集合中元素的個數(shù)(學習課資)課件

閱讀材料集合中元素的個數(shù)1公開課資閱讀材料1公開課資例1

學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會。這個班有12名同學參賽，兩次運動會都參賽的有3人。兩次運動會中，這個班共有多少名同學參賽？分析：設(shè)A為田徑運動會參賽的學生的集合，B為球類運動會參賽的學生的集合。那么A∩B就是兩次運動會都參賽的學生的集合。試分析

A∪B、A、B、A∩B中元素個數(shù)的關(guān)系.2公開課資例1 學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有82公開課資解：設(shè)A={田徑運動會參賽的學生}，

B={球類運動會參賽的學生}，那么，

A∩B={兩次運動會都參賽的學生}，

A∪B={參賽的學生}?！?card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）=8+12－3=17。答：兩次運動會中，這個班共有17名同學參賽。用圖來求解：3公開課資解：設(shè)A={田徑運動會參賽的學生}，用圖來求解：3公開課資例2.某班學生參加數(shù)學課外小組的人數(shù)是參加物理課外小組的人數(shù)的2倍，同時參加兩個課外小組的人數(shù)是5人，至少參加一個課外活動小組的人數(shù)為25人.試求參加數(shù)學小組、物理小組的人數(shù)各是多少？參加數(shù)學小組20人，參加物理小組10人. card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）即25=2x+x-5x=104公開課資例2.某班學生參加數(shù)學課外小組的人數(shù)是參加參加數(shù)學小組20人 card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）能否推廣？試寫出三個集合類似公式.5公開課資 card（A∪B）能否推廣？試寫出三個集合類似公式.5公開例3.某校高三學生共249人，畢業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)及科目如下表;表中，兩科優(yōu)秀者包括里包括三科全優(yōu)者，單科優(yōu)秀者里也包括兩科以上的優(yōu)秀者。有人說上面的統(tǒng)計表有誤，你認為呢？由統(tǒng)計表計算高三年級共有131+117+152-61-79-62+53=251(人)，所以統(tǒng)計表有誤.6公開課資例3.某校高三學生共249人，畢業(yè)考試成績優(yōu)秀的表中，兩科例4.在100個學生中，有美術(shù)愛好者63人，音樂愛好者75人（并非每個學生都有愛好），對美術(shù)和音樂都愛好的學生最多有多少人？最少有多少人？最多63人，最少38人.7公開課資例4.在100個學生中，有美術(shù)愛好者63人，音樂最多63人問題的提出：無限集中元素的個數(shù)？！是不是所有的無限集都有相同的個數(shù)呢？8公開課資問題的提出：是不是所有的無限集都有相同的個數(shù)呢？8公開課資1.無限（1）初識無限（2）在有限集中，如何比較元素個數(shù)的多少？

理解無限的關(guān)鍵——一一對應（3）無限集中元素的個數(shù)——基數(shù)與此相關(guān)的一個定義：若在一個集合與全體正整數(shù)集合之間存在一一對應，則稱這個集合是可數(shù)的。9公開課資9公開課資（4）幾個令人吃驚的例子全體正整數(shù)和全體有理數(shù)一樣多嗎？全體正整數(shù)和全體整數(shù)一樣多嗎？部分＝整體？！10公開課資（4）幾個令人吃驚的例子全體正整數(shù)和全體有理數(shù)一樣多嗎？全體（5）問題的提出是不是所有的無限集都有相同的基數(shù)呢？康托在1973年11月29日給戴德金的信中提出：11月29日－12月7日，康托給無限的理論奠定了基礎(chǔ)。他創(chuàng)造了一種適用于無限集的新數(shù)體系——超限數(shù)，以解決無限集的基數(shù)比較問題。11公開課資（5）問題的提出康托在1973年11月29日給戴德金的信中提實數(shù)集（0，1）是不可數(shù)的。無理數(shù)集是不可數(shù)的（有理數(shù)集可數(shù)）。是不是還存在數(shù)量上多于實數(shù)集的集合呢？實數(shù)集是不可數(shù)的?！獙崝?shù)、一直線上的點、平面上的點及高維空間的任一部分的點的基數(shù)。若在一個集合與全體正整數(shù)集合之間存在一一對應，則稱這個集合是可數(shù)的。12公開課資實數(shù)集（0，1）是不可數(shù)的。是不是還存在數(shù)量上多于實數(shù)集的集“數(shù)學中的無窮無盡，其誘人之處在于它的最棘手的悖論能夠盛開出美麗的理論之花?！薄狤.KasnerandJ.Newman集合論危機重重：13公開課資“數(shù)學中的無窮無盡，其誘人之處在于集合論危機重重：13公開課2.羅素悖論

大多數(shù)集合不包含它自身為元素，這樣的集我們稱之為“普通的”。有許多集可能包含它自身為元素，例如集S定義如下：“凡是可以用不超過三十個字來定義的集合是S的元素?！笨梢钥吹?，S是包含它自身為一元素的。這樣的集我們稱之為“非普通集”。我們考查“所有普通集組成的集”，稱它為C。那么C本身是普通集還是非普通集？如果C是普通集，由于C定義為包含所有普通集，它包含了它本身作為一個元素。這樣的話，C必須是非普通集。這是一個矛盾。因此C必須是非普通集，但這時C包含了一個非普通集（即C本身）為其元素，這與C只包含普通集的定義相矛盾。因此，無論那一種情形，僅僅是C的存在，就已經(jīng)使我們陷入矛盾。14公開課資2.羅素悖論大多數(shù)集合不包含它自身為元素，這樣的集我羅素的理發(fā)師悖論15公開課資羅素的理發(fā)師悖論15公開課資其他一些悖論（1）芝諾悖論

1）二分法悖論

2）阿基里斯和烏龜16公開課資其他一些悖論（1）芝諾悖論16公開課資17公開課資17公開課資18公開課資18公開課資代數(shù)悖論：19公開課資代數(shù)悖論：19公開課資數(shù)理邏輯誕生20公開課資數(shù)理邏輯誕生20公開課資

數(shù)理邏輯這門學科在第三次數(shù)學危機運動的過程中誕生，在十七世紀，算術(shù)因符號化促使了代數(shù)學的產(chǎn)生，代數(shù)使計算變得精確和方便，也使計算方法系統(tǒng)化。費爾馬和笛卡兒的解析幾何把幾何學代數(shù)化，大大擴展了幾何的領(lǐng)域，而且使得少數(shù)天才的推理變成機械化的步驟。這反映了代數(shù)學作為普遍科學方法的效力，于是笛卡兒嘗試也把邏輯代數(shù)化。與笛卡兒同時代的英國哲學家霍布斯也認為推理帶有計算性質(zhì)，不過他并沒有系統(tǒng)地發(fā)展這種思想。

現(xiàn)在公認的數(shù)理邏輯創(chuàng)始人是萊布尼茲。他的目的是選出一種“通用代數(shù)”，其中把一切推理都化歸為計算。實際上這正是數(shù)理邏輯的總綱領(lǐng)。他希望建立一套普遍的符號語言，這樣就可以象數(shù)字一樣進行演算，他的確將某些命題形式表達為符號形式，但他的工作只是一個開頭，大部分沒有發(fā)表，因此影響不大。

21公開課資數(shù)理邏輯這門學科在第三次數(shù)學危機運動的過程中誕生

真正使邏輯代數(shù)化的是英國數(shù)學家布爾，他在1847年出版了《邏輯的數(shù)學分析》，給出了現(xiàn)代所謂的“布爾代數(shù)”的原型。布爾確信符號化會使邏輯變得嚴密。他的對象是事物的類，1表示全類，0表示空類；xy表示x和y的共同分子所組成的類，運算是邏輯乘法；x＋y表示x和y兩類所合成的類，運算是邏輯加法。

布爾看出類的演算也可解釋為命題的演算。當x、y不是類而是命題，則x＝1表示的是命題x為真，x＝0表示命題x為假，1－x表示x的否定等等。顯然布爾的演算構(gòu)成一個代數(shù)系統(tǒng)，遵守著某些規(guī)律，這就是布爾代數(shù)。22公開課資

非數(shù)值運算的推廣

——集合運算

——語句運算23公開課資非數(shù)值運算的推廣23公開課資康托的最大基數(shù)悖論、布拉里.福蒂悖論、羅素悖論，動搖了整個數(shù)學的基礎(chǔ)。給數(shù)學提供一個可靠的基礎(chǔ)：1）羅素的類型論2）策梅羅的公理集合論（ZFS系統(tǒng)）

Z—策梅羅F—弗蘭克爾S—斯科蘭姆希爾伯特：24公開課資康托的最大基數(shù)悖論、布拉里.福蒂悖論、給數(shù)學提供一個可靠的基哥德爾不完全性定理：

數(shù)理邏輯的大發(fā)展：證明論；遞歸論；模型論；公理集合論。25公開課資哥德爾不完全性定理：數(shù)理邏輯的大發(fā)展：25公開課資作業(yè)：查閱有關(guān)資料試卷改錯《二教》不等式解法習題課的例題26公開課資作業(yè)：26公開課資閱讀材料集合中元素的個數(shù)27公開課資閱讀材料1公開課資例1

學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會。這個班有12名同學參賽，兩次運動會都參賽的有3人。兩次運動會中，這個班共有多少名同學參賽？分析：設(shè)A為田徑運動會參賽的學生的集合，B為球類運動會參賽的學生的集合。那么A∩B就是兩次運動會都參賽的學生的集合。試分析

A∪B、A、B、A∩B中元素個數(shù)的關(guān)系.28公開課資例1 學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有82公開課資解：設(shè)A={田徑運動會參賽的學生}，

B={球類運動會參賽的學生}，那么，

A∩B={兩次運動會都參賽的學生}，

A∪B={參賽的學生}?！?card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）=8+12－3=17。答：兩次運動會中，這個班共有17名同學參賽。用圖來求解：29公開課資解：設(shè)A={田徑運動會參賽的學生}，用圖來求解：3公開課資例2.某班學生參加數(shù)學課外小組的人數(shù)是參加物理課外小組的人數(shù)的2倍，同時參加兩個課外小組的人數(shù)是5人，至少參加一個課外活動小組的人數(shù)為25人.試求參加數(shù)學小組、物理小組的人數(shù)各是多少？參加數(shù)學小組20人，參加物理小組10人. card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）即25=2x+x-5x=1030公開課資例2.某班學生參加數(shù)學課外小組的人數(shù)是參加參加數(shù)學小組20人 card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）能否推廣？試寫出三個集合類似公式.31公開課資 card（A∪B）能否推廣？試寫出三個集合類似公式.5公開例3.某校高三學生共249人，畢業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)及科目如下表;表中，兩科優(yōu)秀者包括里包括三科全優(yōu)者，單科優(yōu)秀者里也包括兩科以上的優(yōu)秀者。有人說上面的統(tǒng)計表有誤，你認為呢？由統(tǒng)計表計算高三年級共有131+117+152-61-79-62+53=251(人)，所以統(tǒng)計表有誤.32公開課資例3.某校高三學生共249人，畢業(yè)考試成績優(yōu)秀的表中，兩科例4.在100個學生中，有美術(shù)愛好者63人，音樂愛好者75人（并非每個學生都有愛好），對美術(shù)和音樂都愛好的學生最多有多少人？最少有多少人？最多63人，最少38人.33公開課資例4.在100個學生中，有美術(shù)愛好者63人，音樂最多63人問題的提出：無限集中元素的個數(shù)？！是不是所有的無限集都有相同的個數(shù)呢？34公開課資問題的提出：是不是所有的無限集都有相同的個數(shù)呢？8公開課資1.無限（1）初識無限（2）在有限集中，如何比較元素個數(shù)的多少？

理解無限的關(guān)鍵——一一對應（3）無限集中元素的個數(shù)——基數(shù)與此相關(guān)的一個定義：若在一個集合與全體正整數(shù)集合之間存在一一對應，則稱這個集合是可數(shù)的。35公開課資9公開課資（4）幾個令人吃驚的例子全體正整數(shù)和全體有理數(shù)一樣多嗎？全體正整數(shù)和全體整數(shù)一樣多嗎？部分＝整體？！36公開課資（4）幾個令人吃驚的例子全體正整數(shù)和全體有理數(shù)一樣多嗎？全體（5）問題的提出是不是所有的無限集都有相同的基數(shù)呢？康托在1973年11月29日給戴德金的信中提出：11月29日－12月7日，康托給無限的理論奠定了基礎(chǔ)。他創(chuàng)造了一種適用于無限集的新數(shù)體系——超限數(shù)，以解決無限集的基數(shù)比較問題。37公開課資（5）問題的提出康托在1973年11月29日給戴德金的信中提實數(shù)集（0，1）是不可數(shù)的。無理數(shù)集是不可數(shù)的（有理數(shù)集可數(shù)）。是不是還存在數(shù)量上多于實數(shù)集的集合呢？實數(shù)集是不可數(shù)的?！獙崝?shù)、一直線上的點、平面上的點及高維空間的任一部分的點的基數(shù)。若在一個集合與全體正整數(shù)集合之間存在一一對應，則稱這個集合是可數(shù)的。38公開課資實數(shù)集（0，1）是不可數(shù)的。是不是還存在數(shù)量上多于實數(shù)集的集“數(shù)學中的無窮無盡，其誘人之處在于它的最棘手的悖論能夠盛開出美麗的理論之花?！薄狤.KasnerandJ.Newman集合論危機重重：39公開課資“數(shù)學中的無窮無盡，其誘人之處在于集合論危機重重：13公開課2.羅素悖論

大多數(shù)集合不包含它自身為元素，這樣的集我們稱之為“普通的”。有許多集可能包含它自身為元素，例如集S定義如下：“凡是可以用不超過三十個字來定義的集合是S的元素?！笨梢钥吹?，S是包含它自身為一元素的。這樣的集我們稱之為“非普通集”。我們考查“所有普通集組成的集”，稱它為C。那么C本身是普通集還是非普通集？如果C是普通集，由于C定義為包含所有普通集，它包含了它本身作為一個元素。這樣的話，C必須是非普通集。這是一個矛盾。因此C必須是非普通集，但這時C包含了一個非普通集（即C本身）為其元素，這與C只包含普通集的定義相矛盾。因此，無論那一種情形，僅僅是C的存在，就已經(jīng)使我們陷入矛盾。40公開課資2.羅素悖論大多數(shù)集合不包含它自身為元素，這樣的集我羅素的理發(fā)師悖論41公開課資羅素的理發(fā)師悖論15公開課資其他一些悖論（1）芝諾悖論

1）二分法悖論

2）阿基里斯和烏龜42公開課資其他一些悖論（1）芝諾悖論16公開課資43公開課資17公開課資44公開課資18公開課資代數(shù)悖論：45公開課資代數(shù)悖論：19公開課資數(shù)理邏輯誕生46公開課資數(shù)理邏輯誕生20公開課資

數(shù)理邏輯這門學科在第三次數(shù)學危機運動的過程中誕生，在十七世紀，算術(shù)因符號化促使了代數(shù)學的產(chǎn)生，代數(shù)使計算變得精確和方便，也使計算方法系統(tǒng)化。費爾馬和笛卡兒的解析幾何把幾何學代數(shù)化，大大擴展了幾何的領(lǐng)域，而且使得少數(shù)天才的推理變成機械化的步驟。這反映了代數(shù)學作為普遍科學方法的效力，于是笛卡兒嘗試也把邏輯代數(shù)化。與笛卡兒同時代的英國哲學家霍布斯也認為推理帶有計算性質(zhì)，不過他并沒有系統(tǒng)地發(fā)展這種思想。

現(xiàn)在公認的數(shù)理邏輯創(chuàng)始人是萊布尼茲。他的目的是選出一種“通用代數(shù)”，其中把一切推理都化歸為計算。實際上這正是數(shù)理邏輯的總綱領(lǐng)。他希望建立一套普遍的符號語言，這樣就可以象數(shù)字一樣進行演算，他的確將某些命題形式表達為符號形式，但他的工作只是一個開頭，大部分沒有發(fā)表，因此影響不大。

47公開課資數(shù)理邏輯這門學科在第三次數(shù)學危機運動的過程中誕生