2020高中數(shù)學(xué) 24 空間兩點間的距離（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時分層作業(yè)（二十四）（建議用時：60分鐘）［合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知平行四邊形ABCD，且A(4，1,3)，B（2,－5,1）,C（3，7，－5),則頂點D的坐標(biāo)為（）A．(－5,13，－3) B．(5，13,－3)C．(5，－13，3) D．(5,13,3)B［由平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)知,AC的中點即為BD的中點，AC的中點Meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（7，2)，4，－1）).設(shè)D（x，y，z），則eq\f（7,2)＝eq\f(x＋2,2），4＝eq\f(－5＋y,2），－1＝eq\f（1＋z,2)，∴x＝5，y＝13，z＝－3，∴D(5，13，－3）．］2．點B是點A(2，－3，5)關(guān)于平面xOy的對稱點，則AB的長為（）A．2eq\r（26） B．2eq\r(34）C．4eq\r(13) D．10D[點B的坐標(biāo)為B（2，－3,－5），∴AB＝eq\r((2－2)2＋(－3＋3)2＋（5＋5）2）＝10.]3.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，長方體的頂點C′的坐標(biāo)為(4，4，2），E，F(xiàn)分別為BC，A′B′的中點，則EF的長為()A．12 B．2eq\r(11）C．2eq\r(3） D.eq\r（10）C［由C′（4，4，2）知，B(4，0，0)，C(4，4，0），A′（0，0，2），B′(4，0，2）．由中點坐標(biāo)公式得，E(4,2，0），F(xiàn)(2，0，2），∴EF＝eq\r（（4－2)2＋（2－0）2＋（0－2）2)＝2eq\r(3）.］4．在長方體ABCD-A1B1C1D1中,若D(0，0，0），A(4，0,0），B(4，2,0)，A1（4，0，3)，則對角線AC1A．9 B。eq\r（29)C．5 D．2eq\r（6)B[由已知可得C1(0，2，3)，∴AC1＝eq\r（（0－4）2＋（2－0）2＋（3－0）2）＝eq\r（29）。］5．設(shè)A(1，1，－2)，B（3，2，8）,C（0，1,0），則線段AB的中點P到點C的距離為（）A。eq\f(\r（13），2) B。eq\f（\r（53)，4）C.eq\f(53,2） D.eq\f（\r(53），2）D[利用中點坐標(biāo)公式，得點P的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，3)），由空間兩點間的距離公式，得PC＝eq\r(（2－0）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3，2)－1）)\s\up12(2）＋（3－0）2)＝eq\f（\r（53)，2）.］二、填空題6．△ABC在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖所示,則BC邊上的中線的長是________．eq\r(3）［設(shè)BC邊上的中線長為AM，BC的中點坐標(biāo)為M(1,1，0)．又A（0,0，1),∴AM＝eq\r(12＋12＋（－1）2)＝eq\r(3).]7．已知A(1，－2,1），B(2，2，2），點P在z軸上，且PA＝PB，則點P的坐標(biāo)為________．(0,0，3)[設(shè)P(0，0，c),由題意得eq\r（（0－1）2＋（0＋2)2＋（c－1）2）＝eq\r（（0－2）2＋（0－2）2＋（c－2)2),解得c＝3，∴點P的坐標(biāo)為（0，0，3）．]8．在xOy平面內(nèi)的直線x＋y＝1上確定一點M，使點M到點N（6，5，1）的距離最小,則M點坐標(biāo)為________．(1，0，0）[設(shè)M點坐標(biāo)為(x,1－x，0)，則MN＝eq\r（（x－6）2＋（1－x－5）2＋（0－1）2)＝eq\r（2(x－1）2＋51)≥eq\r(51）（當(dāng)x＝1時，取“＝”)，∴M（1，0，0）．］三、解答題9．在直三棱柱ABC.A1B1C1中,AC＝2,CB＝CC1＝4，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1,AB，C1B1，CB的中點,如圖建立空間直角坐標(biāo)（1)在平面ABB1A1中找一點P，使△ABP（2)能否在MN上求得一點Q,使△AQB為直角三角形？若能，請求出點Q的坐標(biāo)，若不能,請予以證明．［解］(1）因為EF是AB邊的中垂線，在平面AB1內(nèi)只有EF上的點與A,B兩點的距離相等,則P必在EF上，設(shè)P（1，2，z)，則由｜PA｜＝｜AB|，得eq\r（（1－2）2＋（2－0）2＋（z－0）2）＝eq\r((0－2）2＋（4－0）2＋(0－0)2）,即eq\r（z2＋5)＝eq\r(20），∴z2＝15?！遺∈［0，4］，∴z＝eq\r(15)。故平面ABB1A1中的點P（1,2，eq\r(15））,使△ABP為正三角形．（2)設(shè)MN上的點Q(0，2，z），由△AQB為直角三角形，其斜邊的中線長必等于斜邊長的一半，∴|QF|＝eq\f（1,2)｜AB|，即eq\r（1＋z2）＝eq\r（5)，∴z＝2（0<z<4)，故MN上的點Q（0，2，2）使得△AQB為直角三角形．10．如圖，在長方體ABCD。A1B1C1D1中,AD＝AA1＝2，AB＝4,DE⊥AC，垂足為E，求B1E［解］如圖,以點D為原點,以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則D（0，0，0），B1(2，4，2),A(2，0，0)，C（0，4，0），設(shè)點E的坐標(biāo)為（x，y，0），在坐標(biāo)平面xOy內(nèi),直線AC的方程為eq\f（x,2)＋eq\f(y,4）＝1,即2x＋y－4＝0，DE⊥AC，直線DE的方程為x－2y＝0。由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（2x＋y－4＝0,,x－2y＝0，)）得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝\f(8,5），,y＝\f（4,5），）)∴Eeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(8,5），\f(4,5），0)）?！郆1E＝eq\r（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（8,5）－2))\s\up12(2）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（4，5)－4）)\s\up12(2)＋(0－2）2)＝eq\f(6\r（10），5），即B1E的長為eq\f（6\r（10）,5).［等級過關(guān)練]1．在空間直角坐標(biāo)系中，點A（－3，4，0）與點B（2，－1，6)的距離是（)A．2eq\r（43） B．2eq\r(21）C．9 D.eq\r（86)D[由｜AB｜＝eq\r（（－3－2）2＋（4＋1）2＋（0－6）2)＝eq\r（86）.］2．已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)是A（3，1,1),B（－5，2，1)，C(－4，2，3)，則它在yOz平面上的射影所組成的△A′B′C′的面積是(）A。eq\f(1，2) B．1C．2 D。eq\f（5,2）B［A,B，C三點在yOz平面上的射影為A′（0，1，1），B′（0，2，1)，C′(0，2，3),△A′B′C′是以B′為直角的直角三角形，∴S△A′B′C′＝eq\f(1，2）×1×2＝1.]3．三棱錐各頂點的坐標(biāo)分別為（0,0，0），(1，0,0），(0，2，0),（0，0，3),則三棱錐的體積為________．1［V＝eq\f(1,3）S·h＝eq\f（1，3）×eq\f(1,2）×1×2×3＝1。]4．在空間直角坐標(biāo)系中,一定點P到三個坐標(biāo)軸的距離都是1,則該點到原點的距離是________．eq\f（\r(6),2)[設(shè)P（x，y，z),由題意可知eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝1，，y2＋z2＝1，，x2＋z2＝1，））∴x2＋y2＋z2＝eq\f(3,2），∴eq\r（x2＋y2＋z2）＝eq\f（\r（6），2).］5．如圖(1)，已知矩形ABCD中,AD＝3，AB＝4。將矩形ABCD沿對角線BD折起，使得平面BCD⊥平面ABD?，F(xiàn)以D為坐標(biāo)原點，射線DB為y軸的正方向，建立如圖(2）所示空間直角坐標(biāo)系,此時點A恰好在xDy平面內(nèi)，試求A,C兩點的坐標(biāo)．［解]由題意知，在直角坐標(biāo)系D.xyz中，B在y軸的正半軸上，A，C分別在xDy平面、yDz平面內(nèi)．在xDy平面內(nèi)過點A作AE垂直y軸于點E，則點E為點A在y軸上的射影．在Rt△ABD中，由AD＝3,AB＝4，得AE＝eq\f(12,5)，從而ED＝eq\r（AD2－AE2