高中數(shù)學(xué)《橢圓》方程典型例題20例(含標(biāo)準(zhǔn)答案)

例典型例題一例1橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A02分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置．A0為長軸端點(diǎn)時(shí)，2，1，abx2y2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：411；（2）當(dāng)A0為短軸端點(diǎn)時(shí)，2，4，bax2y2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：41；能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況．典型例題二例2一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率．a(chǎn)213解：2c2∴ca，22c13∴．e33說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齊次方程，再化含e的方程，解方程即可．典型例題三例3x軸上的橢圓與直線xy10交于、兩點(diǎn)，ABM為中點(diǎn)，OM的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．x2解：由題意，設(shè)橢圓方程為1，y2a2xy1022由，得1ax2ax0，2x22y12axx1a12∴，y1x，x1221aa2MMM2.11yxk，∴4，2aMM4a2x2∴y1為所求．24題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點(diǎn)、弦斜率問題．典型例題四9x2y2例4橢圓91上不同三點(diǎn)Axy，B，，Cxy與焦點(diǎn)F0的51122距離成等差數(shù)列．（1）求證xx8；12（2）若線段的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為，求直線的斜率．kACT5，3，4．a(chǎn)bcc由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：，a2axc14∴AFaex5x．5114同理∵CF5x．5292，且BF，544∴即5x5x，55512xx8．12yy（2）因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，，所以它的垂直平分線方程為AC122yyxx12yx4．122yy12又∵點(diǎn)T在x軸上，設(shè)其坐標(biāo)為x0，代入上式，得0y2y2x4122xx012.又∵點(diǎn)Axy，Bxy都在橢圓上，112292211y259211212129550典型例題五1，F(xiàn)、F為兩焦點(diǎn)，問能否在橢圓上找一點(diǎn)M，使Mx2y212到左準(zhǔn)線的距離是與的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn)l12標(biāo)；若不存在，請說明理由．111a2，b3，∴1，．ce2121111MFaex2x．2211∵M(jìn)NMFMF，21211222111整理得5x32x480．211.12解之得x4或x．①511另一方面2x2．②1則①與②矛盾，所以滿足條件的點(diǎn)不存在．M說明：（1）利用焦半徑公式解?？珊喕忸}過程．（2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條件進(jìn)行推理和運(yùn)算．進(jìn)而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷．（3）本例也可設(shè)M2cos，3sin典型例題六11例6已知橢圓y1，求過點(diǎn)P，且被平分的弦所在的直線方程．x2P2222分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求．kk11，則直線方程為ykx．代入橢圓k22方程，并整理得1312kx2k2kxkk0．2222222k2k2由韋達(dá)定理得xx．12k1221∵P是弦中點(diǎn)，∴xx1．故得k．212所以所求直線方程為2x4y30．x，y、xy，列關(guān)于x、x、y、y的方程11221212yy組，從而求斜率：．21xx1211P，的直線與橢圓交于Axy、Bxy，則由題意得221122.x2y，①②1221x2y，2222，xx③④12yy1.12x2x22①－②得yy0．⑤122221yy11將③、④代入⑤得，即直線的斜率為．12x22x12所求直線方程為2430．xy說明：（1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡．（2）解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率．（3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”．有關(guān)二次曲線問題也適用．典型例題七例7求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)6；（2）在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為6．x2y22分析：當(dāng)方程有兩種形式時(shí)，應(yīng)分別求解，如（1）題中由1求出a2bx2y2y2x2a2148b211．x2y22y2x21或1．a(chǎn)2ba2b2由已知ab．①又過點(diǎn)6，因此有222662221或1．②a2b2a2b2由①、②，得a148，b或a，b13．故所求的方程為2222.x2y2y2x2x2y（2）設(shè)方程為1．由已知，3，3，所以a2．故所bcca2bx2y21．x2yy2x2焦點(diǎn)的位置是否確定，若不能確定，應(yīng)設(shè)方程a2ba2b2典型例題八1的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)A，3，點(diǎn)x2y2FM2為最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．121e1a4，c2．所以e，右準(zhǔn)線2A2．顯然2的最小值為，即M為所求點(diǎn)，因此y3，且M在橢圓上．故Mx23．所以M2，3．M說明：本題關(guān)鍵在于未知式2中的“2”的處理．事實(shí)上，如圖，1e，即是M到右準(zhǔn)線的距離的一半，即圖中的，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓2上一點(diǎn)M，使M到A的距離與到右準(zhǔn)線距離之和取最小值．典型例題九x2y23.出距離的最小值．x3，解：橢圓的參數(shù)方程為設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為3cossin，ysin.則點(diǎn)到直線的距離為2sin63cossin63d．22當(dāng)1時(shí)，d22．3最小值說明：當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問題時(shí)，可建立曲線的參數(shù)方程．典型例題十33例10設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率e，已知點(diǎn)P，22到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn)P的距離等于7的點(diǎn)的坐標(biāo)．d的最大值時(shí)，要注意討論b的取值范圍．此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用題，從而加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力．x2y22解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是1，其中ab0待定．a(chǎn)2bc22a2b2b2由e1可得2aa2a2b311e21，即2．a(chǎn)ba42設(shè)橢圓上的點(diǎn)y到點(diǎn)P的距離是d，則3y942213d2x2ya2y2y2b29122b3y3y3yb32224.其中．byb1如果b，則當(dāng)時(shí)，d（從而）有最大值．yb2d23231，由此得b7，與b矛盾．2212由題設(shè)得72b211因此必有b成立，于是當(dāng)y時(shí)，d（從而）有最大值．2d22由題設(shè)得7243，可得1，2．b2bax2y2∴所求橢圓方程是411．111由y及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)到2223點(diǎn)P，的距離是7．2cosxa0，abybsin待定，0，為參數(shù)．2c22a2b2b由1可得e2aa2aba311e21，即2．a(chǎn)b423設(shè)橢圓上的點(diǎn)y到點(diǎn)P，的距離為，則d23322d2x2ya2cos2bsin229bbsinbsin222412bsinb322b11如果1，即b，則當(dāng)sin1時(shí)，d（從而d）有最大值．2b2.3231，由此得b7，與b矛盾，因此必有2212由題設(shè)得72b211成立．b1于是當(dāng)sin時(shí)d2（從而）有最大值．db由題設(shè)知7243，∴1，2．b2ba2cosx∴所求橢圓的參數(shù)方程是．ysin1311由sin，，可得橢圓上的是，．2222典型例題十一例11設(shè)x，yR，2x3y6x，求xy2x的最大值和最小值．2222分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程2x3y6x與橢圓方程的22結(jié)構(gòu)一致．設(shè)xy2xm，顯然它表示一個(gè)圓，由此可以畫出圖形，考慮橢22圓及圓的位置關(guān)系求得最值．解：由2x3y6x，得22322xy2193423可見它表示一個(gè)橢圓，其中心在0點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過（0，0）點(diǎn)2和（3，0）點(diǎn)．設(shè)xy2xm，則22x12y2m1它表示一個(gè)圓，其圓心為（－1，0）半徑為m1m1．在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示．觀察圖形可知，當(dāng)圓過（0，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最小，即11，此時(shí)m0；當(dāng)圓過（3，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最大，m.即m14，∴15．m∴xy2x的最小值為0，最大值為15．22典型例題十二x2y例12已知橢圓C：1ab0，、是其長軸的兩個(gè)端點(diǎn)．ABa2b（1）過一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于長軸的弦，求證：不論a、如何變化，F(xiàn)b120．（2）如果橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)Q，使AQB120，求的離心率e的取值范C和的正切值出發(fā)做出去列出離心率e滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：xa，yb，根據(jù)a2AQB120得到3，將xay代入，消去x，用a、、b222x222b2c表示y，以便利用yb列出不等式．這里要求思路清楚，計(jì)算準(zhǔn)確，一氣呵22x22y22b2b2b2k.∵是到的角．b2b2acaaca2a2∴tanAPBb4c21a2c2a2∵ac22∴tanAPB2故tanAPB3∴．yy（2）設(shè)Qy，則kQA，kQB．xaxa由于對稱性，不妨設(shè)0，于是是到的角．yyy2ayyaxaxa∴tanAQBy2x2221x2a22ya∵AQB120，∴3x2222整理得3xya2ay022a2∵xay222b2a2∴31y2ay02b222c2∵y0，∴y22∵yb，∴bc22abc，4aacc22222∴c4ac4a0，ee4042244236∴e2或e2e1．223.典型例題十三x2y21例13已知橢圓1的離心率e，求的值．kk89分析：分兩種情況進(jìn)行討論．解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，ak8，b9，得ck1．由e，212222得4．k當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a9，bk8，得c1k．22211k15由e，得，即k．29445∴滿足條件的k4或k．48與9的大小關(guān)系不定，k所以橢圓的焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上．故必須進(jìn)行討論．典型例題十四x2y22例14已知橢圓準(zhǔn)線的距離．分析：利用橢圓的兩個(gè)定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解．1上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為b，求到左PbPbb22x2y223解法一：由1，得ab，cb，e．bb22由橢圓定義，2ab，得12bbbb．12PF由橢圓第二定義，eP，d為到左準(zhǔn)線的距離，11d1∴b23，d11e即P到左準(zhǔn)線的距離為23．bPFc3解法二：∵e，d為P到右準(zhǔn)線的距離，，2e22da2233∴db．22e.283a又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為2b．c383233∴到左準(zhǔn)線的距離為Pbb2b．3說明：運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性．否則就會(huì)產(chǎn)生誤解．如．一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義．典型例題十五4,x例15設(shè)橢圓y23sin.(為參數(shù))上一點(diǎn)與x軸正向所成角POx，P3求點(diǎn)坐標(biāo)．P分析：利用參數(shù)與POx之間的關(guān)系求解．解：設(shè)P(4cos,23sin)，由與x軸正向所成角為，P323∴，即tan2．345255而sin0，cos0，由此得到，，5454,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為()．55典型例題十六x2y22例16設(shè)P(x,y)是離心率為e的橢圓1(ab0)上的一點(diǎn)，到左P00a2b焦點(diǎn)F和右焦點(diǎn)F的距離分別為r和r，求證：raex，raex．12121020分析：本題考查橢圓的兩個(gè)定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離．.a2a2解：點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線lx的距離，x，Pc0c∴rea，由橢圓第一定義，r2araex．10210的有關(guān)問題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用．請寫出橢圓焦點(diǎn)在y軸上的焦半徑公式．典型例題十七x2y2例17已知橢圓9512點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)．(1)求的最大值、最小值及對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)；P13(2)求PAPF的最小值及對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．22(1)如上圖，2a6，F(xiàn)(2,0)，2，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，由22.2a61222∴2a621122222時(shí)成立，此時(shí)、、F共線．PA2由，∴2a62，2211222222A222915P(71412PP112取最大值62．2223PF，2，∴e．由橢圓第二定義知3PQ3223∴PAPFPAPQ，要使其和最小需有A、P、Q共線，即求A到右準(zhǔn)229線距離．右準(zhǔn)線方程為x．27265,1)．51PAPFA向相應(yīng)準(zhǔn)線作e2.垂線段．巧用焦點(diǎn)半徑與點(diǎn)準(zhǔn)距互化是解決有關(guān)問題的重要手段．2典型例題十八x2y2例18(1)寫出橢圓941的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積．常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題．3cosx解：(1)()．Ry2sin(2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為x軸和yS軸，設(shè)cos,2sin)為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，(0)，2則43cos2sin12sin12S故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12．說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便．典型例題十九例19已知F，F(xiàn)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且F60．P1212(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證F的面積與橢圓短軸長有關(guān)．12分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為x22y221（0P(x,y)（y0abab111思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線的夾角公式，即KKPFtan603，設(shè)P(x,y)，F(xiàn)(c,，F(xiàn)(c,，化簡可得PF211KK11122PF1x2y23x3y2cyc0．又1，兩方程聯(lián)立消去x得222211111a2b21cybcyb0，由y(0,b]，可以確定離心率的取值范圍；解出y22241111可以求出F的面積，但這一過程很繁．12思路二：利用焦半徑公式a，a，在F中運(yùn)用余112112.弦定理，求x，再利用x[a,a]，可以確定離心率e的取值范圍，將x代入橢111圓方程中求y，便可求出F的面積．112思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合2a求解．12x22y22解：(法1)設(shè)橢圓方程為1（0P(x,y)，F(xiàn)(c,，abab111F(c,，c20，則a，a．1121在F中，由余弦定理得121(aex)(aex)4c222cos60，1122(aex)(aex)114ca22解得x．2e21(1)∵x(0,a]，2214ca22∴0a，即4ca0．222e2c1∴e．a(chǎn)21故橢圓離心率的取范圍是e[,1)．24ca2xy222(2)將代入1得x2e2a2b21b4b2y12，即y．c2c111b23∴2FFy．b2Sc22c3PFF1212即F的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)．12(法2)設(shè)m，n，F(xiàn)，F(xiàn)，122112則．.(1)在F中，由正弦定理得12mn2c．60mnc∴