定積分在經(jīng)濟學中的應用

6-7定積分在經(jīng)濟學中的應用1定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!1.成本函數(shù)總成本

=固定成本+可變成本平均成本(單位成本)=2.收益函數(shù)

收益=價格×銷量，即R(Q)

=PQ.

3.利潤函數(shù)

利潤=總收益-總成本，即L(Q)

=R(Q)-C(Q).

復習2定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!4.邊際f(x)

在

x=x0處的邊際值為f′(x0).

邊際的經(jīng)濟意義:當時,x改變一個單位,y改變個單位.5.常用的邊際函數(shù)邊際成本；邊際收益；邊際利潤3定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù)

問題：已知某邊際經(jīng)濟函數(shù)，求該總經(jīng)濟量.設某個經(jīng)濟函數(shù)u(x)的邊際函數(shù)為,則有

于是

4定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!3.設利潤函數(shù)L(x)=R(x)-C(x),其中x為產(chǎn)量，

R(x)是收益函數(shù),C(x)是成本函數(shù)，若

L(x),R(x),C(x)均可導，則邊際利潤為：

L

(x)=R(x)-C(x).因此總利潤為：5定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!例2已知邊際收益為,設R(0)=0,求收益函數(shù)R(x).

解

6定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!例3：設某商品的邊際收益為(1)求銷售50個商品時的總收益和平均收益；(2)如果已經(jīng)銷售了100個商品，求再銷售100個商品的總收益和平均收益；解:(2)總收益為:平均收益:7定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!由于當產(chǎn)量為零時總收入為零,即R(0)=0,于是總收入為總利潤函數(shù)為8定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!

二、由變化率求總量

例5某工廠生產(chǎn)某商品,在時刻t的總產(chǎn)量變化率為(單位/小時).求由

t

=

2

到

t

=

4

這兩小時的總產(chǎn)量

.

解

總產(chǎn)量

例6生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為,

當產(chǎn)量由200增加到300時,需追加成本為多少?

解

追加成本9定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!設有本金A0,年利率為r,則一年后得利息A0r,本利和為A0＋A0r＝A0(1＋r),n年后所得利息nA0r,本利和為An=A0+nA0r=A0(1+nr)．這就是單利的本利和計算公式．1.單利假設在期初投資一個單位的本金，在每一時期內(nèi)都得到完全相同的利息金額，這種計息方式為單利.三、收益流的現(xiàn)值與未來值10定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!資金周轉(zhuǎn)過程是不斷持續(xù)進行的,若一年中分n期計算,年利率仍為r,于是每期利率為r/n,則一年后的本利和為A1＝A０(1＋r/n

)n，t年后本利和為At＝A０(1＋r/n

)nt

，若采取瞬時結(jié)算法,即隨時生息,隨時計算,也就是n→∞時,得t年后本利和為

這就是連續(xù)復利公式．11定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!我們知道,若以連續(xù)復利率r計息,一筆P元人民幣從現(xiàn)在起存入銀行,t年后的價值(將來值)

若t年后得到B元人民幣,則現(xiàn)在需要存入銀行的金額(現(xiàn)值)

下面先介紹收益流和收益流量的概念

.

若某公司的收益是連續(xù)地獲得的,則其收益可被看作是一種隨時間連續(xù)變化的收益流.而收益流對時間的變化率稱為收益流量.4、收益流的現(xiàn)值和將來值12定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!和單筆款項一樣,收益流的將來值定義為將其存入銀行并加上利息之后的本利和;而收益流的現(xiàn)值是這樣一筆款項,若把它存入可獲息的銀行,將來從收益流中獲得的總收益,與包括利息在內(nèi)的本利和,有相同的價值.在討論連續(xù)收益流時,為簡單起見,假設以連續(xù)復利率r計息

.

13定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!在計算將來值時,收入R(t)

dt在以后的(

T

–

t

)年內(nèi)獲息,故在[

t

,t

+

dt

]內(nèi)

例8假設以年連續(xù)復利率

r=0.1

計息

(1)求收益流量為100元/年的收益流在20年期間的現(xiàn)值和將來值;

(2)將來值和現(xiàn)值的關系如何?解釋這一關系

.

解(1)

從而，將來值為收益流的將來值14定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!例9

某公司投資100萬元建成1條生產(chǎn)線，并于1年后取得經(jīng)濟效益，年收入為30萬元，設銀行年利率為10%，問公司多少年后收回投資．解設T年后可收回投資，投資回收期應是總收入的現(xiàn)值等于總投資的現(xiàn)值的時間長度，因此有即解得T=4.055，即在投資后的4.055年內(nèi)可收回投資．15定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!一般來說,以年連續(xù)復利率r計息,則在從現(xiàn)在起到

T

年后該收益流的將來值等于將該收益流的現(xiàn)值作為單筆款項存入銀行T年后的將來值.

例1設有一項計劃現(xiàn)在(

t=0

)需要投入1000萬元,在

10

年中每年收益為

200

萬元.若連續(xù)利率為

5%,求收益資本價值W.(設購置的設備10年后完全失去價值)

解資本價值=收益流的現(xiàn)值–投入資金的現(xiàn)值

16定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!設有一筆數(shù)量為A0元的資金存入銀行，若年利率為r，按復利方式每年計息一次，則該筆資金t年后的本利和為1.連續(xù)復利概念如果每年分n次計息，每期利率為r/n，則t年后的本利和為當n無限增大時，由于，故三、收益流的現(xiàn)值與未來值17定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!

第七節(jié)

定積分在經(jīng)濟學中的應用一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù)二、資金流的現(xiàn)值和未來值第六章18定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!2.已知銷售某產(chǎn)品的邊際收益為，x為銷售量，R(0)=0,則總收益函數(shù)為1.已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為，x為產(chǎn)量，固定成本為C(0),則總成本函數(shù)為19定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!

例1生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為

固定成本

C(0)

=

1000,

求生產(chǎn)

x

個產(chǎn)品的總成本函數(shù)

.

解

20定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!

例3：設某商品的邊際收益為(1)求銷售50個商品時的總收益和平均收益；(2)如果已經(jīng)銷售了100個商品，求再銷售100個商品的總收益和平均收益；解:(1)總收益函數(shù):平均收益:21定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!

例4：已知生產(chǎn)某產(chǎn)品x臺的邊際成本為(萬元/臺)，邊際收入為(萬元/臺).(1)若不變成本為C(0)=10(萬元/臺),求總成本函數(shù)，總收入函數(shù)和總利潤函數(shù)；(2)當產(chǎn)量從40臺增加到80臺時,總成本與總收入的增量;解:

(1)總成本為22定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!（萬元）(2)當產(chǎn)量從40臺增加到80臺時,總成本的增量為;當產(chǎn)量從40臺增加到80臺時,總收入的增量為;（萬元）23定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!

例7在某地區(qū)當消費者個人收入為

x

時,消費支出W(

x

)

的變化率

,當個人收入由

900

增加到

1600

時,消費支出增加多少?

解

24定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!第二年以年后的本利和A1為本金,則兩年后的本利和為A2＝A0(1＋r)＋A0(１＋r)r＝A0(１＋r)2，照此計算,n年后應得本利和為An＝A0(1＋r)n．這就是一般復利的本利和計算公式.

2.復利這種計息方式的基本思想是：利息收入自動被計入下一期的本金.就像常說的“利滾利”.三、收益流的現(xiàn)值與未來值25定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!因此，在年利率為r的情形下,若采用連續(xù)復利，有：（1）已知現(xiàn)值為A0,則t年后的未來值為At＝A０ert，（2）已知未來值為At,則貼現(xiàn)值為A０

＝Ate-rt期數(shù)趨于無窮大的極限情況下的計息方式，即每時3.連續(xù)復利每刻計算復利的方式稱為連續(xù)復利.貼現(xiàn)值：時刻t的一個貨幣單位在時刻0時的價值.26定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!收益流量實際上是一種速率,一般用R

(t)表示;若時間t以年為單位,收益以元為單位,則收益流量的單位為:元/年.(時間t一般從現(xiàn)在開始計算).若

R(t)=

b為常數(shù),則稱該收益流具有均勻收益流量.

將來值：現(xiàn)在一定量的資金在未來某一時點上的價值現(xiàn)值：將來某一時點的一定資金折合成現(xiàn)在的價值，俗稱“本金”例如：假設銀行利率為5%,你現(xiàn)在存入銀行10000塊,一年以后可得本息10500元.10500為10000的將來值,而10000為10500的現(xiàn)值.27定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!若有一筆收益流的收益流量為

R(t)

(元/年),下面計算其現(xiàn)值及將來值

.

考慮從現(xiàn)在開始(t=0)到

T

年后這一時間段

.利用元素法,在區(qū)間[

0

,T

]內(nèi),任取一小區(qū)間[

t

,t

+

dt

],在該小區(qū)間內(nèi)將

R

(t)

近似看作常數(shù)

,則應獲得的金額近似等于

R

(t)

dt

(元).從現(xiàn)在(

t=0

)算起,R

(t)

dt

這一金額是在t年后的將來而獲得,因此在

[

t

,t

+

dt

]

內(nèi),

從而，總現(xiàn)值為收益的現(xiàn)值28定積分在經(jīng)濟學中的應用共32頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!