2019年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案

上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一.填空題（本大題共12題，16每題4分，712每題5分，共54分）TOC\o"1-5"\h\z（4分）集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7},則AGB=.（4分）不等式-<1的解集為.（4分）已知函數(shù)f（x）=2x-1的反函數(shù)是f-i（x）,則f-i（5）=.（4分）已知向量2二（1,_2），L二（3,4）,則向量已在向量b的方向上的投影為.（4分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z*（l+/3i）=l,則|z|=.（4分）在（2x+1）5的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是.7．（5分）某企業(yè)生產(chǎn)的12個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)一等品,2個(gè)二等品,現(xiàn)從中抽取4個(gè)產(chǎn)品，其中恰好有1個(gè)二等品的概率為.8（5分）已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+*）上增函數(shù),若f（a+1）Wf（4）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（5分）已知等比數(shù)列寺，寺，1,…前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn>2018的n的最小值為.（5分）圓錐的底面半徑為3,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為等的扇形，則此圓錐的表面積為.（5分）已知函數(shù)f（x）=sinwx（⑴>0）,將f（x）的圖象向左平移』^個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，令h（x）=f（x）+g（x）,如果存在實(shí)數(shù)m,使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有h（m）Wh（x）Wh（m+1）成立，則⑴的最小值為.（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，M、N是雙曲線牛斗二1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足0P=20M-0N，直線OM與直線ON斜率之積為2,已知平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)F］、F2，使得||PF】|-|PF2||為定值，則該定值為.二.選擇題（本大題共4題,每題5分,共20分）（5分）若實(shí)數(shù)x,y^R,貝愉題甲"時(shí)；：'”是命題乙乙的（）條件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要（5分）已知AABC中，，AB=AC=1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則瓦■厲的最小值為（）A.-4B.-2C.-1D.0（5分）某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度x（單位：°C）滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+）（e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)），若該食品在0°C的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22°C的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33°C的保鮮時(shí)間是（）小時(shí).A.22B.23C.24D.33（5分）關(guān)于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根x】、x2、x3，則x12+x22+x32=（）A.1B.2C.D.2n2三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）17.（14分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2，AD=1，A】A=1.（1）求異面直線BC1與CD1所成的角；（2）求三棱錐B-D1AC的體積.18.（14分）在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知匸⑵1）,1）求C；(2)若c2=7b2，且Saabc=2/3，求b的值.19.(14分)已知等差數(shù)列｛an｝的公差為2,其前n項(xiàng)和Sn=pn2+2n(n^N*,p(ER).求p的值及｛a｝的通項(xiàng)公式；nf—(n=2k-l)在等比數(shù)列｛b｝中，b2=a1,b3=a2+4,令匚二](k^N*),求數(shù)2132列｛c｝的前n項(xiàng)和T.nn20.(16分)已知橢圓廠：弓+琴二1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F]、F2,設(shè)點(diǎn)A(0,b),在厶AF]F2中，ZF]也F?二，周長(zhǎng)為4+2^3-求橢圓「的方程；設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓「相交于B、C兩點(diǎn)，若直線AB與AC的斜率之和為-1,求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；記第(2)問(wèn)所求的定點(diǎn)為E,點(diǎn)P為橢圓「上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試根據(jù)AAEP面積S的不同取值范圍，討論AAEP存在的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.21.(18分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)閒(D),即f(D)=｛y|y=f(x),xGD｝，若f(D)D,則稱f(x)在D上封閉.分別判斷函數(shù)f(x)=2O17x+log2017x,g(J二羊在(0,1)上是否封閉，說(shuō)明理由；函數(shù)f(x)=Vx+l+k的定義域?yàn)镈=[a,b],且存在反函數(shù)y=f」(x),若函數(shù)f(x)在D上封閉，且函數(shù)f-1(x)在f(D)上也封閉，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,對(duì)任意x,y^D，若xHy,有f(x)Hf(y)恒成立，則稱f(x)在D上是單射，已知函數(shù)f(x)在D上封閉且單射，并且滿足fx(D)D，其中怙(x)=f(fn(x))(n訴)，f(x)=f(x)，證明：存在D的真子集，Dn-Dn-1---D3^D2^D1^D，使得f（X）在所有Di（（=1,2，3，…，n）上封閉.2018年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一.填空題(本大題共12題，16每題4分，712每題5分，共54分)1.(4分)集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7}，則AnB={1,3}.【解答】解：???集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7},??.AnB={l,3}.故答案為：{1,3}.乙(4分)不等式丄V1的解集為(1,0).【解答】解：原不等式等價(jià)于號(hào)>0,即x(x-1)>0,所以不等式的解集為(1,+-)U(--,0)；故答案為：(1,+x)U(-g,0)3.(4分)已知函數(shù)f(x)=2x-1的反函數(shù)是f-1(x),則f-1(5)=3【解答】解：令f-1(5)=a，則f(a)=2a-1=5，解得：a=3，故答案為：3.4.(4分)已知向量$二(1,-2)，石二(3,4),則向量已在向量b的方向上的投影為-1.【解答】解：向量:=(1,-2),b=(3,4),則向量:在向量7方向上的投影為:a|cosV已,a|cosV已,3-8=-1.故答案為：-15.（4分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足廠+二1，貝川z|=_*【解答】解：???復(fù)數(shù)z滿足z^l+,.^i）=l,z（1+匚3i）（1；3i）=1—3i,化為4z=l-運(yùn)i.?：Iz|=即?：Iz|=即z=2故答案為：16.（4分）在（2x+1）5的二項(xiàng)展開(kāi)式中，X3的系數(shù)是80【解答】解：設(shè)求的項(xiàng)為T.=C5r（2x）5-r,r+15今r=2，.\T=23C2x3=80x3.35???x3的系數(shù)是80.故答案為：807.（5分）某企業(yè)生產(chǎn)的12個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)一等品，2個(gè)二等品，現(xiàn)從中抽取4個(gè)產(chǎn)品，其中恰好有1個(gè)二等品的概率為-.—炎一【解答】解：某企業(yè)生產(chǎn)的12個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)一等品，2個(gè)二等品，現(xiàn)從中抽取4個(gè)產(chǎn)品，基本事件總數(shù)n=c%=495,其中恰好有1個(gè)二等品包含的基本事件個(gè)數(shù)m=c￡c；=240,???其中恰好有1個(gè)二等品的概率為p=^==Ln49533故答案為：33&（5分）已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0，+*）上增函數(shù),若f（a+1）Wf（4），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-5,3］.【解答】解：函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+*）上增函數(shù),可得f（x）=f（|x|），則f（a+1）Wf（4）,即為f（|a+l|）Wf（4）,可得|a+11W4,即-4Wa+lW4,解得-5WaW3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-5,3］.故答案為：［-5,3］．9.（5分）已知等比數(shù)列寺，1,…前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn>2018的n的最小值為10.【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列寺冷,1,…為｛a」,其首項(xiàng)ax—，公比q=￥=3,其前n項(xiàng)和Sn=^^!=寺（3n-1）,若S>2018，即引-1>18X2018又由nGN*,n則n±10,故答案為：10.10.（5分）圓錐的底面半徑為3,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為等的扇形，則此圓錐的表面積為36n.【解答】解：設(shè)此圓錐的母線長(zhǎng)為l,根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)可得,2nX3=^^XI,解得l=9,?：此圓錐的表面積為S=nrl+nr2=nX3X9+nX9=36n.故答案為：36n.11.(5分)已知函數(shù)f(x)=sinwx(⑴＞0),將f(x)的圖象向左平移』^個(gè)單2⑴位得到函數(shù)g(x)的圖象，令h(x)=f(x)+g(x),如果存在實(shí)數(shù)m,使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有h(m)Wh(x)Wh(m+1)成立，則⑴的最小值為n.【解答】解：函數(shù)f(x)=sin⑴x(⑴＞0),將f(x)的圖象向左平移丄—個(gè)單位2⑴得到函數(shù)g(x)=sin(⑴x+*)=coswx的圖象，令h(x)=f(x)+g(x)=sin⑴x+cos⑴x=2sin(⑴x+*),如果存在實(shí)數(shù)m,使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有h(m)Wh(x)Wh(m+1)成立,.?.丄?空LW1,???⑴三n，則⑴的最小值為n,200故答案為：n.12.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，M、N是雙曲線斗斗二1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足0P=20M-0N，直線0M與直線ON斜率之積為2,已知平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)F］、F2，使得||PF】|-|PF2||為定值，則該定值為2:6【解答】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，M(x1，y1)、N(x2，y2)，???直線OM與ON的斜率之積為2,=2，所以2xxx2-yxy2=0,①，???動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=2OM-ON,?(x，y)=(2x1-x2，2y1-y2)，則x=2x1-x2，y=2y1-y2，???M、N是雙曲線上的點(diǎn),A2xx2-yx2=4,2x22-y22=4.?2x2-y2=2(2x1-x2)2-(2y1-y2)2=4(2xi2-yi2)-(2x22-y22)-4(2xix2-yiy2)=4X4-4-4(2xix2-yiy2)=12-4(2xix2-yiy2),把①代入上式得：2x2-y2=12,即￡-工!=1,612所以點(diǎn)P是雙曲線窘存1上的點(diǎn),因?yàn)榧碸■-舟=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為：F1（-3衛(wèi)，0）、F2（3?.邁，0）,所以IIpfJ-|pf2I|為定值2左.故答案為：2耗.二.選擇題（本大題共4題,每題5分,共20分）13.（5分）若實(shí)數(shù)x,y^R,貝愉題甲""+；，”是命題乙"x^；”的（）條件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要【解答】解：由甲推不出乙，比如x=1,y=7，故不是充分條件，由乙可推出甲,是必要條件,故選：B．14.（5分）已知AABC中，,AB=AC=1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則瓦?麗的最小值為（）A．-4B．-2C．-1D．0【解答】解：?「△ABC中，Z皆今，AB=AC=1,以A為原點(diǎn)，以AB所在對(duì)的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B（1，0），C（0，1）設(shè)P的坐標(biāo)為（m,0）OWmWl,Q的坐標(biāo)為（0,n）,OWnW1,EQ=(-1,n),CP=(m,-1),BQ?CP=-m-n=-(m+n)±-2，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號(hào),故瓦?更的最小值為-2,故選：B.（5分）某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度x（單位：°C）滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b（e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k,b為常數(shù)），若該食品在0°C的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22°C的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33°C的保鮮時(shí)間是（）小時(shí).A.22B.23C.24D.33【解答】解：某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度x（單位：°C）滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b（e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k,b為常數(shù)），該食品在0°C的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22°C的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，解得解得e11k=l,???該食品在33°C的保鮮時(shí)間：y=e33k+b=（。皿）3心=（寺）3X192=24（小時(shí)）.故選：C.

(5分)關(guān)于x的方程x2+arcsin(cosx)+a=0恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根x】、x2、x3，則x12+x22+x32=()A.1B.2C.D.2n2【解答】解：令f(x)=x2+arcsin(cosx)+a，可得f(-x)=(-x)2+arcsin(cos(-x))+a=f(x),則f(x)為偶函數(shù)，???f(x)=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根,a=.*.f(0)=0,即0+*-+a=0,故有a=關(guān)于x的方程即x2+arcsin(cosx)??乂2=0,且X]2+arcsin(cosx】)-*=0,x32+arcsin(cosx3)=0x32+arcsin(cosx3)由y=x2和y=*-arcsin(cosx),當(dāng)x>0,且OVxVn時(shí)，y=*--arcsin(cosxy=*--arcsin(cosx)=兀arcsin2(sin(*-x))詩(shī)(-2--x))=x,則-nVxVO時(shí)，y=*arcsin(cosx)=-x，由y=x2和由y=x2和y=*-arcsin它們有三個(gè)交點(diǎn)，且為(cosx)的圖象可得:0，0)，(-1，1)，(1，1)，則x12+x22+x32=0+1+1=2.故選:B.故選:B.三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）（14分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A±A=1.（1）求異面直線BC1與CD1所成的角；（2（2）求三棱錐B-D1AC的體積.【解答】解：（1）T在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD/BC】,AZAD1C是異面直線BC1與CD1所成的角或其補(bǔ)角?（2分）???AB=2,AD=1,A1A=1-???在等腰△ACD1中，撾＞5,CD］二;5AD^/2???cosZCD件曲代時(shí)一心戈+"2AD]????cosZCD件曲代時(shí)一心戈+"2AD]?CD]2X^210???異面直線BC1與CD1所成的角arccos-jy-=J°，…（4分）…(1分)(2)vB-D(4分)yXyX弘ABCXDD]|_x(*xix2)xi-|.3分)18.（14分）在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知二⑵1），n=(ccosC,acosB+bcosA/且皿丄門?1）求C；⑵若c2=7b2,且陸眩二2｛弓，求b的值?【解答】解：(1)由門,?：2ccosC+acosB+bcosA=0,由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0，2sinCcosC+sin(A+B)=0；2sinCcosC+sinC=0；由sinCHO,由c2=a2+b2-2abcosC,7b2=a2+b2-2abcosC,.*.a2+ab-6b2=0,.*.a=2b；由陸磁覬方知，■^~absinC=2-V3，???寺'■戈?子二2；3'???b=2.(14分)已知等差數(shù)列｛an｝的公差為2,其前n項(xiàng)和片二口/+出(n^N*,p(ER).求p的值及｛a｝的通項(xiàng)公式；n(斗(n=2k-l)在等比數(shù)列｛b｝中，b2=a1,b3=a2+4,令j二].、(k^N*),求數(shù)2132列｛c｝的前n項(xiàng)和T.nn【解答】解：(1)根據(jù)題意，等差數(shù)列｛an｝中片二p/+加，當(dāng)n±2時(shí)，有a=S-S=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2,nnn-1則an]=2p(n+1)-p+2,?an+1-an=2p=2，

??p=1,a=3+(n-1)2=2n+1,nVb2=ax=3,b3=a2+4=9,?q=3，bn=b2qn_2=3X3n_2=3n_1?當(dāng)n=2k,k^N*時(shí)，Tn=ai+b2+a3+b4+-+a2k_1+b2k=(叫+日3+」％一+(b2+b4+^+b2k)=(3+7+^+4k"1)+(3+27+^+32k-1)=_□(=-當(dāng)n=2k-1,k^N*時(shí)，n+1是偶數(shù)，_(門=???Tn=-'呼V???Tn=-(n+l)$+2)*專^n=2k_1；疋屮(16分)已知橢圓廠：嶺+丫|二1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F］、F2,設(shè)點(diǎn)A(0，b)，在^AF1F2中，上卩］也f?二備L，周長(zhǎng)為4+2/3.求橢圓「的方程；設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓「相交于B、C兩點(diǎn)，若直線AB與AC的斜率之和為-1，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；記第(2)問(wèn)所求的定點(diǎn)為E，點(diǎn)P為橢圓「上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試根據(jù)AAEP面積S的不同取值范圍，討論AAEP存在的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.，得/F］A0=^~，??且二2b二§&??①

???橢圓方程為93=2b=l又厶AF]F2周長(zhǎng)為4+2迓，.??亦+2C二4+2???橢圓方程為93=2b=l聯(lián)立①②y=kK+inx2+4y2=4（2）證明：設(shè)直線丨方程：y=kx+m，交點(diǎn)B（x1，y1）,C（x2，y2），得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2y=kK+inx2+4y2=4依題：kAB+kAC=-依題：kAB+kAC=-1,即:X1x2二_1，得，則m=-2k-1.Vyi=kx1+m,y2=kx二_1，得，則m=-2k-1.?y=kx+m=kx-2k-1過(guò)定點(diǎn)(2，-1)；解:lAE：x+y-1=0，A(0,D，E(2,-1),|AE1=2.2.設(shè)直線I：y=-x+t與橢圓普+/二i相切，y=-s+t_x￡+^2_1，得y^2-2tx+t2-l=0-由厶=4t2-5(t2-1)=0,得t=±■:5.得兩切線到lAE：x+y-1=0的距離分別為dl=-4i）4二匚苧，?△肛P）己i二寺吃?:2■冷二.：5+1，（肚冊(cè)）屯二寺吃?:2■冷二當(dāng)Saaep>-5+1時(shí)，Aaep個(gè)數(shù)為0個(gè)；當(dāng)SAaep=/5+1時(shí)，Aaep個(gè)數(shù)為1個(gè);當(dāng).5-1<Saaep<,5+1時(shí)，^AEP個(gè)數(shù)為2個(gè);當(dāng)陸怔產(chǎn)污一1時(shí)，°AEP個(gè)數(shù)為3個(gè);當(dāng)0＜陸蛙匚5-1時(shí)，AAEP個(gè)數(shù)為4個(gè).21.(18分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)閒(D),即f(D)={y|y=f(x),xGD}，若f(D)匸D,則稱f(x)在D上封閉.分別判斷函數(shù)f(x)=2017x+log2o17x，呂(J二羊在(0,1)上是否封閉，說(shuō)明理由；函數(shù)f(x)=VTKL+k的定義域?yàn)镈=［a，b］，且存在反函數(shù)y=f」(x)，若函數(shù)f(x)在D上封閉，且函數(shù)f-1(x)在f(D)上也封閉，求