2020高中數(shù)學(xué) 第1章 計(jì)數(shù)原理 組合（第1課時(shí)）組合與組合數(shù)公式學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1課時(shí)組合與組合數(shù)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解組合的定義，正確認(rèn)識(shí)組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點(diǎn)）2．理解排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式，能運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算．（重點(diǎn)）3．會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題．（難點(diǎn))通過(guò)對(duì)組合和組合數(shù)公式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)“邏輯推理”、“數(shù)學(xué)運(yùn)算"的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1．組合的概念一般地，從n個(gè)不同的元素中,任取m（m≤n）個(gè)元素為一組,叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．思考1：區(qū)分一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？［提示］關(guān)鍵是看它有無(wú)順序，有順序的是排列問(wèn)題，無(wú)順序的是組合問(wèn)題．2．組合數(shù)與組合數(shù)公式組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)表示法Ceq\o\al（m,n）組合數(shù)公式乘積式Ceq\o\al（m,n)＝eq\f(A\o\al（m,n),A\o\al（m，m)）＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)階乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m!n－m！)性質(zhì)Ceq\o\al（m,n)＝Ceq\o\al（n－m,n)，Ceq\o\al(m，n＋1）＝Ceq\o\al（m，n）＋Ceq\o\al（m－1,n)備注①n，m∈N＋且m≤n；②規(guī)定：Ceq\o\al（0，n）＝1思考2：在Ceq\o\al（m，n）中有m，n∈N＋，且m≤n，為什么要規(guī)定Ceq\o\al(0,n)＝1？［提示]Ceq\o\al（0,n）＝1是為了運(yùn)算需要規(guī)定的，沒(méi)有實(shí)際意義．1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)（1）從a，b,c三個(gè)不同的元素中任取兩個(gè)元素的一個(gè)組合是Ceq\o\al（2,3）． （)(2)從1，3，5，7中任取兩個(gè)數(shù)相乘可得Ceq\o\al（2，4)個(gè)積． （)（3)1，2，3與3，2，1是同一個(gè)組合． （)（4）Ceq\o\al(3，5）＝5×4×3＝60． （）[答案］(1）×（2)√（3）√（4）×2．下面幾個(gè)問(wèn)題中屬于組合問(wèn)題的是（)①由1，2，3,4構(gòu)成的雙元素集合；②5個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)足球比賽的分組情況；③由1，2，3構(gòu)成兩位數(shù)的方法;④由1，2,3組合無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④C[①②為組合問(wèn)題，與順序無(wú)關(guān),③④為排列問(wèn)題，與順序有關(guān)．]3．Ceq\o\al(2,6）＝________，Ceq\o\al(17，18）＝________.1518［Ceq\o\al（2，6）＝eq\f（6×5,2）＝15，Ceq\o\al（17,18)＝Ceq\o\al（1，18)＝18.］4．甲、乙、丙三地之間有直達(dá)的汽車，相互之間的距離均不相等,則車票票價(jià)的種數(shù)是________．3[甲、乙、丙三地之間的距離不等，故票價(jià)不同，同距離兩地票價(jià)相同，故該問(wèn)題為組合問(wèn)題，不同票價(jià)的種數(shù)為Ceq\o\al(2,3)＝eq\f(3×2,2）＝3。］組合的概念問(wèn)題【例1】判斷下列各事件是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題．（1)10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每?jī)申?duì)比賽一次），這次比賽需要進(jìn)行多少場(chǎng)次？(2）10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽，這次比賽冠、亞軍獲得者有多少種可能？（3）從10個(gè)人里選3個(gè)代表去開會(huì)，有多少種選法？［解］(1)是組合問(wèn)題，因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)隊(duì)比賽一次并不需要考慮誰(shuí)先誰(shuí)后，沒(méi)有順序的區(qū)別．（2)是排列問(wèn)題,因?yàn)榧钻?duì)得冠軍、乙隊(duì)得亞軍與甲隊(duì)得亞軍、乙隊(duì)得冠軍是不一樣的,是有順序的區(qū)別．（3)是組合問(wèn)題，因?yàn)?個(gè)代表之間沒(méi)有順序的區(qū)別．區(qū)分排列、組合的方法區(qū)分排列與組合的方法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)志是有無(wú)順序，而區(qū)分有無(wú)順序的方法是：把問(wèn)題的一個(gè)選擇結(jié)果寫出來(lái),然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，看是否會(huì)產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說(shuō)明有順序,是排列問(wèn)題；若無(wú)新變化,即說(shuō)明無(wú)順序，是組合問(wèn)題。1．判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題．(1）把5本不同的書分給5個(gè)學(xué)生,每人一本;（2)從7本不同的書中取出5本給某個(gè)同學(xué);（3）10個(gè)人相互寫一封信，共寫了幾封信；(4）10個(gè)人互相通一次電話，共通了幾次電話．［解］（1）由于書不同,每人每次拿到的也不同，有順序之分，故它是排列問(wèn)題．（2）從7本不同的書中，取出5本給某個(gè)同學(xué),在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問(wèn)題．(3）因?yàn)閮扇嘶懸环庑排c寫信人與收信人的順序有關(guān)，故它是排列問(wèn)題．（4)因?yàn)榛ネ娫捯淮螞](méi)有順序之分,故它是組合問(wèn)題．有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算與證明【例2】(1)計(jì)算Ceq\o\al（4，10)－Ceq\o\al(3,7）·Aeq\o\al(3，3);（2）證明:mCeq\o\al（m，n）＝nCeq\o\al（m－1，n－1）。[解](1)原式＝Ceq\o\al(4，10)－Aeq\o\al(3，7）＝eq\f（10×9×8×7，4×3×2×1)－7×6×5＝210－210＝0.（2）證明：mCeq\o\al（m，n）＝m·eq\f(n！，m！n－m!)＝eq\f(n·n－1！，m－1！n－m?。絥·eq\f(n－1！,m－1！n－m?。絥Ceq\o\al（m－1,n－1）。關(guān)于組合數(shù)公式的選取技巧1涉及具體數(shù)字的可以直接用eq\f(n,n－m）Ceq\o\al(m,n－1)＝eq\f（n,n－m)·eq\f(n－1！，m！n－1－m！)＝eq\f（n！，m!n－m！)＝Ceq\o\al(m,n)進(jìn)行計(jì)算。2涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al（m，n）＝eq\f(n!,m!n－m！）計(jì)算.2．求使3Ceq\o\al（x－7,x－3）＝5Aeq\o\al（2,x－4)成立的x值．[解]根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式,原方程可化為3·eq\f（x－3！,x－7!4！)＝5·eq\f（x－4!，x－6！），即eq\f(3x－3,4！）＝eq\f(5，x－6），即為(x－3)（x－6）＝40.∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2。經(jīng)檢驗(yàn)知x＝11時(shí)原式成立．組合數(shù)的性質(zhì)[探究問(wèn)題]1．試用兩種方法求：從a，b,c，d，e5人中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，2人參加英語(yǔ)競(jìng)賽，共有多少種選法？你有什么發(fā)現(xiàn)？你能得到一般結(jié)論嗎？［提示］法一:從5人中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，剩余2人參加英語(yǔ)競(jìng)賽，共Ceq\o\al（3,5）＝eq\f(5×4×3，3×2×1）＝10（種)選法．法二：從5人中選出2人參加英語(yǔ)競(jìng)賽，剩余3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共Ceq\o\al（2，5）＝eq\f（5×4，2）＝10（種）不同選法．經(jīng)求解發(fā)現(xiàn)Ceq\o\al(3，5）＝Ceq\o\al（2，5）。推廣到一般結(jié)論有Ceq\o\al（m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n）.2．從含有隊(duì)長(zhǎng)的10名排球隊(duì)員中選出6人參加比賽，共有多少種選法？［提示]共有Ceq\o\al（6,10）＝eq\f(10×9×8×7×6×5,6×5×4×3×2×1)＝210(種）選法．3．在探究2中，若隊(duì)長(zhǎng)必須參加,有多少種選法?若隊(duì)長(zhǎng)不能參加有多少種選法？由探究2、3,你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？你能推廣到一般結(jié)論嗎？[提示]若隊(duì)長(zhǎng)必須參加，共Ceq\o\al(5,9）＝126(種)選法．若隊(duì)長(zhǎng)不能參加，共Ceq\o\al（6，9）＝84(種）選法．由探究2、3發(fā)現(xiàn)從10名隊(duì)員中選出6人可分為隊(duì)長(zhǎng)參賽與隊(duì)長(zhǎng)不參賽兩類，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得:Ceq\o\al(6,10）＝Ceq\o\al（5，9)＋Ceq\o\al（6,9)。一般地:Ceq\o\al(m，n＋1)＝Ceq\o\al（m,n）＋Ceq\o\al（m－1，n）?！纠?】(1)計(jì)算Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3，5）＋Ceq\o\al（3,6)＋…＋Ceq\o\al(3，2019）的值為（)A．Ceq\o\al(4,2019) B．Ceq\o\al(5，2019）C．Ceq\o\al(4，2020)－1 D．Ceq\o\al(5，2019)－1（2）計(jì)算：Ceq\o\al(38－n,3n）＋Ceq\o\al(3n,n＋21）的值．思路探究：恰當(dāng)選擇組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求值、解方程與解不等式．（1）C[（1）Ceq\o\al(3,4）＋Ceq\o\al(3，5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3，2019)＝Ceq\o\al（4，4）＋Ceq\o\al（3,4）＋Ceq\o\al（3,5）＋…＋Ceq\o\al(3，2019)－Ceq\o\al（4，4)＝Ceq\o\al（4，5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2019）－1＝…＝Ceq\o\al（4，2019)＋Ceq\o\al（3，2019)－1＝Ceq\o\al(4,2020)－1.］（2)［解]∵eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(38－n≤3n，，3n≤21＋n，）)∴9。5≤n≤10.5?！遪∈N＋，∴n＝10。∴Ceq\o\al(38－n，3n）＋Ceq\o\al（3n,21＋n）＝Ceq\o\al（28,30）＋Ceq\o\al(30，31)＝Ceq\o\al(2，30)＋Ceq\o\al（1,31)＝eq\f（30×29,2×1）＋31＝466.1．性質(zhì)“Ceq\o\al(m，n)＝Ceq\o\al（n－m,n）”的意義及作用2．與排列組合有關(guān)的方程或不等式問(wèn)題要用到排列數(shù)、組合數(shù)公式，以及組合數(shù)的性質(zhì)，求解時(shí),要注意由Ceq\o\al（m，n)中的m∈N＋,n∈N＋，且n≥m確定m,n的范圍，因此求解后要驗(yàn)證所得結(jié)果是否適合題意．3．（1）化簡(jiǎn)：Ceq\o\al(9，m）－Ceq\o\al（9，m＋1）＋Ceq\o\al(8,m)＝________；（2)已知Ceq\o\al(7，n＋1)－Ceq\o\al（7，n)＝Ceq\o\al(8,n），求n的值．（1）0［(1）原式＝（Ceq\o\al(9，m）＋Ceq\o\al(8,m））－Ceq\o\al（9,m＋1)＝Ceq\o\al（9,m＋1)－Ceq\o\al（9,m＋1）＝0.］（2）解：根據(jù)題意，Ceq\o\al(7，n＋1）－Ceq\o\al（7,n)＝Ceq\o\al(8，n)，變形可得Ceq\o\al（7,n＋1）＝Ceq\o\al（8，n)＋Ceq\o\al（7，n），由組合數(shù)的性質(zhì)，可得Ceq\o\al(7,n＋1）＝Ceq\o\al（8,n＋1）,故8＋7＝n＋1，解得n＝14。1．“組合”與“組合數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，組合是m個(gè)元素形成的一個(gè)整體,不是數(shù)，組合數(shù)是形成的不同組合的個(gè)數(shù)，是數(shù)量．2．對(duì)于有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算、證明、解方程或不等式時(shí),一是要注意組合數(shù)本身的有意義的未知數(shù)的取值范圍．二是掌握組合數(shù)性質(zhì)，在計(jì)算Ceq\o\al（m，n)時(shí)，若m＞eq\f(n,2)，通常使用Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al（n－m，n)轉(zhuǎn)化；求多個(gè)組合數(shù)的和時(shí)，要注意觀察上、下標(biāo)的特征,靈活運(yùn)用Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1，n）.1.給出下面幾個(gè)問(wèn)題：①?gòu)?0個(gè)人中選出3個(gè)作為代表去開會(huì)，有多少種選法？②從10個(gè)人中選出3個(gè)擔(dān)任不同學(xué)科的課代表,有多少種選法?③由1,2，3組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)．其中是組合問(wèn)題的有（)A．①B．②C．①②D．①②③A[①是組合問(wèn)題，因?yàn)槿齻€(gè)代表之間沒(méi)有順序的區(qū)別;②是排列問(wèn)題，因?yàn)槿齻€(gè)人擔(dān)任哪一科的課代表是有順序區(qū)別的;而③中選出的元素還需排列,有順序問(wèn)題是排列．所以①是組合問(wèn)題．］2．下列計(jì)算結(jié)果為21的是（)A．Aeq\o\al(2，4)＋Ceq\o\al(2,6) B．Ceq\o\al（7，7)C．Aeq\o\al（2，7） D．Ceq\o\al（2，7）D[Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(7×6,2×1）＝21.]3．從5名學(xué)生中選出2名或3名學(xué)生會(huì)干部，不同選法共有________種．20［可分兩類：選2名的共有Ceq\o\al（2,5）＝10種；選3名的共有Ceq\o\al(3,5)＝10種，故共