2020高中數(shù)學(xué) 2.1.1 合情推理（含解析）2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)16合情推理知識點(diǎn)一歸納推理1.觀察下列不等式:1＋eq\f(1,22）＜eq\f（3,2），1＋eq\f（1,22)＋eq\f（1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22）＋eq\f（1，32）＋eq\f(1，42)＜eq\f(7，4），……照此規(guī)律，第五個不等式為()A．1＋eq\f（1,22）＋eq\f(1，32)＋eq\f（1,42)＋eq\f（1,52)＜eq\f(9,5)B．1＋eq\f（1,22）＋eq\f（1,32)＋eq\f（1,42）＋eq\f（1,52）＜eq\f(11，6）C．1＋eq\f（1,22）＋eq\f(1，32）＋eq\f(1，42)＋eq\f（1，52)＋eq\f（1，62）＜eq\f(9,5）D．1＋eq\f(1,22)＋eq\f（1，32）＋eq\f（1，42）＋eq\f（1,52）＋eq\f（1，62）＜eq\f(11，6)答案D解析觀察每行不等式的特點(diǎn),知第五個不等式為1＋eq\f（1，22）＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42）＋eq\f(1,52）＋eq\f(1,62）＜eq\f（11，6）。2．如圖所示，圖1是棱長為1的小正方體，圖2、圖3是由這樣的小正方體擺放而成．按照這樣的方法繼續(xù)擺放，自上而下分別叫第1層，第2層，……，第n層，第n層的小正方體的個數(shù)記為Sn。解答下列問題：(1)按照要求填表：n1234…Sn136…(2）S10＝________答案(1）10（2)55解析S1＝1，S2＝3＝1＋2，S3＝6＝1＋2＋3，推測S4＝1＋2＋3＋4＝10,S10＝1＋2＋3＋…＋10＝55。知識點(diǎn)二類比推理3。在公比為4的等比數(shù)列｛bn｝中，若Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)積，則有eq\f(T20,T10），eq\f(T30,T20),eq\f(T40，T30）也成等比數(shù)列,且公比為4100；類比上述結(jié)論，相應(yīng)地，在公差為3的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an｝的前n項(xiàng)和．可類比得到的結(jié)論是______________________．答案數(shù)列S20－S10,S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列,且公差為300解析因?yàn)榈炔顢?shù)列｛an}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10）＝（a21＋a22＋…＋a30）－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d＝300,同理可得：(S40－S30）－（S30－S20）＝300，所以數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差數(shù)列，且公差為300。即結(jié)論為：數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列，且公差為300.4．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：eq\f(1，AD2）＝eq\f(1，AB2）＋eq\f(1，AC2），那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由．解如圖①所示,由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC,所以eq\f(1，AD2)＝eq\f（1，BD·DC)＝eq\f（BC2，BC·BC·BD·DC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，所以eq\f(1，AD2）＝eq\f（1，AB2)＋eq\f(1,AC2)。類比猜想:四面體ABCD中，AB,AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則eq\f（1，AE2)＝eq\f（1,AB2）＋eq\f(1，AC2)＋eq\f(1，AD2）.如圖②，連接BE交CD于F,連接AF，因?yàn)锳B⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD，而AF?平面ACD，所以AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，所以eq\f（1,AE2）＝eq\f（1,AB2）＋eq\f(1,AF2)，易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，所以eq\f(1，AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1，AD2），所以eq\f（1，AE2）＝eq\f(1，AB2)＋eq\f(1，AC2）＋eq\f(1，AD2)，猜想正確．知識點(diǎn)三歸納和類比推理的應(yīng)用5.魯班發(fā)明鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿,“鋸子”能“鋸”開木材,它們在功能上是類似的．因此，它們在形狀上也應(yīng)該類似，“鋸子”應(yīng)該是齒形的．該過程體現(xiàn)了(）A．歸納推理B．類比推理C．胡亂推理D．沒有推理答案B解析推理是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程，上述過程是推理，由性質(zhì)類比可知是類比推理．6．若數(shù)列｛an}（n∈N*）是等差數(shù)列,則有數(shù)列bn＝eq\f(a1＋a2＋a3＋…＋an，n）（n∈N＊)也是等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列｛cn｝(n∈N＊)是等比數(shù)列，且cn＞0，則數(shù)列dn＝________（n∈N＊)也是等比數(shù)列．答案eq\r（n，c1·c2·c3·…·cn)解析由等差、等比數(shù)列之間運(yùn)算的相似特征知,“和eq\o(→,\s\up7(類比））積，商eq\o(→,\s\up7（類比）)開方”．容易得出dn＝eq\r（n，c1·c2·c3·…·cn)也是等比數(shù)列．一、選擇題1．歸納推理和類比推理的相似之處為（）A．都是從一般到一般B．都是從一般到特殊C．都是從特殊到特殊D．所得結(jié)論都不一定正確答案D解析歸納推理是由特殊到一般的推理，其結(jié)論不一定正確．類比推理是從特殊到特殊的推理，結(jié)論具有推測性,不一定可靠，故選D。2．下列平面圖形與空間的平行六面體作為類比對象比較合適的是(）A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形答案C解析由類比推理的定義和特點(diǎn)判斷，易知選C.3．觀察下列事實(shí)|x｜＋｜y｜＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x｜＋｜y｜＝2的不同整數(shù)解(x，y）的個數(shù)為8，|x|＋｜y|＝3的不同整數(shù)解（x，y）的個數(shù)為12,…，則|x|＋|y｜＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為()A．76B．80C．86D．92答案B解析由已知條件得，｜x|＋｜y｜＝n（n∈N*)的整數(shù)解(x,y)個數(shù)為4n，故|x|＋｜y｜＝20的整數(shù)解（x，y)的個數(shù)為80.4．如圖，在所給的四個選項(xiàng)中，最適合填入問號處，使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性的為()答案A解析觀察第一組中的三個圖，可知每一個黑色方塊都從右向左循環(huán)移動，每次移動一格，由第二組圖的前兩個圖，可知選A。5．把下列在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比到空間,結(jié)論不成立的是（)A．如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交B．如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則必與另一條垂直C．如果兩條直線與第三條直線都不相交,則這兩條直線不相交D．如果兩條直線同時與第三條直線垂直,則這兩條直線平行答案D解析類比A的結(jié)論為：如果一個平面與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交．成立．類比B的結(jié)論為：如果一個平面與兩個平行平面中的一個垂直，則必與另一個垂直．成立．類比C的結(jié)論為:如果兩個平面與第三個平面都不相交，則這兩個平面不相交．成立．類比D的結(jié)論為：如果兩個平面同時與第三個平面垂直，則這兩個平面平行．不成立．二、填空題6．已知eq\r（2＋\f(2,3））＝2eq\r（\f（2,3））,eq\r（3＋\f（3，8)）＝3eq\r（\f(3，8）)，eq\r（4＋\f（4,15））＝4eq\r（\f（4，15)），…,若eq\r（6＋\f（a,b)）＝6eq\r（\f（a，b))(a，b∈R），則a＋b＝________.答案41解析根據(jù)題意，由于eq\r（2＋\f(2,3)）＝2eq\r(\f（2,3）)，eq\r(3＋\f（3,8））＝3eq\r（\f（3，8)），eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r（\f（4,15）),…那么可知eq\r（6＋\f（a,b）)＝6eq\r（\f（a,b)),a＝6，b＝6×6－1＝35，所以a＋b＝41。7．如圖，直角坐標(biāo)系中每個單元格的邊長為1，由下往上的6個點(diǎn)1，2，3,4，5，6的橫縱坐標(biāo)(xi，yi）(i＝1，2,3,4，5，6）分別對應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N＊）的前12項(xiàng)，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此規(guī)律下去,則a2013＋a2014＋a2015的值為______．答案1007解析由題圖知a1＝x1＝1,a3＝x2＝－1，a5＝x3＝2，a7＝x4＝－2，…，則a1＋a3＝a5＋a7＝…＝a2013＋a2015＝0.又a2＝y(tǒng)1＝1，a4＝y(tǒng)2＝2，a6＝y(tǒng)3＝3,…,則a2014＝1007,所以a2013＋a2014＋a2015＝1007.答案eq\f（sinx1＋sinx2,2)＜sineq\f（x1＋x2，2）解析運(yùn)用類比推理與數(shù)形結(jié)合，可知y＝sinx(x∈(0，π））的圖象是上凸的，因此線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)eq\f(sinx1＋sinx2，2）總是小于函數(shù)y＝sinx（x∈(0,π))圖象上的點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(x1＋x2，2）,sin\f(x1＋x2,2)））的縱坐標(biāo)，即有eq\f(sinx1＋sinx2，2）＜sineq\f（x1＋x2，2）成立．三、解答題9．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°;③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2（－18°）＋cos248°－sin（－18°）cos48°；⑤sin2(－25°）＋cos255°－sin(－25°）cos55°.(1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．解(1）選擇②式計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1，2)sin30°＝eq\f（3,4)。(2）sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos(30°－α）＝eq\f(3,4）。證明：sin2α＋cos2（30°－α)－sinαcos（30°－α）＝sin2α＋（cos30°cosα＋sin30°sinα）2－sinα(cos30°cosα＋sin30°·sinα)＝sin2α＋eq\f（3,4）cos2α＋eq\f(\r（3）,2）sinαcosα＋eq\f（1，4）sin2α－eq\f(\r（3），2)sinα·cosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4）sin2α＋eq\f（3，4)cos2α＝eq\f(3,4).10．已知橢圓具有性質(zhì)：若M,N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在，并記為kPM,kPN時，kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．試對雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f（y2,b2）＝1寫出具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明．解類似的性質(zhì)為：若M,N是雙曲線eq\f(x2,a2）－eq\f(y2，b2)＝1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線P