等差數(shù)列前n項(xiàng)和優(yōu)質(zhì)課比賽課件

2.3等差數(shù)列的2.3等差數(shù)列的1高斯（Gauss,1777—1855），德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”.高斯（Gauss,1777—1855），德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他研2有一次，老師與高斯去買(mǎi)鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個(gè)堆放鉛筆的V形架，V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.老師問(wèn)：高斯，你知道這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆嗎？創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題就是：計(jì)算1＋2＋3＋…＋99＋100有一次，老師與高斯去買(mǎi)鉛筆，在商店發(fā)3高斯的算法計(jì)算：1＋2＋3＋…＋99＋100高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組：第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組；第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組；第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組，……每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個(gè)101就等于5050了。高斯算法將加法問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果.首尾配對(duì)相加法中間的一組數(shù)是什么呢？高斯的算法計(jì)算：1＋2＋3＋…＋99＋4若V形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層有很多支鉛筆，老師說(shuō)有n支。問(wèn)：這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題就是：1＋2＋3＋…＋(n-1)＋n若用首尾配對(duì)相加法，需要分類(lèi)討論.三角形平行四邊形若V形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層創(chuàng)5n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋2＋1倒序相加法那么，對(duì)一般的等差數(shù)列，如何求它的前n項(xiàng)和呢？前n項(xiàng)和分析：這其實(shí)是求一個(gè)具體的等差數(shù)列前n項(xiàng)和.①②n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋26問(wèn)題分析已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n項(xiàng)為an，求前n項(xiàng)和Sn.如何才能將等式的右邊化簡(jiǎn)？①②問(wèn)題分析已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n7由此得到等差數(shù)列的{an}前n項(xiàng)和的公式即：等差數(shù)列前n項(xiàng)的和等于首末項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半。上面的公式又可以寫(xiě)成差由等數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d解題時(shí)需根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式。知三求二由此得到等差數(shù)列的{an}前n項(xiàng)和的公式即：等差數(shù)列前n項(xiàng)的8公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.na1an公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和9公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.a1(n-1)dna1an將圖形分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形.公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和10公式應(yīng)用根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛an｝的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10（2）a1=100，d=－2，n=50練一練5002550公式應(yīng)用根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差11已知等差數(shù)列{an}．(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.[思路探索]根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解方程．題型一與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量的計(jì)算【例1】已知等差數(shù)列{an}．題型一與等差數(shù)列前n項(xiàng)和12a1，d，n稱(chēng)為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來(lái)表示，五個(gè)量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通過(guò)通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程(組)求解，在求解過(guò)程中要注意整體思想的運(yùn)用．a(chǎn)1，d，n稱(chēng)為等差數(shù)列13在等差數(shù)列{an}中；(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.【變式1】在等差數(shù)列{an}中；【變式1】14解：由題意，該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列{an}，【例2】2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》，某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元.為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元.那么，從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？故，該市在未來(lái)10年內(nèi)的總投入為答：從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬(wàn)元.且a1=500,d=50,n=10.題型二利用等差數(shù)列求和公式解決實(shí)際問(wèn)題解：由題意，該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列15【變式2】一個(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?，最上面一層鋪瓦?1塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了19層，共鋪瓦片多少塊？解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a1=21，d=1，n=19.答：屋頂斜面共鋪瓦片570塊.于是，屋頂斜面共鋪瓦片：【變式2】一個(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?，最上?6題型三利用Sn求an已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3＋2n，求an.解(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋2＝5.(2)當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝21－1＝1≠5，【例3】題型三利用Sn求an已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S17(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，這里常常因?yàn)楹雎詶l件“n≥2”而出錯(cuò)．(1)已知Sn求an，其方18 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋3n，求an.解a1＝S1＝5，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)也適合，∴an＝4n＋1.【變式3】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋3n，求an.【變19【例4】已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？解：由于S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式可得所以題型四已知等差數(shù)列的某些項(xiàng)的和求出n項(xiàng)和【例4】已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和20【例4】已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？另解：

兩式相減得【例4】已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和21一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)之和為10，求前110項(xiàng)之和．[思路探索]解答本題可利用前n項(xiàng)和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【變式4】一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)之和為1022等差數(shù)列前n項(xiàng)和優(yōu)質(zhì)課比賽課件23故此數(shù)列的前110項(xiàng)之和為－110.法二數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100為等差數(shù)列，設(shè)公差為d′，則又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110.法三設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn.∵S10＝100，S100＝10，故此數(shù)列的前110項(xiàng)之和為－110.24等差數(shù)列前n項(xiàng)和優(yōu)質(zhì)課比賽課件25解決此類(lèi)問(wèn)題的方法較多，法一、法三是利用方程的思想方法確定出系數(shù)，從而求出Sn；法二是利用等差數(shù)列的“片斷和”性質(zhì)，構(gòu)造出新數(shù)列，從而使問(wèn)題得到解決．解決此類(lèi)問(wèn)題的方法較多，法一、法三是利用方程的思想方26課堂小結(jié)1．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式；3.公式的應(yīng)用(知三求二）4.用上頁(yè)下頁(yè)（兩個(gè)）2．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法——倒序相加法；由sn求an時(shí)注意對(duì)n進(jìn)行討論課堂小結(jié)1．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式；上頁(yè)下頁(yè)（兩個(gè)）2．等272.3等差數(shù)列的2.3等差數(shù)列的28高斯（Gauss,1777—1855），德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”.高斯（Gauss,1777—1855），德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他研29有一次，老師與高斯去買(mǎi)鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個(gè)堆放鉛筆的V形架，V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.老師問(wèn)：高斯，你知道這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆嗎？創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題就是：計(jì)算1＋2＋3＋…＋99＋100有一次，老師與高斯去買(mǎi)鉛筆，在商店發(fā)30高斯的算法計(jì)算：1＋2＋3＋…＋99＋100高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組：第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組；第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組；第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組，……每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個(gè)101就等于5050了。高斯算法將加法問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果.首尾配對(duì)相加法中間的一組數(shù)是什么呢？高斯的算法計(jì)算：1＋2＋3＋…＋99＋31若V形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層有很多支鉛筆，老師說(shuō)有n支。問(wèn)：這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題就是：1＋2＋3＋…＋(n-1)＋n若用首尾配對(duì)相加法，需要分類(lèi)討論.三角形平行四邊形若V形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層創(chuàng)32n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋2＋1倒序相加法那么，對(duì)一般的等差數(shù)列，如何求它的前n項(xiàng)和呢？前n項(xiàng)和分析：這其實(shí)是求一個(gè)具體的等差數(shù)列前n項(xiàng)和.①②n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋233問(wèn)題分析已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n項(xiàng)為an，求前n項(xiàng)和Sn.如何才能將等式的右邊化簡(jiǎn)？①②問(wèn)題分析已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n34由此得到等差數(shù)列的{an}前n項(xiàng)和的公式即：等差數(shù)列前n項(xiàng)的和等于首末項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半。上面的公式又可以寫(xiě)成差由等數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d解題時(shí)需根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式。知三求二由此得到等差數(shù)列的{an}前n項(xiàng)和的公式即：等差數(shù)列前n項(xiàng)的35公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.na1an公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和36公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.a1(n-1)dna1an將圖形分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形.公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和37公式應(yīng)用根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛an｝的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10（2）a1=100，d=－2，n=50練一練5002550公式應(yīng)用根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差38已知等差數(shù)列{an}．(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.[思路探索]根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解方程．題型一與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量的計(jì)算【例1】已知等差數(shù)列{an}．題型一與等差數(shù)列前n項(xiàng)和39a1，d，n稱(chēng)為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來(lái)表示，五個(gè)量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通過(guò)通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程(組)求解，在求解過(guò)程中要注意整體思想的運(yùn)用．a(chǎn)1，d，n稱(chēng)為等差數(shù)列40在等差數(shù)列{an}中；(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.【變式1】在等差數(shù)列{an}中；【變式1】41解：由題意，該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列{an}，【例2】2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》，某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元.為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元.那么，從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？故，該市在未來(lái)10年內(nèi)的總投入為答：從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬(wàn)元.且a1=500,d=50,n=10.題型二利用等差數(shù)列求和公式解決實(shí)際問(wèn)題解：由題意，該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列42【變式2】一個(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪危钌厦嬉粚愉佂咂?1塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了19層，共鋪瓦片多少塊？解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a1=21，d=1，n=19.答：屋頂斜面共鋪瓦片570塊.于是，屋頂斜面共鋪瓦片：【變式2】一個(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪危钌厦?3題型三利用Sn求an已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3＋2n，求an.解(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋2＝5.(2)當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝21－1＝1≠5，【例3】題型三利用Sn求an已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S44(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，這里常常因?yàn)楹雎詶l件“n≥2”而出錯(cuò)．(1)已知Sn求an，其方45 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋3n，求an.解a1＝S1＝5，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)也適合，∴an＝4n＋1.【變式3】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋3n，求an.【變46【例4】已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？解：由于S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式可得所以題型四已知等差數(shù)列的某些項(xiàng)的和求出n項(xiàng)和【例4】已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和47【例4】已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前2