2020高中數(shù)學 第1章 數(shù)列 .2 等比數(shù)列的前n項和 第1課時 等比數(shù)列的前n項和教案 5

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第1課時等比數(shù)列的前n項和學習目標核心素養(yǎng)1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及其應用．(重點、易混點)2．會用錯位相減法求數(shù)列的和．(重點、難點)3．能運用等比數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的實際問題．（重點)1.通過等比數(shù)列前n項和公式的推導，培養(yǎng)邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng)．2．通過學習等比數(shù)列前n項和公式有關的題型,提升數(shù)學運算素養(yǎng)。1．等比數(shù)列的前n項和公式閱讀教材P26～P27例5以上部分,完成下列問題．等比數(shù)列前n項和公比已知量適用公式q＝1首項Sn＝na1q≠1首項,公比，項數(shù)Sn＝eq\f（a11－qn，1－q)首項，公比,末項Sn＝eq\f（a1－anq,1－q）思考：(1）等比數(shù)列的前n項和公式中涉及哪些量？[提示］Sn，a1，q，n，an，共五個量．（2)當?shù)缺葦?shù)列的公比q≠1時,其前n項和公式可化為Sn＝－Aqn＋A的形式，其中的A是什么?[提示]A＝eq\f（a1,1－q)。2．等比數(shù)列前n項和公式的推導該等比數(shù)列｛an}的前n項和為Sn.公比為q，則Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①，qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②,①－②得（1－q）Sn＝a1－a1qn.當q≠1時，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)（q≠1)．又因為an＝a1qn－1，所以上式還可以寫成Sn＝eq\f（a1－anq，1－q).當q＝1時，Sn＝na1.1．等比數(shù)列{an｝中，an＝2n，則它的前n項和Sn＝（)A．2n－1 B．2n－2C．2n＋1－1 D．2n＋1－2D[等比數(shù)列｛an}的首項為2，公比為2.所以Sn＝eq\f(a11－qn，1－q）＝eq\f（21－2n，1－2)＝2n＋1－2，故選D．］2．等比數(shù)列1，x，x2，x3，…（x≠0）的前n項和Sn為（)A．eq\f(1－xn，1－x) B．eq\f(1－xn－1，1－x）C．eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（1－xn,1－x)x≠1，nx＝1)) D．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1－xn－1,1－x)x≠1,nx＝1）)C［當x＝1時，數(shù)列為常數(shù)列,又a1＝1，所以Sn＝n.當x≠1時,q＝x,Sn＝eq\f(a11－xn,1－x）＝eq\f（1－xn,1－x).]3．等比數(shù)列｛an}的前n項和Sn＝k·3n＋1，則k的值為（）A．全體實數(shù) B．－1C．1 D．3B［當n＝1時，a1＝S1＝3k＋1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝k·3n－k·3n－1＝2k·3n－1。令3k＋1＝2k得k＝－1.］4．在等比數(shù)列｛an｝中，若a1＝1，a4＝eq\f（1,8），則該數(shù)列的前10項和為________．2－eq\f（1，29）［設其公比為q，因為a1＝1，a4＝a1q3＝eq\f(1,8)。所以q＝eq\f（1，2)。所以S10＝eq\f(1×\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，210）)），1－\f(1,2））＝2－eq\f(1,29)。]等比數(shù)列前n項和的基本計算【例1】(1)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn，已知S3＝eq\f（7，4)，S6＝eq\f(63，4），則a8＝________.（2）已知數(shù)列{an｝是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項和Sn(3)在數(shù)列｛an｝中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an｝的前n項和．若Sn＝126，則n＝________。(1）32(2)2n－1（3)6[（1）設{an}的首項為a1，公比為q，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（a11－q3，1－q）＝\f(7，4)，,\f（a11－q6，1－q)＝\f（63,4)，）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1，4),q＝2）)，所以a8＝eq\f（1，4）×27＝25＝32。（2）因為數(shù)列{an｝是遞增的等比數(shù)列,a1＋a4＝9，a2·a3＝a1·a4＝8，解得a1＝1，a4＝8,所以q3＝8，q＝2，所以Sn＝eq\f(1－2n，1－2)＝2n－1.（3)∵a1＝2，an＋1＝2an，∴數(shù)列｛an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列,又∵Sn＝126，∴eq\f（21－2n,1－2）＝126，∴n＝6。］等比數(shù)列前n項和的運算技巧(1）在解決與前n項和有關的問題時，首先要對公比q＝1或q≠1進行判斷,若兩種情況都有可能，則要分類討論．(2）在等比數(shù)列{an}的五個量a1,q,an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，在條件與結論間的聯(lián)系不明顯時,均可以用a1與q列方程組求解．［提醒］等比數(shù)列的公比q一定不為0.1．在等比數(shù)列中．(1)若a1＝1,a5＝16，且q＞0，求S7；(2)若a3＝eq\f(3,2），S3＝eq\f(9,2），求a1和公比q。[解]（1)因為{an｝為等比數(shù)列且a1＝1，a5＝16，q＞0,∴a5＝a1q4＝16，∴q＝2(負值舍去)，∴S7＝eq\f(a11－q7，1－q)＝eq\f(1－27，1－2)＝127。（2)①當q≠1時，S3＝eq\f(a11－q3，1－q)＝eq\f（9,2),又a3＝a1q2＝eq\f（3,2)，∴a1(1＋q＋q2）＝eq\f(9，2)，即eq\f（\f(3,2）,q2)（1＋q＋q2)＝eq\f(9,2），解得q＝－eq\f（1，2)(q＝1舍去），∴a1＝6.②當q＝1時，S3＝3a1,∴a1＝eq\f（3,2）.綜上得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＝6,，q＝－\f(1,2)）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＝\f(3，2），,q＝1。））等比數(shù)列前n項和的實際應用【例2】某商場2018年銷售計算機5000臺,如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10％，那么從2018年起，大約幾年可使總銷售量達到30000臺(lg1.6≈0.2，lg1.1≈0。04)？［解]根據(jù)題意，每年比上一年銷售量增加10％，所以,從2018年起，每年銷售量組成一個等比數(shù)列｛an}，其中a1＝5000,q＝1＋10％＝1。1，Sn＝30000，由等比數(shù)列前n項和公式得eq\f(50001－1.1n，1－1.1）＝30000，整理，得1。1n＝1.6，兩邊取對數(shù)，得nlg1。1＝1g1.6，所以n＝eq\f（lg1。6，lg1.1）≈eq\f（0。2,0。04)＝5（年）．故大約5年可使總銷售量達到30000臺．解答數(shù)列應用題的步驟對于一個實際問題，首先要弄清題目中所含的數(shù)量關系，考察是否可通過建立數(shù)列模型來解決,是否可以轉化為等比數(shù)列的問題，基本思路清晰后再著手解題．要注意：(1)認真審題，弄清題意，將實際問題轉化為適當?shù)臄?shù)學模型．(2）合理設元,建立等比數(shù)列模型，依據(jù)其性質及方程思想求出未知元素，并依據(jù)結論作出合理解釋．（3)實際問題解答完成后一定要有結論．2．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？"意思是：一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（)A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞B[每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構成等比數(shù)列，記為｛an｝,則前7項的和S7＝381，公比q＝2，依題意，得eq\f(a11－27，1－2)＝381，解得a1＝3,選擇B．]等比數(shù)列前n項和的性質［探究問題］1．在等差數(shù)列｛an}中，Sn是其前n項和,則Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…成等差數(shù)列．類比這種性質，若{an｝是等比數(shù)列，前n項和為Sn（Sn≠0），Sm,S2m－Sm，S3[提示]設等比數(shù)列｛an｝的公比為q，則Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝qm（a1＋a2＋…＋am）＝qmSS3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝qm（am＋1＋am＋2＋…＋a2m)＝qm(…所以數(shù)列Sm,S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列,公比為qm.2．把等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f（a11－qn，1－q）(q≠1)化為Sn＝－eq\f（a1，1－q）qn＋eq\f(a1,1－q)，觀察qn的系數(shù)和常數(shù)項有何關系？若一個數(shù)列{an｝的前n項和滿足上述關系，那么數(shù)列{an｝是等比數(shù)列嗎?[提示］qn的系數(shù)和常數(shù)項互為相反數(shù),若一個數(shù)列｛an}的前n項和滿足上述關系，即Sn＝Aqn－A（A≠0,q≠0且q≠1)，則數(shù)列{an｝是等比數(shù)列．【例3】(1)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，若Sn＝2,S3n＝14，則S4n＝（）A．80 B．30C．26 D．16（2）一個等比數(shù)列的首項為1,項數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項的和為85,偶數(shù)項的和為170，則此數(shù)列的公比為________，項數(shù)為________．(3)若｛an｝是等比數(shù)列,且前n項和為Sn＝3n－1＋t，則t＝________。思路探究:(1）應用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m,…成等比數(shù)列求解；（2）根據(jù)所給等式列方程組求解；（3）利用a1,a2，a3是等比數(shù)列求解．(1）B（2)28（3)－eq\f(1，3）［（1)由題意知：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比數(shù)列，設公比為q，則S3n＝Sn＋(S2n－Sn)＋（S3n－S2n)＝2×（1＋q＋q2)＝14，解得q＝2,所以S4n－S3n＝2q3＝2×8＝16，S4n＝S3n＋（S4n－S3n）＝14＋16＝30.(2)設數(shù)列為{an}，其公比為q，項數(shù)為2n，則奇數(shù)項，偶數(shù)項分別組成以q2為公比的等比數(shù)列，又a1＝1，a2＝q，q≠1，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（1－q2n,1－q2)＝85，①，\f（q1－q2n,1－q2）＝170，②））由②÷①，得q＝2，所以eq\f（1－4n,1－4)＝85,4n＝256，故得n＝4，故項數(shù)為8.（3）由題目條件Sn＝3n－1＋t得a1＝S1＝1＋t,a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6，因為｛an｝是等比數(shù)列，故aeq\o\al(2，2)＝a1a3，即4＝6(1＋t),解得t＝－eq\f(1,3)，經(jīng)驗證，當t＝－eq\f(1,3)時,｛an}是等比數(shù)列．]1．（變條件）在例3(1）題中,若把條件換為“Sn＝2，S2n＝6”，求S4n。［解］設數(shù)列{an}的公比為q，首項為a1，則Sn,S2n－Sn,S3n－S2n，…，成等比數(shù)列,Sn＝2，S2n－Sn＝4，故qn＝2。所以Sn＝eq\f(a11－qn，1－q)＝2，故得－eq\f（a1,1－q)＝2，即eq\f(a1,1－q)＝－2。S4n＝eq\f（a11－q4n，1－q)＝eq\f(a1［1－qn4］,1－q）＝－2×(1－16）＝30。2．(變結論）例3（1）題的條件不變，求Sn2。［解]設數(shù)列{an｝的公比為q，首項為a1，則Sn,S2n－Sn，S3n－S2n，…，成等比數(shù)列，則S3n＝Sn＋(S2n－Sn）＋(S3n－S2n）＝2×（1＋qn＋q2n）＝14，解得qn＝2，由Sn＝eq\f(a11－qn,1－q）＝2,得eq\f（a1,1－q)＝－2，所以Sn2＝eq\f（a11－qn2,1－q)＝eq\f（a1，1－q）［1－(qn)n］＝－2(1－2n)＝2n＋1－2.等比數(shù)列前n項和性質的應用技巧：(1）在涉及奇數(shù)項和S奇與偶數(shù)項和S偶時，常考慮其差或比進行簡化運算．若項數(shù)為2n，則eq\f(S偶，S奇）＝q（S奇≠0）;若項數(shù)為2n＋1,則eq\f（S奇－a1,S偶)＝q（S偶≠0)．(2）等比數(shù)列前n項和為Sn(且Sn≠0）,則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn（q≠－1）．（3)等比數(shù)列｛an}的公比為q，則Sn＋m＝Sn＋qnSm.(4）若Sn表示數(shù)列{an｝的前n項和，且Sn＝Aqn－A（A≠0，q≠0且q≠1），則數(shù)列｛an}是等比數(shù)列．1．等比數(shù)列的前n項和公式共涉及五個量：a1，q，n,an，Sn，其中a1和q為基本量,且五個量“知三可求二”；在解決等比數(shù)列問題中，要學會用函數(shù)與方程、整體代換的思想方法分析問題,養(yǎng)成良好的思維習慣．2．在解等比數(shù)列問題時，要注意合理應用等比數(shù)列的性質．3．利用等比數(shù)列解決實際問題，關鍵是構建等比數(shù)列模型．要確定a1與項數(shù)n的實際含義，同時要搞清是求an還是求Sn的問題．1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)求數(shù)列a，a2，a3,…，an的和時可應用公式Sn＝eq\f(a11－qn，1－q)。（）（2)若等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn＝