第1章期望效用函數(shù)理論與單期定價(jià)模型課件

數(shù)理金融第1章期望效用函數(shù)理論

與單期定價(jià)模型數(shù)理金融第1章期望效用函數(shù)理論第1章期望效用函數(shù)理論與單期定價(jià)模型1.期望效用函數(shù)理論2.投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好和風(fēng)險(xiǎn)度量3.單期定價(jià)模型本章內(nèi)容概覽第1章期望效用函數(shù)理論與單期定價(jià)模型1.期望效用函數(shù)理論21.1序數(shù)效用函數(shù)1.1.1偏好關(guān)系1.1序數(shù)效用函數(shù)1.1.1偏好關(guān)系1.1.1偏好關(guān)系1.1.1偏好關(guān)系1.1.2字典序例如：設(shè)選擇集1.1.2字典序例如：設(shè)選擇集1.1.2字典序問題驗(yàn)證上述的二元關(guān)系是否是一偏好關(guān)系？1.1.2字典序問題驗(yàn)證上述的二元關(guān)系是否是一偏好關(guān)系？1.1.2字典序1.1.2字典序1.1.2字典序1.1.2字典序1.1.3效用函數(shù)效用函數(shù)定義1.1.3效用函數(shù)效用函數(shù)定義1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)1（序保持性）1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)1（序保持性）證明字典序具有性質(zhì)1必要性證明字典序具有性質(zhì)1必要性證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性因此證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性因此證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性則根據(jù)向量運(yùn)算法則證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性則根據(jù)向量運(yùn)算法則證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）充分性根據(jù)字典序的定義，可能有以下兩種情況證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）充分性根據(jù)字典序的定義，可能有以證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）充分性故證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）充分性故1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)2（中值性）1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)2（中值性）證明字典序不具有性質(zhì)2根據(jù)字典序定義，我們有證明字典序不具有性質(zhì)2根據(jù)字典序定義，我們有證明字典序不具有性質(zhì)2（續(xù)）這說明字典序不具有性質(zhì)2。證明字典序不具有性質(zhì)2（續(xù)）這說明字典序不具有性質(zhì)2。1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)3（有界性）1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)3（有界性）1.1.5序數(shù)效用函數(shù)存在定理定理1.11.1.5序數(shù)效用函數(shù)存在定理定理1.1序數(shù)效用函數(shù)存在定理證明由性質(zhì)3，此時(shí)定理顯然成立。因?yàn)锽存在偏好關(guān)系，只有3種情況：序數(shù)效用函數(shù)存在定理證明由性質(zhì)3，此時(shí)定理顯然成立。因?yàn)锽存序數(shù)效用函數(shù)定理證明序數(shù)效用函數(shù)定理證明必要性必要性第1章期望效用函數(shù)理論與單期定價(jià)模型課件由性質(zhì)1（序保持性），由性質(zhì)1（序保持性），充分性由保序性，充分性由保序性，充分性此時(shí)由U的定義，由性質(zhì)1充分性此時(shí)由U的定義，由性質(zhì)1必要性若不然，由結(jié)論1，必要性若不然，由結(jié)論1，充分性充分性說明設(shè)U是效用函數(shù)，注1序數(shù)效用函數(shù)不是唯一的，但是都具有如下性質(zhì)：說明設(shè)U是效用函數(shù)，注1序數(shù)效用函數(shù)不是唯一的，但是都具有如說明注2在字典序上不存在與字典序相一致的效用函數(shù)。注3說明注2在字典序上不存在與字典序相一致的效用函數(shù)。注3利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3（續(xù)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3（續(xù)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3（續(xù)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3（續(xù)）1.2期望效用函數(shù)1.2期望效用函數(shù)引言在1.1節(jié)中，我們討論了當(dāng)選擇對象是確定的，且滿足偏好關(guān)系的三條性質(zhì)（序保持性、中值性和有界性）的條件下，序數(shù)效用函數(shù)的存在性定理。本節(jié)將把效用概念推廣到選擇對象包含不確定（風(fēng)險(xiǎn)）的情形。假設(shè)投資者在形如下面的“彩票”中選擇，收益（盈利或獎金數(shù)額）用表示，對應(yīng)的概率為引言在1.1節(jié)中，我們討論了當(dāng)選擇對象是確定的，且滿足偏好關(guān)1.2.1彩票及其運(yùn)算彩票概念：隨機(jī)變量的概率分布可用向量表示為1.2.1彩票及其運(yùn)算彩票概念：隨機(jī)變量的概率分布可用向量1.2.1彩票及其運(yùn)算結(jié)論1.2.1彩票及其運(yùn)算結(jié)論1.2.1彩票及其運(yùn)算性質(zhì)定義復(fù)合性抽彩為：可以證明1.2.1彩票及其運(yùn)算性質(zhì)定義復(fù)合性抽彩為：可以證明1.2.1彩票及其運(yùn)算性質(zhì)則1.2.1彩票及其運(yùn)算性質(zhì)則1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系性質(zhì)1（保序性）1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系性質(zhì)1（保序性）1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系性質(zhì)2(中值性)性質(zhì)3(有界性)1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系性質(zhì)2(中值性)性質(zhì)3(有界1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）證明定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）證明定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）證明（續(xù)）由效用函數(shù)的構(gòu)造性定義即證畢。定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）證明（續(xù)）由效用函數(shù)的構(gòu)造定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）（3）的推廣推廣到n個(gè)彩票相加的情形由效用函數(shù)的定義可見，上面定義的效用函數(shù)不唯一。定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）（3）的推廣推廣到n個(gè)彩票1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.11.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.11.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1證明令由定理1.2，效用函數(shù)U滿足定理1.2的性質(zhì)(3)，于是1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1證明令由定理1.21.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1證明續(xù)因此，在不考慮正仿射變換情況下，這一類效用函數(shù)是唯一的，稱它為基數(shù)效用函數(shù)。1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1證明續(xù)因此，在不考1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對離散的有限狀態(tài)這時(shí)把選擇集看成所有輸出的概率分布律組成的集合1.2.4vonNeumann-Morgenstren1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對離散的有限狀態(tài)為方便，定義1.2.4vonNeumann-Morgenstren1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對連續(xù)的狀態(tài)空間1.2.4vonNeumann-Morgenstren1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對連續(xù)的狀態(tài)空間1.2.4vonNeumann-Morgenstren1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對連續(xù)的狀態(tài)空間1.2.4vonNeumann-Morgenstren1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)定理1.31.2.4vonNeumann-Morgenstren1.2.5伯瑞特率問題：假設(shè)資產(chǎn)市場上的所有投資者都具有馮.諾依曼—莫根斯坦效用函數(shù)，但效用函數(shù)的具體形式可以不一樣，是否存在一個(gè)基于效用的度量，它能夠用來對所有具有不同效用的個(gè)體進(jìn)行共同的比較呢？伯瑞特（Pratt）回答了這個(gè)問題。1.2.5伯瑞特率問題：1.2.5伯瑞特率定義假設(shè)投資者具有vonNeumann-Morgenstern效用函數(shù)，給定vonNeumann-Morgenstern效用函數(shù)V(x),1.2.5伯瑞特率定義假設(shè)投資者具有vonNeumann1.2.5伯瑞特率命題1.2證明：1.2.5伯瑞特率命題1.2證明：1.2.5伯瑞特率命題1.2定義為對風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的度量，稱為Arrow-Pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡測度或者絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡。1.2.5伯瑞特率命題1.2定義為對風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的度量，稱1.3投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型及風(fēng)險(xiǎn)度量

1.3投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型及風(fēng)險(xiǎn)度量1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)基本概念1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)基本概念1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)基本概念1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)基本概念1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)例1.11.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)例1.11.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)例1.11.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)例1.11.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和效用函數(shù)之間的關(guān)系由風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的定義等號的左邊寫為1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和效用函數(shù)之間的關(guān)系式（1.3.7）兩邊取期望，得1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和效用函數(shù)之間的關(guān)系1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）稱形如的函數(shù)為雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)。因此是一條雙曲線，因此稱這類函數(shù)為絕對雙曲風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)。1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）稱形如的函數(shù)為雙1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）其風(fēng)險(xiǎn)容忍函數(shù)為（1）當(dāng)r=1時(shí)，則是線性函數(shù)，是風(fēng)險(xiǎn)中性者的效用函數(shù)。是二次效用函數(shù)。一般寫成1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）其風(fēng)險(xiǎn)容忍函數(shù)為1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）是指數(shù)效用函數(shù)。它具有常相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡和遞減絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡。1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）是指數(shù)效用函數(shù)。1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）這是對數(shù)效用函數(shù)，它是等彈性邊際效用函數(shù)1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）這是對數(shù)效用函數(shù)1.4均值方差效用函數(shù)

1.4均值方差效用函數(shù)1.4.1資產(chǎn)的收益率資產(chǎn)收益絕對收益百分比收益1.4.1資產(chǎn)的收益率資產(chǎn)收益絕對收益百分比收益絕對收益概念注：絕對收益是一個(gè)描述收益大小的概念，它不能更合理地比較不同資產(chǎn)收益的大小。絕對收益概念注：絕對收益是一個(gè)描述收益大小的概念，它不能更合百分比收益概念百分比收益概念資產(chǎn)總收益概念注：資產(chǎn)總收益是某一個(gè)時(shí)期從期末到期初的收益，與時(shí)間的跨度有關(guān)。資產(chǎn)總收益概念注：資產(chǎn)總收益是某一個(gè)時(shí)期從期末到期初的收益，年平均收益概念年平均收益概念連續(xù)復(fù)合收益概念連續(xù)復(fù)合收益概念1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)定義1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)定義1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)1.5隨機(jī)占優(yōu)

1.5隨機(jī)占優(yōu)1.5.1隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則（SD準(zhǔn)則）第一類投資者一階隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則第二類投資者二階隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則1.5.1隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則（SD準(zhǔn)則）第一類投資者一階隨機(jī)占優(yōu)1.5.2一階隨機(jī)占優(yōu)定義性質(zhì)1.5.2一階隨機(jī)占優(yōu)定義性質(zhì)定理1.4證明必要性反證法，若不然，由分布函數(shù)的右連續(xù)，定理1.4證明必要性反證法，若不然，由分布函數(shù)的右連續(xù)，定理1.4證明必要性于是定理1.4證明必要性于是定理1.4證明充分性因?yàn)槎ɡ?.4證明充分性因?yàn)?.5.3二階隨機(jī)占優(yōu)定義性質(zhì)1.5.3二階隨機(jī)占優(yōu)定義性質(zhì)定理1.5證明必要性定理1.5證明必要性定理1.5證明-必要性續(xù)1定理1.5證明-必要性續(xù)1于是于是定理1.5充分性證明所以定理1.5充分性證明所以風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系A(chǔ)和B的收益率圖1.3風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系A(chǔ)和B的收益率的密度函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系A(chǔ)和B的收益率圖1.3風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系A(chǔ)和B的收益率的密度1.6單期無套利資產(chǎn)定價(jià)模型

1.6單期無套利資產(chǎn)定價(jià)模型內(nèi)容提要1.6單期無套利資產(chǎn)定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型套利機(jī)會單期確定性定價(jià)模型兩種資產(chǎn)多種資產(chǎn)內(nèi)容提要1.6單期無套利資產(chǎn)定價(jià)模型1.6.1單期確定性1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.套利機(jī)會1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.套利機(jī)會1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型定理1.61.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型定理1.6定理1.6證明因?yàn)槭袌霾淮嬖谔桌麢C(jī)會，所以定理1.6證明因?yàn)槭袌霾淮嬖谔桌麢C(jī)會，所以定理1.6證明續(xù)投資組合的收益率為定理1.6證明續(xù)投資組合的收益率為定理1.6證明續(xù)其中證畢定理1.6證明續(xù)其中證畢1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型單期資產(chǎn)定價(jià)問題：是已知時(shí)刻1資產(chǎn)的價(jià)格，確定時(shí)刻0資產(chǎn)的價(jià)格。1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型單期資產(chǎn)定價(jià)問題：是已知1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型2.單期確定性定價(jià)模型證明1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型2.單期確定性定價(jià)模型證定理1.7套利定價(jià)定理證明定理1.7套利定價(jià)定理證明定理1.7套利定價(jià)定理證明續(xù)定理1.7套利定價(jià)定理證明續(xù)1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型1.兩資產(chǎn)情形1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型1.兩資產(chǎn)情形1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型兩種基本證券構(gòu)造資產(chǎn)組合：則無論是上漲還是下跌，資產(chǎn)組合的價(jià)值都和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格一樣。1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型兩種基本證券構(gòu)造資產(chǎn)組1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型基本證券的定價(jià)公式1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型基本證券的定價(jià)公式基本證券的定價(jià)公式（續(xù)）那么基本證券的定價(jià)公式（續(xù)）那么基本證券的定價(jià)公式（續(xù)）基本證券的定價(jià)公式（續(xù)）基本證券的定價(jià)公式舉例基本證券的定價(jià)公式舉例基本證券的定價(jià)公式舉例（續(xù)）基本證券的定價(jià)公式舉例（續(xù)）1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型2.n種資產(chǎn)情形1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型2.n種資產(chǎn)情形N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型

套利資產(chǎn)組合資產(chǎn)組合稱為套利資產(chǎn)組合，N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型套利資產(chǎn)組合資產(chǎn)組合稱為套N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型無風(fēng)險(xiǎn)投資組合（或稱套期保值資產(chǎn)組合）N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型無風(fēng)險(xiǎn)投資組合（或稱套期保值N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型套利機(jī)會N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型套利機(jī)會離散狀態(tài)下的套利機(jī)會離散狀態(tài)下的套利機(jī)會N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型狀態(tài)價(jià)格向量N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型狀態(tài)價(jià)格向量N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型單期不確定性無套利定價(jià)定理證明略N種資產(chǎn)情形單期不確定性定價(jià)模型單期不確定性無套利定價(jià)定理證離散狀態(tài)資產(chǎn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)離散狀態(tài)資產(chǎn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)離散狀態(tài)資產(chǎn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)離散狀態(tài)資產(chǎn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)定理1.9定理1.91.7單期不確定性均衡定價(jià)模型1.7單期不確定性均衡定價(jià)模型1.7.1均衡定價(jià)與期望效用最大化準(zhǔn)則1.7.1均衡定價(jià)與期望效用最大化準(zhǔn)則1.7.1均衡定價(jià)與期望效用最大化準(zhǔn)則1.7.1均衡定價(jià)與期望效用最大化準(zhǔn)則第1章期望效用函數(shù)理論與單期定價(jià)模型課件1.7.2阿羅——德布魯證券1.7.2阿羅——德布魯證券1.7.2阿羅——德布魯證券1.7.2阿羅——德布魯證券1.7.3多資產(chǎn)有限狀態(tài)情況下的均衡定價(jià)模型1.7.3多資產(chǎn)有限狀態(tài)情況下的均衡定價(jià)模型1.7.3多資產(chǎn)有限狀態(tài)情況下的均衡定價(jià)模型1.7.3多資產(chǎn)有限狀態(tài)情況下的均衡定價(jià)模型1.7.3多資產(chǎn)有限狀態(tài)情況下的均衡定價(jià)模型1.7.3多資產(chǎn)有限狀態(tài)情況下的均衡定價(jià)模型1.7.3多資產(chǎn)有限狀態(tài)情況下的均衡定價(jià)模型1.7.3多資產(chǎn)有限狀態(tài)情況下的均衡定價(jià)模型1.7.3多資產(chǎn)有限狀態(tài)情況下的均衡定價(jià)模型1.7.3多資產(chǎn)有限狀態(tài)情況下的均衡定價(jià)模型1.7.4均衡定價(jià)與無套利定價(jià)1.7.4均衡定價(jià)與無套利定價(jià)1.7.4均衡定價(jià)與無套利定價(jià)1.7.4均衡定價(jià)與無套利定價(jià)1.7.4均衡定價(jià)與無套利定價(jià)1.7.4均衡定價(jià)與無套利定價(jià)1.7.4均衡定價(jià)與無套利定價(jià)1.7.4均衡定價(jià)與無套利定價(jià)1.7.4均衡定價(jià)與無套利定價(jià)1.7.4均衡定價(jià)與無套利定價(jià)1.7.4均衡定價(jià)與無套利定價(jià)1.7.4均衡定價(jià)與無套利定價(jià)第1章結(jié)束第1章結(jié)束人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋?！蓖ㄟ^閱讀科技書籍，我們能豐富知識，培養(yǎng)邏輯思維能力；通過閱讀文學(xué)作品，我們能提高文學(xué)鑒賞水平，培養(yǎng)文學(xué)情趣；通過閱讀報(bào)刊，我們能增長見識，擴(kuò)大自己的知識面。有許多書籍還能培養(yǎng)我們的道德情操，給我們巨大的精神力量，鼓舞我們前進(jìn)。人有了知識，就會具備各種分析能力，第1章期望效用函數(shù)理論與單期定價(jià)模型課件數(shù)理金融第1章期望效用函數(shù)理論

與單期定價(jià)模型數(shù)理金融第1章期望效用函數(shù)理論第1章期望效用函數(shù)理論與單期定價(jià)模型1.期望效用函數(shù)理論2.投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好和風(fēng)險(xiǎn)度量3.單期定價(jià)模型本章內(nèi)容概覽第1章期望效用函數(shù)理論與單期定價(jià)模型1.期望效用函數(shù)理論21.1序數(shù)效用函數(shù)1.1.1偏好關(guān)系1.1序數(shù)效用函數(shù)1.1.1偏好關(guān)系1.1.1偏好關(guān)系1.1.1偏好關(guān)系1.1.2字典序例如：設(shè)選擇集1.1.2字典序例如：設(shè)選擇集1.1.2字典序問題驗(yàn)證上述的二元關(guān)系是否是一偏好關(guān)系？1.1.2字典序問題驗(yàn)證上述的二元關(guān)系是否是一偏好關(guān)系？1.1.2字典序1.1.2字典序1.1.2字典序1.1.2字典序1.1.3效用函數(shù)效用函數(shù)定義1.1.3效用函數(shù)效用函數(shù)定義1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)1（序保持性）1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)1（序保持性）證明字典序具有性質(zhì)1必要性證明字典序具有性質(zhì)1必要性證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性因此證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性因此證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性則根據(jù)向量運(yùn)算法則證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性則根據(jù)向量運(yùn)算法則證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）必要性證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）充分性根據(jù)字典序的定義，可能有以下兩種情況證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）充分性根據(jù)字典序的定義，可能有以證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）充分性故證明字典序具有性質(zhì)1（續(xù)）充分性故1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)2（中值性）1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)2（中值性）證明字典序不具有性質(zhì)2根據(jù)字典序定義，我們有證明字典序不具有性質(zhì)2根據(jù)字典序定義，我們有證明字典序不具有性質(zhì)2（續(xù)）這說明字典序不具有性質(zhì)2。證明字典序不具有性質(zhì)2（續(xù)）這說明字典序不具有性質(zhì)2。1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)3（有界性）1.1.4偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)3（有界性）1.1.5序數(shù)效用函數(shù)存在定理定理1.11.1.5序數(shù)效用函數(shù)存在定理定理1.1序數(shù)效用函數(shù)存在定理證明由性質(zhì)3，此時(shí)定理顯然成立。因?yàn)锽存在偏好關(guān)系，只有3種情況：序數(shù)效用函數(shù)存在定理證明由性質(zhì)3，此時(shí)定理顯然成立。因?yàn)锽存序數(shù)效用函數(shù)定理證明序數(shù)效用函數(shù)定理證明必要性必要性第1章期望效用函數(shù)理論與單期定價(jià)模型課件由性質(zhì)1（序保持性），由性質(zhì)1（序保持性），充分性由保序性，充分性由保序性，充分性此時(shí)由U的定義，由性質(zhì)1充分性此時(shí)由U的定義，由性質(zhì)1必要性若不然，由結(jié)論1，必要性若不然，由結(jié)論1，充分性充分性說明設(shè)U是效用函數(shù)，注1序數(shù)效用函數(shù)不是唯一的，但是都具有如下性質(zhì)：說明設(shè)U是效用函數(shù)，注1序數(shù)效用函數(shù)不是唯一的，但是都具有如說明注2在字典序上不存在與字典序相一致的效用函數(shù)。注3說明注2在字典序上不存在與字典序相一致的效用函數(shù)。注3利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3（續(xù)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3（續(xù)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3（續(xù)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明注3（續(xù)）1.2期望效用函數(shù)1.2期望效用函數(shù)引言在1.1節(jié)中，我們討論了當(dāng)選擇對象是確定的，且滿足偏好關(guān)系的三條性質(zhì)（序保持性、中值性和有界性）的條件下，序數(shù)效用函數(shù)的存在性定理。本節(jié)將把效用概念推廣到選擇對象包含不確定（風(fēng)險(xiǎn)）的情形。假設(shè)投資者在形如下面的“彩票”中選擇，收益（盈利或獎金數(shù)額）用表示，對應(yīng)的概率為引言在1.1節(jié)中，我們討論了當(dāng)選擇對象是確定的，且滿足偏好關(guān)1.2.1彩票及其運(yùn)算彩票概念：隨機(jī)變量的概率分布可用向量表示為1.2.1彩票及其運(yùn)算彩票概念：隨機(jī)變量的概率分布可用向量1.2.1彩票及其運(yùn)算結(jié)論1.2.1彩票及其運(yùn)算結(jié)論1.2.1彩票及其運(yùn)算性質(zhì)定義復(fù)合性抽彩為：可以證明1.2.1彩票及其運(yùn)算性質(zhì)定義復(fù)合性抽彩為：可以證明1.2.1彩票及其運(yùn)算性質(zhì)則1.2.1彩票及其運(yùn)算性質(zhì)則1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系性質(zhì)1（保序性）1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系性質(zhì)1（保序性）1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系性質(zhì)2(中值性)性質(zhì)3(有界性)1.2.2彩票集合上的偏好關(guān)系性質(zhì)2(中值性)性質(zhì)3(有界1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）證明定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）證明定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）證明（續(xù)）由效用函數(shù)的構(gòu)造性定義即證畢。定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）證明（續(xù)）由效用函數(shù)的構(gòu)造定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）（3）的推廣推廣到n個(gè)彩票相加的情形由效用函數(shù)的定義可見，上面定義的效用函數(shù)不唯一。定理1.2（基數(shù)效用函數(shù)存在定理）（3）的推廣推廣到n個(gè)彩票1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.11.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.11.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1證明令由定理1.2，效用函數(shù)U滿足定理1.2的性質(zhì)(3)，于是1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1證明令由定理1.21.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1證明續(xù)因此，在不考慮正仿射變換情況下，這一類效用函數(shù)是唯一的，稱它為基數(shù)效用函數(shù)。1.2.3基數(shù)效用函數(shù)存在定理命題1.1證明續(xù)因此，在不考1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對離散的有限狀態(tài)這時(shí)把選擇集看成所有輸出的概率分布律組成的集合1.2.4vonNeumann-Morgenstren1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對離散的有限狀態(tài)為方便，定義1.2.4vonNeumann-Morgenstren1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對連續(xù)的狀態(tài)空間1.2.4vonNeumann-Morgenstren1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對連續(xù)的狀態(tài)空間1.2.4vonNeumann-Morgenstren1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)針對連續(xù)的狀態(tài)空間1.2.4vonNeumann-Morgenstren1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函數(shù)定理1.31.2.4vonNeumann-Morgenstren1.2.5伯瑞特率問題：假設(shè)資產(chǎn)市場上的所有投資者都具有馮.諾依曼—莫根斯坦效用函數(shù)，但效用函數(shù)的具體形式可以不一樣，是否存在一個(gè)基于效用的度量，它能夠用來對所有具有不同效用的個(gè)體進(jìn)行共同的比較呢？伯瑞特（Pratt）回答了這個(gè)問題。1.2.5伯瑞特率問題：1.2.5伯瑞特率定義假設(shè)投資者具有vonNeumann-Morgenstern效用函數(shù)，給定vonNeumann-Morgenstern效用函數(shù)V(x),1.2.5伯瑞特率定義假設(shè)投資者具有vonNeumann1.2.5伯瑞特率命題1.2證明：1.2.5伯瑞特率命題1.2證明：1.2.5伯瑞特率命題1.2定義為對風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的度量，稱為Arrow-Pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡測度或者絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡。1.2.5伯瑞特率命題1.2定義為對風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的度量，稱1.3投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型及風(fēng)險(xiǎn)度量

1.3投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型及風(fēng)險(xiǎn)度量1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.1投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型引例1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)基本概念1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)基本概念1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)基本概念1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)基本概念1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)1.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)例1.11.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)例1.11.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)例1.11.3.2馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)例1.11.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和效用函數(shù)之間的關(guān)系由風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的定義等號的左邊寫為1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和效用函數(shù)之間的關(guān)系式（1.3.7）兩邊取期望，得1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)馬科維茨風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和效用函數(shù)之間的關(guān)系1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)1.3.3阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt)

相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）稱形如的函數(shù)為雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)。因此是一條雙曲線，因此稱這類函數(shù)為絕對雙曲風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)。1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）稱形如的函數(shù)為雙1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）其風(fēng)險(xiǎn)容忍函數(shù)為（1）當(dāng)r=1時(shí)，則是線性函數(shù)，是風(fēng)險(xiǎn)中性者的效用函數(shù)。是二次效用函數(shù)。一般寫成1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）其風(fēng)險(xiǎn)容忍函數(shù)為1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）是指數(shù)效用函數(shù)。它具有常相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡和遞減絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡。1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）是指數(shù)效用函數(shù)。1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）這是對數(shù)效用函數(shù)，它是等彈性邊際效用函數(shù)1.3.4雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（HARA）這是對數(shù)效用函數(shù)1.4均值方差效用函數(shù)

1.4均值方差效用函數(shù)1.4.1資產(chǎn)的收益率資產(chǎn)收益絕對收益百分比收益1.4.1資產(chǎn)的收益率資產(chǎn)收益絕對收益百分比收益絕對收益概念注：絕對收益是一個(gè)描述收益大小的概念，它不能更合理地比較不同資產(chǎn)收益的大小。絕對收益概念注：絕對收益是一個(gè)描述收益大小的概念，它不能更合百分比收益概念百分比收益概念資產(chǎn)總收益概念注：資產(chǎn)總收益是某一個(gè)時(shí)期從期末到期初的收益，與時(shí)間的跨度有關(guān)。資產(chǎn)總收益概念注：資產(chǎn)總收益是某一個(gè)時(shí)期從期末到期初的收益，年平均收益概念年平均收益概念連續(xù)復(fù)合收益概念連續(xù)復(fù)合收益概念1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)定義1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)定義1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)1.4.2均值方差效用函數(shù)均值方差效用函數(shù)性質(zhì)1.5隨機(jī)占優(yōu)

1.5隨機(jī)占優(yōu)1.5.1隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則（SD準(zhǔn)則）第一類投資者一階隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則第二類投資者二階隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則1.5.1隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則（SD準(zhǔn)則）第一類投資者一階隨機(jī)占優(yōu)1.5.2一階隨機(jī)占優(yōu)定義性質(zhì)1.5.2一階隨機(jī)占優(yōu)定義性質(zhì)定理1.4證明必要性反證法，若不然，由分布函數(shù)的右連續(xù)，定理1.4證明必要性反證法，若不然，由分布函數(shù)的右連續(xù)，定理1.4證明必要性于是定理1.4證明必要性于是定理1.4證明充分性因?yàn)槎ɡ?.4證明充分性因?yàn)?.5.3二階隨機(jī)占優(yōu)定義性質(zhì)1.5.3二階隨機(jī)占優(yōu)定義性質(zhì)定理1.5證明必要性定理1.5證明必要性定理1.5證明-必要性續(xù)1定理1.5證明-必要性續(xù)1于是于是定理1.5充分性證明所以定理1.5充分性證明所以風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系A(chǔ)和B的收益率圖1.3風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系A(chǔ)和B的收益率的密度函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系A(chǔ)和B的收益率圖1.3風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系A(chǔ)和B的收益率的密度1.6單期無套利資產(chǎn)定價(jià)模型

1.6單期無套利資產(chǎn)定價(jià)模型內(nèi)容提要1.6單期無套利資產(chǎn)定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型套利機(jī)會單期確定性定價(jià)模型兩種資產(chǎn)多種資產(chǎn)內(nèi)容提要1.6單期無套利資產(chǎn)定價(jià)模型1.6.1單期確定性1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.套利機(jī)會1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.套利機(jī)會1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型定理1.61.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型定理1.6定理1.6證明因?yàn)槭袌霾淮嬖谔桌麢C(jī)會，所以定理1.6證明因?yàn)槭袌霾淮嬖谔桌麢C(jī)會，所以定理1.6證明續(xù)投資組合的收益率為定理1.6證明續(xù)投資組合的收益率為定理1.6證明續(xù)其中證畢定理1.6證明續(xù)其中證畢1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型單期資產(chǎn)定價(jià)問題：是已知時(shí)刻1資產(chǎn)的價(jià)格，確定時(shí)刻0資產(chǎn)的價(jià)格。1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型單期資產(chǎn)定價(jià)問題：是已知1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型2.單期確定性定價(jià)模型證明1.6.1單期確定性無套利定價(jià)模型2.單期確定性定價(jià)模型證定理1.7套利定價(jià)定理證明定理1.7套利定價(jià)定理證明定理1.7套利定價(jià)定理證明續(xù)定理1.7套利定價(jià)定理證明續(xù)1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型1.兩資產(chǎn)情形1.6.2單期不確定性無套利定價(jià)模型1.兩資產(chǎn)情形1.6.2單期不確定