二類積分換元公式12/2/2022不定積分馮國臣例16求解令12/3/2022不定積分馮國臣例16求解令12/2/2022不定積分馮國臣回顧：第一類換元公式（湊微分法）第二類積分換元公式12/3/2022不定積分馮國臣回顧：第一類換元公式（湊微分法）第二類積分換元公式12/2/例17求解令12/3/2022不定積分馮國臣例17求解令12/2/2022不定積分馮國臣例18求解令12/3/2022不定積分馮國臣例18求解令12/2/2022不定積分馮國臣說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有可令可令可令12/3/2022不定積分馮國臣說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉說明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式例中,令12/3/2022不定積分馮國臣說明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.說明(3)例19求（三角代換很繁瑣）令解12/3/2022不定積分馮國臣積分中為了化掉根式是否一定采用三例20求解令12/3/2022不定積分馮國臣例20求解令12/2/2022不定積分馮國臣說明(4)當分母的階較高時,可采用倒代換例21求令解12/3/2022不定積分馮國臣說明(4)當分母的階較高時,可采用倒代換例21求令解例22求解令（分母的階較高）12/3/2022不定積分馮國臣例22求解令（分母的階較高）12/2/2022不定積分12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣說明(5)當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例23求解令12/3/2022不定積分馮國臣說明(5)當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣基本積分表12/3/2022不定積分馮國臣基本積分表12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣三、小結(jié)兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根式代換基本積分表(2)12/3/2022不定積分馮國臣三、小結(jié)兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、思考題求積分12/3/2022不定積分馮國臣思考題求積分12/2/2022不定積分馮國臣思考題解答12/3/2022不定積分馮國臣思考題解答12/2/2022不定積分馮國臣問題解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.分部積分公式一、基本內(nèi)容12/3/2022不定積分馮國臣問題解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.分部積分公式一、基本例1求積分解（一）令顯然，選擇不當，積分更難進行.解（二）令12/3/2022不定積分馮國臣例1求積分解（一）令顯然，選擇不當，積例2求積分解（再次使用分部積分法）總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))12/3/2022不定積分馮國臣例2求積分解（再次使用分部積分法）總結(jié)例3求積分解令12/3/2022不定積分馮國臣例3求積分解令12/2/2022不定積分馮國臣例4求積分解總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.12/3/2022不定積分馮國臣例4求積分解總結(jié)若被積函數(shù)是例5求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例5求積分解12/2/2022不定積分馮國臣例6求積分解注意循環(huán)形式12/3/2022不定積分馮國臣例6求積分解注意循環(huán)形式12/2/2022不定積分例7求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例7求積分解12/2/2022不定積分馮國臣令12/3/2022不定積分馮國臣令12/2/2022不定積分馮國臣解兩邊同時對求導,得12/3/2022不定積分馮國臣解兩邊同時對求導,得12/2/2022不定積分馮國合理選擇，正確使用分部積分公式二、小結(jié)12/3/2022不定積分馮國臣合理選擇，正確使用分部積分公式二、小結(jié)思考題在接連幾次應用分部積分公式時，應注意什么？12/3/2022不定積分馮國臣思考題在接連幾次應用分部積分公式時，應注思考題解答注意前后幾次所選的應為同類型函數(shù).例第一次時若選第二次時仍應選12/3/2022不定積分馮國臣思考題解答注意前后幾次所選的應為同類型函數(shù).例第一次有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.一、有理函數(shù)的積分12/3/2022不定積分馮國臣有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.一、有理函數(shù)的假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例難點將有理函數(shù)化為部分分式之和.12/3/2022不定積分馮國臣假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為12/3/2022不定積分馮國臣（1）分母中若有因式，則分解后（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為12/3/2022不定積分馮國臣（2）分母中若有因式真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例112/3/2022不定積分馮國臣真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例112/2/2022不定代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例212/3/2022不定積分馮國臣代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例21例3整理得12/3/2022不定積分馮國臣例3整理得12/2/2022不定積分馮國臣例4求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例4求積分解12/2/2022不定積分馮國臣例5求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例5求積分解12/2/2022不定積分馮國臣例6求積分解令12/3/2022不定積分馮國臣例6求積分解令12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；討論積分令12/3/2022不定積分馮國臣說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；討則記12/3/2022不定積分馮國臣則記12/2/2022不定積分馮國臣這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).12/3/2022不定積分馮國臣這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的三角有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分12/3/2022不定積分馮國臣三角有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算令（萬能置換公式）12/3/2022不定積分馮國臣令（萬能置換公式）12/2/2022不定積分馮國臣例7求積分解由萬能置換公式12/3/2022不定積分馮國臣例7求積分解由萬能置換公式12/2/2022不定積分馮12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣例8求積分解（一）12/3/2022不定積分馮國臣例8求積分解（一）12/2/2022不定積分馮國臣解（二）修改萬能置換公式,令12/3/2022不定積分馮國臣解（二）修改萬能置換公式,令12/2/2022不定積分馮國解（三）可以不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.12/3/2022不定積分馮國臣解（三）可以不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬例9求積分解12/3/2022不定積分馮國臣例9求積分解12/2/2022不定積分馮國臣12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣討論類型解決方法作代換去掉根號.例10求積分解令三、簡單無理函數(shù)的積分12/3/2022不定積分馮國臣討論類型解決方法作代換去掉根號.例10求積分解12/3/2022不定積分馮國臣12/2/2022不定積分馮國臣例11求積分解令說明無理函數(shù)去根號時,取根指數(shù)的最小公倍數(shù).12/3/2022不定積分馮國臣例11求積分解令說明無理函數(shù)去根號時,取根例12求積分解先對分母進行有理化原式12/3/2022不定積分馮國臣例12求積分解先對分母進行有理化原式12/2/2022不簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）四、小結(jié)12/3/2022不定積分馮國臣簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必思考題將分式分解成部分分式之和時應注意什么？12/3/2022不定積分馮國臣思考題將分式分解成部分分式之和時應注意什么？12/2/202思考題解答分解后的部分分式必須是最簡分式.12/3/2022不定積分馮國臣思考題解答分解后的部分分式必須是最簡分式.12/2/2022（1）常用積分公式匯集成的表稱為積分表.（2）積分表是按照被積函數(shù)的類型來排列的.（4）積分表見《高等數(shù)學》（四版）上冊（同濟大學數(shù)學教研室主編）第452頁．（3）求積分時，可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接或經(jīng)過簡單變形后，查得所需結(jié)果.一、關(guān)于積分表的說明12/3/2022不定積分馮國臣（1）常用積分公式匯集成的表稱為積分表.（2）積分表是按照被例1求被積函數(shù)中含有在積分表（一）中查得公式（7）現(xiàn)在于是二、例題12/3/2022不定積分馮國臣例1求被積函數(shù)中含有在積分表（一）中查得公式（7）現(xiàn)在例2求被積函數(shù)中含有三角函數(shù)在積分表（十一）中查得此類公式有兩個選公式（105）將代入得12/3/2022不定積分馮國臣例2求被積函數(shù)中含有三角函數(shù)在積分表（十一）中查得此類例3求表中不能直接查出,需先進行變量代換.令被積函數(shù)中含有12/3/2022不定積分馮國臣例3求表中不能直接查出,需先進行變量代換.令被積函數(shù)在積分表（六）中查得公式（37）將代入得12/3/2022不定積分馮國臣在積分表（六）中查得公式（37）將例4求在積分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使正弦的冪次減少兩次,重復使用可使正弦的冪次繼續(xù)減少,直到求出結(jié)果.這個公式叫遞推公式.現(xiàn)在于是12/3/2022不定積分馮國臣例4求在積分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使對積分使用公式（93）12/3/2022不定積分馮國臣對積分使用公式（93）1說明初等函數(shù)在其定義域內(nèi)原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù).例12/3/2022不定積分馮國臣說明初等函數(shù)在其定義域內(nèi)原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初積分法原函