-通信原理-隨機(jī)過程

第3章隨機(jī)過程3.1隨機(jī)過程基本概念自然界中事物的變化過程可以大致分成為兩類：(1)確定性過程：其變化過程具有確定的形式，數(shù)學(xué)上可以用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來描述。(2)隨機(jī)過程：沒有確定的變化形式。每次對它的測量結(jié)果沒有一個(gè)確定的變化規(guī)律。數(shù)學(xué)上，這類事物變化的過程不可能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來描述。隨機(jī)信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過程。1.隨機(jī)過程的分布函數(shù)隨機(jī)過程定義：設(shè)Sk(k=1,2,…)是隨機(jī)試驗(yàn)。每一次試驗(yàn)都有一條時(shí)間波形(稱為樣本函數(shù))，記作xi(t),所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體{x1(t),x2(t),…,xn(t),…}構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作［(t)。無窮多個(gè)樣本函數(shù)的總體叫做隨機(jī)過程。樣本函數(shù)的總體(隨機(jī)過程)隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)的特點(diǎn)。在進(jìn)行觀測前是無法預(yù)知是空間中哪一個(gè)樣本。在一個(gè)固定時(shí)刻t1,不同樣本的取值xi(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)過程是處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。設(shè)1(t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，在任意給定的時(shí)刻11其取值1(11)是一個(gè)一維隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。把隨機(jī)變量1(11)小于或等于某一數(shù)值x1的概率(5(t1)<x1}記為F1(x,t)，即11 F1(x1,t1)=P{1(t1)<x1}如果F1對x1的導(dǎo)數(shù)存在，即

竺沁=f(x,t)dx 1111f(x,t1)稱為W⑴的一維概率密度函數(shù)。同理，任給t],t2,…tn￡T,則W(t)的n維分布函數(shù)被定義為F(x,x,x;t,t,t)=P｛己(t)<x,己(t)<x沙FJx,x2…;H…J")=f(x,x…,x；t,t...,t)Qx°x...Qx 112n12n為W(t)的n維概率密度函數(shù)。2.隨機(jī)過程的數(shù)字特征用數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡單直觀。數(shù)字特征是指均值、方差和相關(guān)系數(shù)。是從隨機(jī)變量的數(shù)字特征推廣而來的。(1)數(shù)學(xué)期望(均值)表示隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動中心，即均值。P(X)a(t)=E[￡(t)]=I xf1(x,t)dx積分是對x進(jìn)行的，表示t時(shí)刻各個(gè)樣本的均值，不同時(shí)刻t的均值構(gòu)成擺動中心。(2)方差8t)2=EE8t)28t)2=EE8t)202(t)=D8t)=E8t)—Epoox2f(x,t)dx—[a(t)]2(3)協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)反映隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度自協(xié)方差函數(shù)：B((,t2)=E§(()-a(tjg(t2)-a(12)p(x)p(x)[x—a(t)][x—a(t)]f(x,x;t,t)dxdx1 1 2 2 2 1 21 2 1 2自相關(guān)函數(shù)(反映同一過程的相關(guān)程度)R(t,t)=E((t氏(t)=JJxxf(x,x;t,t)dxdx關(guān)系：B(11,12)=R(11,12)—a(11)a(12)互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)B§刀(t1,12)=e[式t1)-&(t1)][77(12)-a(12)互協(xié)方差及互相關(guān)函數(shù)RW2)=E￡("12)這里，將相關(guān)函數(shù)的概念引伸到兩個(gè)隨機(jī)過程，也可以引伸到多個(gè)隨機(jī)過程。3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程.平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則該隨機(jī)過程稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程。分析數(shù)學(xué)意義！fn(x1，x2，…"J11J2f(x1,x2，,,?x，,1+T,t2+T，?,?，”—|—t)定義中n和t是任意的，因此，一維分布與t無關(guān)，二維分布只與t1,t2間隔有關(guān)。f(x1,t1)=f(xj f2(x1,x2;")=f2(x1,x2")平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征：均值： E[e(t)]=r0°xf(x,t)dx=r0°xf(x)dx=aTOC\o"1-5"\h\z、 I-co I-OQ均值與時(shí)間無關(guān)(在某一時(shí)刻對隨機(jī)變量x求平均)。方差： E[￡(t)—a(t)]2=r°°(x_a)2f(x,t)dx=f°°(x—a)2f(x)dx=a2JOQ JOOpoopoo相關(guān)函數(shù)：R(t,t)=Ixxf(x,x;t,t)dxdx=R(t_t)=R(丁)12J—gJ—g1221212 1 2 1 2結(jié)論：①均值，方差與時(shí)間無關(guān)。②相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。同時(shí)滿足①和②的過程稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱為平穩(wěn)過程。嚴(yán)平穩(wěn)必然是廣義平穩(wěn)的，但廣義平穩(wěn)并不一定的嚴(yán)平穩(wěn)的。通信系統(tǒng)中的信號和噪聲，大多為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱為平穩(wěn)過程。(即任何時(shí)刻噪聲信號的平均值、方差是相同的)平穩(wěn)隨機(jī)過程是隨機(jī)過程中非常重要的過程之一，它具有許多突出的特性，并且提供了一類分析問題的方法。.各態(tài)歷經(jīng)性

平穩(wěn)過程在一定條件下具有一個(gè)非常有用的特性，稱為各態(tài)歷經(jīng)性：具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征完全由隨機(jī)過程的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替。設(shè)Mt)是平穩(wěn)過程之(t)的任意一個(gè)樣本，則其時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)系數(shù)分別定義為：lim尸0°x(t)x(t+7)dt—Rx(t)x(t+7)dt—R(t)是對某一任意樣本x(t)對時(shí)間求平域如果x(t)是周期函數(shù)，則公式中的T取為周期T0即可，不需要再求極限。如果平穩(wěn)過程使下式成立： a=aR(7)=R(丁)稱該平穩(wěn)過程1(t)具有各態(tài)歷經(jīng)性。第一式表明的是：任一樣本的時(shí)間平均值與任一時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)平均值相等。意義：隨機(jī)過程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。具有各態(tài)歷經(jīng)性隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。求解各種統(tǒng)計(jì)平均時(shí)，無需作無限多次考察，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值代替過程的統(tǒng)計(jì)平均即可。例：設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為￡(t)=Acos(s，+c其中A和3c均為常數(shù)，e是在(0,2n)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，討論Kt)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。計(jì)算結(jié)果(p4i)： a=&=0A2R(t,t)=R(t)=——coscjt12 2c統(tǒng)計(jì)平均值與時(shí)間平均值相等。隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。3.平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)在平穩(wěn)過程中，均值、方差、自相關(guān)、互相關(guān)函數(shù)這四個(gè)數(shù)學(xué)特征中，自相關(guān)函數(shù)是最重要的一個(gè)。RtRt=用￡t&t+r基本性質(zhì)：dxdx1 2⑴R⑼為一t)的平均功率 R0=E222t]=S⑵口工)為工的偶函數(shù) R丁=R―T⑶口0)是自己和自己相關(guān)，為相關(guān)系數(shù)中的最大值IRTl<R0

(4)TTOO,tt+T,tt統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，平穩(wěn)過程的均值與時(shí)間無關(guān)，為常數(shù)R8=E2(<t] Roo=a2⑸R0Roo=o2證明：D^t—E&t—a2=E§2t—2a^t+a2=E[&t_2aE￡t0-a2=R0-2a?a+a2=R0-a2=R0—Rx4.平穩(wěn)過程的功率譜密度隨機(jī)過程中的任一樣本只能是一個(gè)確定的功率型信號。對于確定功率信號f⑴，功率譜密度定義為P(f)=lim六0°H./UJTOC\o"1-5"\h\zi m \i -I "1 (t'酎 *7F4)是f(t)的截短函數(shù)fT(t)所對應(yīng)的頻譜函數(shù)(P43圖)。f(t)是平穩(wěn)過程&(t)的任一樣本，因此Pff是每個(gè)樣本的譜密度。過程譜密度為對所有樣本功率譜密度的統(tǒng)計(jì)平均：PP(f)=E\Pf(f)]T—00上式為平穩(wěn)過程3(t)的功率譜密度P1(f)的定義！可證，平穩(wěn)過程的功率譜密度的PW(f)與其自相關(guān)函數(shù)R(t)是一對傅里葉關(guān)系。00 DCP(f)=/R⑺e產(chǎn)dT R(r)=/P(f)ePdf—DC —OC寫為R(7)01(f)結(jié)論1：對功率譜密度積分，可得到平穩(wěn)過程的總功率OCR(0)=/P(f)df_CX3結(jié)論2:各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)。

P(f)=Pf(f)結(jié)論3:功率譜密度的非負(fù)且對于f具有偶對稱性。P(f)>0P(f)=P(-f)3.3高斯隨機(jī)過程高斯過程(正態(tài)隨機(jī)過程)：通信領(lǐng)域中最重要的一種過程，大多數(shù)噪聲都是高斯型的。.定義：如果隨機(jī)過程自。)的任意九維分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。(P45).高斯過程的重要性質(zhì)：(1)對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征。(2)廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。(3)高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。(4)如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，則它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。fn(X1,x2，…xjt,2,...,tn)=f(X1,11)f(x2,12)...f(xn,tn).高斯隨機(jī)變量高斯過程在給定任一時(shí)刻上，其取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，稱為高斯隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為：fx=~^=~exP- 2221Va 2(r2a?均值均值常量，exp-以e為底的指數(shù)函數(shù)c?方差不同概率密度函數(shù)由線不同概率密度函數(shù)由線1xdxfxdx=2(2)1xdxfxdx=2(2)「fxdx=1J-OQ高斯隨機(jī)概率密度特性:1(1)f(x)對稱于x=a這條直線，在a處為最大，等于12G

(3)若a=0,o=1,稱為標(biāo)準(zhǔn)高斯密度函數(shù)1稱為標(biāo)準(zhǔn)高斯密度函數(shù)于x=-=exP<27T計(jì)算高斯隨機(jī)變量W小于或等于某一取值X的概率P(WWx)Fx=上忌expz—a22(j2dz也可寫成F(x)=1-+Fx=上忌expz—a22(j2dz也可寫成F(x)=1-+1-erf(22故：F(x)=1-1erfc(^)2 22a誤差函數(shù)：erf(x)=e-t2dt0互補(bǔ)誤差函數(shù)：erfc(x)=1-erf(x)=e-t2dt 性質(zhì)：erf(0)=0，erf(oo)=1，ert(-x)=-erf(x)定義Q函數(shù)：Q(x)=關(guān)系：Q(x)=Lerf(

2Xe-t2/2dt(x>0)erf(x)=2Q?2x)3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析基礎(chǔ)之上的。是對確知信號分析的推廣。線性時(shí)不變系統(tǒng)可由其單位沖激響應(yīng)h(t)或其頻率響應(yīng)H⑴來表示。設(shè)線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為機(jī)力輸入隨機(jī)過程為.(t),則輸出為W0(t),則輸入與輸出可表示成卷積關(guān)系。P(X)&t=htt=Jh丁t一丁dr對線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入^⑴是平穩(wěn)過程時(shí)，輸出響應(yīng)W0(t),則對輸入信號和輸出信號的統(tǒng)計(jì)關(guān)系有以下主要結(jié)論：(1)輸出過程的均值是一個(gè)常數(shù)。E[￡“=E[§t]H0=aH0a是輸入過程的均值，H(0)是線性系統(tǒng)在f=0時(shí)的頻率響應(yīng)。(2)若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。Rt,t+丁=Rt系統(tǒng)的輸出W0(t)的自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔T有關(guān)，與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。(3)線性系統(tǒng)輸出平穩(wěn)過程W0(t)的功率譜密度P0⑴是輸入平穩(wěn)過程W總)的功率譜密度Pi(f)與傳遞函數(shù)模的乘積平Tn|Hf.Pf(4)高斯過程經(jīng)線性變換后的輸出過程仍為高斯過程。3.5窄帶隨機(jī)過程窄帶是指頻譜均被限制在載波或某中心頻率附近一個(gè)窄的頻帶上，而這個(gè)中心頻率離開零頻率又相當(dāng)遠(yuǎn)。如果這時(shí)的信號或噪聲是一個(gè)隨機(jī)過程，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程。在通信系統(tǒng)中，許多實(shí)際信號和噪聲都滿足窄帶的假設(shè)。窄帶隨機(jī)過程的一個(gè)樣本波形如同一個(gè)包絡(luò)和隨機(jī)相位緩變的正弦波。P(f)S載波頻率汨V印信號頻譜窄帶隨機(jī)過程的頻譜密度和波形汨V印信號頻譜窄帶隨機(jī)過程的頻譜密度和波形窄帶過程表達(dá)式：tt=a&tcos|st+外t1 %t>0' cCs-I'振幅和相位的變化相對于載波的變化要緩慢得多。窄帶隨機(jī)過程也可表示為同相分量與正交分量的形式：￡(t)=&(t)cos3t—￡(t)singt其中同相分量：c(t)=%(t)cos汽(t)正交分量：s(t)=%(t)sin%(t)1.^(t)c和es(t)的統(tǒng)計(jì)特性討論均值為零的平穩(wěn)高斯窄帶過程的統(tǒng)計(jì)特性，即討論以下量的統(tǒng)計(jì)特性：.('),如(t),&(t),&()結(jié)論1:一個(gè)均值為零、方嘲為 的窄帶高斯過程，假定它是平穩(wěn)的1則它時(shí)s也平穩(wěn)，而且均值均為零，方差也相同，有:E[U]=E歸”=°E[U]=E歸”=°21—21—21c sscR0=R0=0（互相關(guān)系數(shù)）sccs結(jié)論2：一個(gè)均值為零，方差為。2的窄帶平穩(wěn)高斯過程&t，其包絡(luò)at的一維分布為瑞利分布，相位 的一維分布是均勻分布。并且就一維分布而言，Rt與是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。隨機(jī)包絡(luò)的概率密度函數(shù)服從瑞利函數(shù)分布：f%=—exp—叁，a>02o2隨機(jī)相位的概率密度函數(shù)服從均勻函數(shù)分布f =71f =71,0<(p<27T27r窄帶高斯過程的隨機(jī)包絡(luò)、隨機(jī)相位的波形圖：對一維分布，%t與0J統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，有：f(a「我月(aj/以)正弦波加窄帶高斯噪聲是通信中常遇到的一種情況：比如從帶通濾波器輸出正弦波已調(diào)信號與窄帶高斯噪聲信號的混合。混合信號的數(shù)學(xué)形式:r(t)=Acos(cjt+3)+n(t)cn(t)=x(t)cos避t—y(t)sinstn(t)為窄帶高斯噪聲，均值為0。正弦波加窄帶高斯過程:rt=ft+nt[AcosB+nAcosgt+0nntcosut—nt[AcosB+ntcoscjt—\Asin。+n

cL s—Ztcoscjt—ztsincjts ss c=ZtcosCJt+(ptsc其中:q'Z2其中:q'Z2tZtZt0t=arctan—ZtZ>004少工27r可以證明，正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)的概率密度函數(shù)為=——exp=——exp。2L2(12該概率密度函數(shù)稱為廣義瑞利分布，又稱Rice(萊斯)密度函數(shù)。式中為零階修正貝塞爾函數(shù)。修正的貝塞爾函數(shù)圖修正的貝塞爾函數(shù)圖當(dāng)信號很小，即A趨于0時(shí)，信號功率與噪聲功率的比值:7=當(dāng)信號很小，即A趨于0時(shí)，信號功率與噪聲功率的比值:7=則萊斯分布化為瑞利分布。A1當(dāng)信噪比很大時(shí)即7=『>>12。萊斯分布化為高斯分布。n上一02(J2n正弦波加窄帶高斯相位分布f(@)也與信噪比有關(guān)，小信噪比時(shí)，f(e)接近于均勻分布，反映這時(shí)窄帶高斯噪聲為主；大信噪比時(shí)，f(@)主要集中在有用信號附近。隨機(jī)包絡(luò)的概率密度f(z)圖:隨機(jī)相位概率密度f(6)圖:高斯白噪聲和帶限白噪聲既然有窄帶隨機(jī)過程，必然也存在寬帶隨機(jī)過程。一個(gè)理想的寬帶過程的例子是白噪聲，通信系統(tǒng)中最常見的熱噪聲近似為白噪聲。1.白噪聲其功率譜：P其功率譜：P雙邊功率譜密度單邊功率譜密度f=n(-oo<f<+oo)wHzf=n0(0<f<+g)%z雙邊功率譜密度單邊功率譜密度稱作白噪聲，是因?yàn)樗愃朴诠鈱W(xué)中包括全部可見光頻率在內(nèi)的白光。有色光：只包括可見光的部分頻率。有色噪聲：只包括部分頻率。實(shí)際中，熱噪聲頻率范圍0?1013Hz,功率譜密度在0?1013Hz內(nèi)基本均勻分布，近似為白噪聲。白噪聲的自相關(guān)函數(shù):平穩(wěn)過程的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換關(guān)系???P9=「R丁ej”TOC\o"1-5"\h\z_ 1R P.uejdu\o"CurrentDocument"27re1n n1 n「R 0-ejduu=—0 1-ejdu=—0-(57\o"CurrentDocument"2"- 22vrJr 2白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)圖：用寸& 一