超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)在量子信息中的應(yīng)用

超導(dǎo)電荷量子比特在量子信息中的應(yīng)用喬盼盼，艾合買提?阿不力孜（新疆師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，新疆烏魯木齊830054）摘要：隨著量子計(jì)算機(jī)以及量子算法的提出，人們開(kāi)始尋找可以實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)的真實(shí)物理體系。超導(dǎo)量子電路以其豐富的可設(shè)計(jì)性和優(yōu)良的易集成性成為最有潛力實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)的人造量子體系。本文介紹了超導(dǎo)量子比特的基本原理、超導(dǎo)電荷量子比特的耦合以及耗散和退相干問(wèn)題，展望了超導(dǎo)電荷量子比特在量子計(jì)算和量子信息科學(xué)中的應(yīng)用前景。關(guān)鍵詞：超導(dǎo)電荷量子比特Josephson效應(yīng)量子信息1、引言量子計(jì)算機(jī)的提出給人們描繪一幅經(jīng)典計(jì)算機(jī)不能比擬的美好畫面。Shor量子算法的提出使得人們對(duì)于基于大數(shù)因子分解問(wèn)題的難解性的現(xiàn)行公鑰密碼體系安全性提出了質(zhì)疑。利用量子保密協(xié)議則實(shí)現(xiàn)絕對(duì)安全的保密通信成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)話題［1］。要實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算和量子計(jì)算機(jī)以及量子通訊需要最基本的物理量子體系作為支持。適用的量子體系需要滿足5個(gè)條件：可初始化，可調(diào)控，可耦合，可測(cè)量，以及長(zhǎng)的相干時(shí)間［2］?，F(xiàn)在正在研究的量子計(jì)算體系有很多，主要的有：量子點(diǎn)系統(tǒng)、超導(dǎo)量子電路、離子阱系統(tǒng)、光學(xué)系統(tǒng)、核磁共振系統(tǒng)等。其中作為宏觀量子體系的超導(dǎo)量子電路以其豐富的可設(shè)計(jì)性和優(yōu)良的易集成性成為最有潛力實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)的人造量子體系。常見(jiàn)的超導(dǎo)量子比特按其宏觀變量的不同可以分為超導(dǎo)電荷量子比特、超導(dǎo)磁通量子比特和超導(dǎo)位相量子比特。本文將重點(diǎn)介紹基于電荷自由度的超導(dǎo)電荷量子比特的基本原理，量子比特間的耦合以及耗散和退相干問(wèn)題。在文章的最后對(duì)超導(dǎo)電荷量子比特在量子計(jì)算和量子信息科學(xué)中的應(yīng)用前景進(jìn)行了展望。2、超導(dǎo)電性與超導(dǎo)電荷量子比特早在上世紀(jì)八十年代初，2003年Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)得主Anthony.J.Leggett就提出了Josephson系統(tǒng)中的宏觀量子相干。他指出，在Josephson結(jié)電路中可以觀測(cè)到宏觀量子相干現(xiàn)象。但與光子的雙縫干涉或者是電子的隧道效應(yīng)的區(qū)別在于Josephson結(jié)電路中的表現(xiàn)形式是大量電子集團(tuán)運(yùn)動(dòng)的相干迭加。超導(dǎo)量子電路的關(guān)鍵部分是一類人造

的量子體系小電容超導(dǎo)Josephson結(jié)，如圖1（a）示。Josephson結(jié)是由“超導(dǎo)體一絕緣體一超導(dǎo)體”結(jié)構(gòu)組成三層結(jié)構(gòu)，其中的絕緣體很薄，一般不超過(guò)10納米。超導(dǎo)電性的物理原理在由Bareen、Cooper和Schrieffer建立的BCS理論中得到了很好的解釋。該理論認(rèn)為材料中的電子在費(fèi)米球附近形成Cooper對(duì)（電荷量為2e，質(zhì)量為由r,t|2表示Cooper對(duì)密度，2mc,自旋為0），并且凝聚到一個(gè)能量基態(tài)上。該能量基態(tài)可以用一個(gè)宏觀波函數(shù)表示W(wǎng)r,f，其中r表示空間變量，，表示時(shí)間變量。與其他量子力學(xué)的波函數(shù)一樣，中G,t）exp幻r,t表示相位因子，可以寫為①r,texp渺r,t，其中W由r,t|2表示Cooper對(duì)密度，exp幻r,t表示相位因子，/■絕緣體層建丫休1/7一?，壓奪體O?/L_——K5如er對(duì)隧穿圖1（a）Josephson結(jié)示意圖。兩個(gè)超導(dǎo)體被一層絕緣層阻隔。Cooper對(duì)可以隧穿過(guò)絕緣層從而在結(jié)中形成電流；（b）最簡(jiǎn)單的超導(dǎo)電荷量子比特示意圖。宏觀波函數(shù)導(dǎo)致超導(dǎo)體中兩個(gè)非常重要的現(xiàn)象。第一種現(xiàn)象是磁通量子化。將一個(gè)用超導(dǎo)材料制成的閉合圈放置在外磁場(chǎng)中，降低溫度至其轉(zhuǎn)變溫度后撤去外加磁場(chǎng)，環(huán)中的磁通中是磁通量子①°三%故2.07x10-15Tm2的整數(shù)倍。磁通量子化是中G/）單值性要求的結(jié)果。第二種量子化現(xiàn)象是Josephson隧穿。Josephson結(jié)中絕緣層很薄，使得Josephson結(jié)兩側(cè)超導(dǎo)體中的Cooper對(duì)可以隧穿過(guò)絕緣層，從而在結(jié)中形成電流。這就是Josephson效應(yīng)。與Josephson耦合能弓三/。%/2兀相關(guān)的相位差目和與Josephson充電能氣三&2/2C（C為總電容）相關(guān)的電荷量Q的對(duì)易關(guān)系為6,Q=i2e，滿足Heisenberg不確定關(guān)系。當(dāng)EJ）EC時(shí)，右’確定但Q有很大的量子漲落，此時(shí)位相自由度起主導(dǎo)作用，在這個(gè)區(qū)域工作的量子比特稱為超導(dǎo)磁通量子比特（fluxqubit）。當(dāng)Ej《Ec時(shí)，結(jié)電容中的Cooper對(duì)數(shù)n確定即結(jié)中的電荷量確定，但位相差漲落很大，電荷自由度起主導(dǎo)作用，在這個(gè)區(qū)域工作的量子比特稱為超導(dǎo)電荷量子比特（chargequbit）。當(dāng)Ej與EC相差不大時(shí)，相位和電荷自由度都有一定的漲落，工作在這個(gè)區(qū)域的量子比特稱為超導(dǎo)位相量子比特（phasequbit）［4］。在以下的內(nèi)容中我們把注意力放在超導(dǎo)電荷量子比特上。如上所述，超導(dǎo)電荷量子比特的工作區(qū)域?yàn)槌潆妳^(qū)極限條件。此時(shí)Josephson充電能EC遠(yuǎn)大于Josephson耦合能Ej。最簡(jiǎn)單的超導(dǎo)電荷量子比特結(jié)構(gòu)如圖一所示。超導(dǎo)電荷量子比特的主體結(jié)構(gòu)是由三部分組成的，第一部分是一個(gè)帶有n個(gè)過(guò)量Cooper對(duì)的超導(dǎo)島，也叫做Cooper對(duì)盒（Cooper-pairbox）;第二部分是一個(gè)電容為Cj耦合能為Ej的Josephson結(jié)；第三部分是一個(gè)超導(dǎo)電極。除此之外，還有一個(gè)通過(guò)電容為C^的門電容與系統(tǒng)耦合的電壓為V的控制門電壓。我們可以通過(guò)以下的比擬來(lái)更形象的理解Cooper對(duì)盒的工作原理。gCooper對(duì)盒就像一個(gè)儲(chǔ)水的罐子，當(dāng)然此時(shí)“水”是指以Cooper對(duì)形式存在的超導(dǎo)電子。罐子里的“水”可以通過(guò)閥門（Josephson結(jié)）用一個(gè)泵（控制門電壓）抽出或是抽入到一個(gè)大水庫(kù)（超導(dǎo)電路）中。其中超導(dǎo)島要足夠的小以至于熱能kT（kB為波爾茲曼常數(shù)）比零壓時(shí)的單電子電荷能Ec=叫"十匕）小很多。當(dāng)T=1K時(shí)，要求結(jié)的總電容小于1fF。這在當(dāng)今的技術(shù)水平上是可以達(dá)到的。選取超導(dǎo)能隙△比單電子電荷能Ec還要大的超導(dǎo)材料，低溫下準(zhǔn)粒子隧穿被抑制在極低的水平上，甚至可以達(dá)到在超導(dǎo)島上沒(méi)有準(zhǔn)粒子激發(fā)的狀態(tài)。此時(shí)在超導(dǎo)結(jié)中只有Cooper對(duì)的相干隧穿，系統(tǒng)的哈密頓量為：H=4Ec（n—n）2—EjcosB（1）式中n是島中額外Cooper對(duì)數(shù)算符，。是超導(dǎo)結(jié)中兩側(cè)超導(dǎo)體的相位差算符，如前面所講，這是一對(duì)滿足Heisenberg不確定關(guān)系的力學(xué)量算符［5］。七是無(wú)量綱的門電荷，是系統(tǒng)的控制參量且有七三CgVgHe。需要注意的是雖然n是整數(shù)，但是七是連續(xù)變量浩E^>Ej時(shí)，在溫度極低的情況下，Cooper對(duì)盒中最重要的兩個(gè)量子態(tài)分別是n=0和n=1的超導(dǎo)—_11一―，，電荷態(tài)。在n=7;的間并點(diǎn)附近，cooper對(duì)盒的哈密頓量可以與為類似自旋為兀系統(tǒng)的形g22式：

H=—1Ba-1Ba（4）ctrl2乙乙2xx一⑴，.（0）超導(dǎo)電荷量子態(tài)*=0和*=1分別類似于自旋基態(tài)|。=0和Il）=1。而（4）式的兩個(gè)能量本征態(tài)I士;為超導(dǎo)電荷態(tài)|0和|1能級(jí)交叉的簡(jiǎn)并點(diǎn)，i±；=」210許I1；。3、超導(dǎo)電荷量子比特的耦合為了實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算我們需要對(duì)單個(gè)量子比特進(jìn)行操控，使其兩個(gè)量子態(tài)可以根據(jù)需要進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。超導(dǎo)電荷量子比特的兩個(gè)量子態(tài)可以通過(guò)調(diào)節(jié)隧穿耦合來(lái)實(shí)現(xiàn)。對(duì)隧穿耦合的控制是利用超導(dǎo)量子干涉儀（superconductingquantuminterferencedevice），簡(jiǎn)寫為SQUID來(lái)實(shí)現(xiàn)的。首先，我們來(lái)看一下超導(dǎo)量子干涉儀。超導(dǎo)量子干涉儀是將一個(gè)弱連接超導(dǎo)體或兩個(gè)弱連接超導(dǎo)體和大塊超導(dǎo)體組成的環(huán)路，這時(shí)環(huán)路中將會(huì)產(chǎn)生宏觀量子干涉效應(yīng)。最一般的情況是將兩個(gè)Josephson結(jié)并聯(lián)在超導(dǎo)體環(huán)路中，如圖2（a）中所示的情況就是將兩個(gè)Josephson結(jié)平行的并聯(lián)在一個(gè)環(huán)形超導(dǎo)體環(huán)路中構(gòu)成的超導(dǎo)量子干涉儀。SQUID對(duì)外磁通非常敏感，也被用來(lái)制作測(cè)量極弱磁場(chǎng)的敏感磁力計(jì)。SQUID同電容、電感一樣是構(gòu)成超導(dǎo)電路的基本元件。圖2（a）由圓環(huán)形超導(dǎo)體連接的兩個(gè)并聯(lián)的Josephson結(jié)組成的超導(dǎo)量子干涉儀（SQUID）示意圖；（b）用兩個(gè)超導(dǎo)Josephson結(jié)組成的SQUID代替一個(gè)Josephson結(jié)組成的耦合可調(diào)超導(dǎo)電荷量子比特示意圖其次，我們介紹利用SQUID來(lái)實(shí)現(xiàn)單量子的隧穿耦合。為了控制Josephson結(jié)中的隧穿幾率，我們需要控制Josephson耦合能Ej。我們可以用超導(dǎo)量子干涉儀來(lái)代替超導(dǎo)電荷量子比特中的單個(gè)超導(dǎo)Josephson結(jié)達(dá)到這樣的目的。如圖2（b）所示就是一個(gè)有效Josephson耦合可控的電荷量子比特。超導(dǎo)環(huán)中有通過(guò)環(huán)狀電感與系統(tǒng)耦合的外加磁場(chǎng)，其中通過(guò)環(huán)的磁通量為小x。改變環(huán)中的磁通量不但可以調(diào)節(jié)兩個(gè)Josephson結(jié)中的相位差，還可以調(diào)節(jié)超導(dǎo)電荷量子比特整體的隧穿耦合，使得單比特操作更加簡(jiǎn)單精準(zhǔn)。3)壬(b)|(c)圖3不同耦合方式的超導(dǎo)量子比特示意圖（a）用電容耦合兩個(gè)超導(dǎo)電荷量子比特的示意圖，其中Cm是耦合電容；（b）用電感的方式耦合兩個(gè)超導(dǎo)電荷量子比特的示意圖，其中L是耦合電感；（c）用電感和電容組成的高頻LC諧振器方式耦合兩個(gè)超導(dǎo)電荷量子比特的示意圖再次，有了對(duì)單量子比特的可控操作，為了實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算功能，我們還需要有控制量子比特間耦合、相互作用的能力以及實(shí)現(xiàn)兩比特甚至多比特的邏輯門。對(duì)于量子比特間的耦合和相互作用，最直接的方法就是通過(guò)電容將兩個(gè)超導(dǎo)電荷量子比特直接連接起來(lái)，如圖3（a）所示。其相互耦合的方式可以用形式的Hamiltonian來(lái)描述，常簡(jiǎn)稱為ZZ耦合。這樣ZZ做的優(yōu)點(diǎn)在于易于實(shí)現(xiàn)受控非門（Controlled-Not）操作和實(shí)現(xiàn)兩比特間的強(qiáng)耦合。但是由于我們要對(duì)兩個(gè)比特間耦合和相互作用進(jìn)行開(kāi)關(guān)和調(diào)控，需要在電路中接入外部控制電路，從而使得超導(dǎo)電荷量子比特系統(tǒng)與外界的耦合加強(qiáng)，由此引起了嚴(yán)重的退相位（dephase）效應(yīng)。這是我們不希望看到的。用電容直接耦合超導(dǎo)電荷量子比特的方法其耦合不能調(diào)控并且耦合只限制于相鄰的兩個(gè)量子比特之間［6］。第二種耦合兩個(gè)超導(dǎo)電荷量子比特的方法是用電感將不同的量子比特連接，如圖3（b）所示。這種耦合方式可以用。。形式的Hamiltonian來(lái)描述，常簡(jiǎn)稱為XX耦合。與用電容xx耦合方式不同，利用電感耦合量子比特可以實(shí)現(xiàn)任意兩個(gè)比特間的耦合，并且不限制兩個(gè)比特的位置是否相鄰。同時(shí)該耦合的開(kāi)關(guān)和調(diào)控只需要用外加磁場(chǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，這就很大程度上減少了量子比特系統(tǒng)感受到的外界環(huán)境噪聲。不過(guò)兩個(gè)量子比特間的強(qiáng)耦合需要較大的電感才能實(shí)現(xiàn)［6］。第三種實(shí)現(xiàn)兩個(gè)超導(dǎo)電荷量子比特間耦合的方法是用高頻LC諧振器將不同量子比特連接起來(lái)，如圖3(c)所示。高頻LC諧振器主要由電容和電感組成。此時(shí)的耦合方式可以用。ayy形式的Hamiltonian來(lái)描述，常簡(jiǎn)稱為YY耦合。采用這種方案耦合電荷量子比特具有良好的可擴(kuò)展性，但是對(duì)于相位和共振頻率有一定的條件限制［5］。除了以上三種常規(guī)耦合方式外，還有針對(duì)以上耦合方式的局限性設(shè)計(jì)出的改良方式以期得到更好的耦合效果和可操控能力。4、超導(dǎo)電荷量子比特的耗散和退相干問(wèn)題雖然超導(dǎo)電路有良好的量子相干性，但是由于量子體系的不可封閉性，在實(shí)現(xiàn)超導(dǎo)量子比特體系時(shí)必須的外部控制體系以及超導(dǎo)體內(nèi)部的缺陷等使得耗散和退相干成為不可避免的問(wèn)題。比如操控超導(dǎo)電荷量子比特耦合的電路中包含一些必不可少的阻抗元件，這些阻抗元件在電路中就會(huì)產(chǎn)生電壓和電流噪聲；此外襯底的缺陷、本底電磁噪聲等也是造成超導(dǎo)電路耗散和消相干的原因。對(duì)于我們所介紹的超導(dǎo)電荷量子比特體統(tǒng)與環(huán)境耦合的問(wèn)題，電路中阻抗元件產(chǎn)生的電流和電壓漲落一般都服從高斯分布，具有Johnson-Nyquist能譜結(jié)構(gòu)，與量子系統(tǒng)線性耦合［7］。這些特點(diǎn)使得我們可以用具有一定頻率普和耦合強(qiáng)度的諧振子庫(kù)與量子系統(tǒng)耦合的自旋■玻色子模型來(lái)描述系統(tǒng)和環(huán)境的演化問(wèn)題。需要注意的是，在超導(dǎo)量子比特中以上提到的噪聲都可以認(rèn)為是低頻噪聲，常常也說(shuō)做1/f噪聲。1/f噪聲按來(lái)源分可分為電流漲落、電荷漲落和磁通漲落三種。對(duì)于超導(dǎo)電荷量子比特而言，電荷漲落是引起退相干的主要因素。但是到目前為止人們對(duì)于低頻噪聲的機(jī)理還不清楚。5、展望超導(dǎo)電荷量子比特作為人造二能級(jí)體系［8］在量子理論與實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用十分廣泛。除了常見(jiàn)的用超導(dǎo)電荷量子比特實(shí)現(xiàn)單比特、兩比特以及多比特邏輯門［9］外，人們還用它來(lái)設(shè)計(jì)量子計(jì)算方案，實(shí)現(xiàn)量子容錯(cuò)計(jì)算［9］等。近年來(lái)用微波輻照的方法來(lái)控制電荷量子比特的實(shí)驗(yàn)［10］也取得了進(jìn)展。此外將超導(dǎo)電荷與電磁腔耦合的實(shí)驗(yàn)引起人們的關(guān)注。與此同時(shí)超導(dǎo)電荷量子比特在不同環(huán)境下的量子糾纏等量子關(guān)聯(lián)特性［11］也是研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。雖然用超導(dǎo)電荷量子比特能否實(shí)現(xiàn)真正意義上的量子計(jì)算還是一個(gè)未知數(shù)，但是其展現(xiàn)出的優(yōu)良的可擴(kuò)展性和多自由度的可設(shè)計(jì)性是其他人造量子體系不能比擬的。隨著人們對(duì)其特性的深入了解，超導(dǎo)電荷量子比特以及其他超導(dǎo)量子比特必將給我們帶來(lái)更多實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算和量子通信的可能性。參考文獻(xiàn)：MichaelA.Nielsen,IsaacL.Chuang.QuantumComputationandQuantumInformation[M].北京:高等教育出版社，2003.張永德.量子信息物理原理[M].北京:科學(xué)出版社，2005.張?jiān)：?超導(dǎo)物理[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2009.J.Q.You,FrancoNori.SuperconductingCircuitsandQuantumInformation[J].Phys.Today,58(11)2005.YuriyMakhlin,GerdSchon.Quantum-stateengineeringwithJosephson-juctiondevices[J].ReviewsofModernPhysics,V)lume73,2001.游建強(qiáng).基于超導(dǎo)量子器件的量子計(jì)算[J].物理，39(12)，2010.JohnClarke,FrankK.Wilhelm.Superconductingquantumbits[J].Nature,Vol453,2008J.Q.You,FrancoNori.Atomicphysicsandquantumopticsusingsuperconductingcircuits[J].Nature,2011.SMontangero,TCalaro.RobustoptimalquantumgatesforJosephsonchargequbit[J].PRL,2007J.Q.You,F.Nori.Quantuminformationprocessingwithsuperconductingqubitsinamicrowavefield.PRB,68,064509,2003LiaoQing-Hong.ControloftheEntanglementbetweenTwoJosephsonChargeQubits[J].ChinesePhys.Lett.28,060307,2011QuantumInformationUsing

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