2021年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題：四邊形綜合(考察全等證明、長度與面積計(jì)算等)(一)

2021年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題：四邊形綜合(考察全等證明、長度與面積計(jì)算等)(一1．綜合與實(shí)踐問題情境在數(shù)學(xué)活動課上，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖①，已知正方形ABCD,點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接AE，以AE為邊在BC的上方作正方形AEFG.數(shù)學(xué)思考⑴連接GD,求證：AABE竺AADG;連接FC,求/FCD的度數(shù)；實(shí)踐探究如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，連接AE,以AE為邊在BC的上方作正方形AEFG,連接FC,若正方形ABCD的邊長為4,CE=2，則CF的長是GGAAD■FCE團(tuán)②EGGAAD■FCE團(tuán)②EB?2?如圖，正方形ABCD的邊長是2厘米，E為CD的中點(diǎn)，Q為正方形ABCD邊上的一個(gè)動點(diǎn)，動點(diǎn)Q以每秒1厘米的速度從A出發(fā)沿AfBfCfD運(yùn)動，最終到達(dá)點(diǎn)D,若點(diǎn)Q運(yùn)動時(shí)間為x秒.當(dāng)x=1時(shí)，S,aqe=平方厘米；當(dāng)乂=時(shí)，S,aqe=平方厘米.△AQE2△AQE在點(diǎn)Q的運(yùn)動路線上，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)E相距的路程不超過2厘米時(shí)，求x的取值范4圍.若厶AQE的面積為*平方厘米，直接寫出x值.3?如圖，在平行四邊形ABCD中，/BAD的平分線交C于點(diǎn)E,交DC的延長線于F,以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG.求證：四邊形ECFG是菱形；⑵連結(jié)BD、CG,若/ABC=120°，則△BDG是等邊三角形嗎？為什么?⑶若/ABC=90°,AB=10,AD=24,M是EF的中點(diǎn)，求DM的長.DDADC⑶若/ABC=90°,AB=10,AD=24,M是EF的中點(diǎn)，求DM的長.DDADCE3遲BEGFFGFa024?如圖1,正方形ABCD沿GF折疊，使B落在CD邊上點(diǎn)E處，連接BE,BH.求/HBE的度數(shù)；若BH與GF交于點(diǎn)O,連接OE,判斷ABOE的形狀，說明理由；在2的條件下，作EQ丄AB于點(diǎn)Q,連接OQ,若AG=2,CE=3，求厶00只的面積.5?已知：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，DE、BF分別是/ADC和/ABC的角平分線，交AB、CD于點(diǎn)E、F,連接BD、EF.求證：BD、EF互相平分；⑵若/A=60°,AE=2EB,AD=4，求線段BD的長.6?如圖，已知正方形ABCD的面積是8,連接AC、BD交于點(diǎn)O,CM平分/ACD交BD于點(diǎn)M,MN丄CM,交AB于點(diǎn)N,求ZBMN的度數(shù)；求BN的長.7?如圖，四邊形OABC為矩形，其中O為原點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,6),將矩形沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上點(diǎn)F處，折痕分別交OC,BC于點(diǎn)E、D,且D點(diǎn)坐標(biāo)是(良6).2求F點(diǎn)的坐標(biāo)；⑵如圖2,P點(diǎn)在第二象限，且APDE竺ACED,求P點(diǎn)的坐標(biāo)；若M點(diǎn)為x軸上一動點(diǎn)，N點(diǎn)為直線DE上一動點(diǎn)，AFMN為以FN為底邊的等腰直角三角形,求N點(diǎn)的坐標(biāo).圖1圖2備用圖8?已知，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，連接DF交對角線AC于E,連接BE．如圖1,若ZEBC=ZEFA,EC平分ZDEB,求證：平行四邊形ABCD是菱形；如圖2,對角線AC與BD相交于點(diǎn)0,當(dāng)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出與AADF面積相等的三角形(不包括以AD為邊的三角形)．CEQAF2CEQAF2CD如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，ZBAC=90°,AB=AC，點(diǎn)H為邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在CH的延長線上，且AE丄BE.點(diǎn)F在線段AE上,且BF丄CE,垂足為G.若BF=AF，且EF=3,BE=4,求AD的長；求證：BF+2EH=CE.在正方形ABCD中，動點(diǎn)E,F分別從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC,CB上移動．CB上移動．圖L圖2如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上自D向C移動，同時(shí)點(diǎn)F在邊CB上自C向B移動時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，則線段AE與DF的關(guān)系是；如圖2,當(dāng)E,F分別在邊CD，BC的延長線上移動時(shí)，連接AE，DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；如圖2,連接人0,當(dāng)厶ACE為等腰三角形時(shí)，請你求出CE：CD的值.參考答案1.(1)證明：???四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，「.AB=AD,AE=AG,/ABE=/ADG=90°,j.ZBAE+zEAD=/DAG+ZEAD,j./BAE^/DAG,在厶ABE和厶ADG中，rAB=AD*ZBAE^ZDAG,:AE=AG.?.△ABE^AADG(SAS);解：如圖①，過點(diǎn)F作FH丄BC,交BC的延長線于點(diǎn)H,GGADDBCEHH團(tuán)②E團(tuán)①GGADDBCEHH團(tuán)②E團(tuán)①?.?ZAEF=zABE=90°,.?.ZBAE+zAEB=90°,ZFEH+zAEB=90°,.?.ZFEH=ZBAE,又?.?AE=EF,ZEHF=ZABE=90°,.?.△EHF竺AABE(SAS),.?.FH=EB,EH=AB=BC,.?.CH=BE,.?.CH=FH,.?.ZFCH=45°,.?.ZFCD=45°;⑶解：過點(diǎn)F作FH丄BC,交BC的延長線于點(diǎn)H,如圖②,由(2)知厶EHF^^ABE,

.?.EH=AB,FH=BE,?.?AB=BC=4,CE=2,???BE=FH=6,CH=CE+EH=6,/CF=i龍用十時(shí)=6］龍.故答案為：6巧.2?解：(1)①tE為CD的中點(diǎn),.?.DE=1,???動點(diǎn)Q以每秒1厘米的速度從A出發(fā)沿AfBfCfD運(yùn)動,.?.當(dāng)x=1時(shí)，AQ=1,/.S=xAQxAD=2x1x2=1,△AQE②tAQ=|_,.?.點(diǎn)Q在AB上,?"△AQE2=2xAQx?"△AQE2r222故答案為：①1；故答案為：①1；(2)根據(jù)題意,5-工＜扌解得：-?/X的取值范圍是￥＜工＜；晉①當(dāng)點(diǎn)Q在AB上,tS=xxx2=△AQE兀，②當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，?"△AQE二S梯形ABCE—^ABQ-^CQE=x2x(x-2)-2x1x(4-x)=22223③當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí),?x-14綜合以上可得x-或￥或3333.證明：（1）tAF平分/BAD,/./BAF-zDAF,?.?四邊形ABCD是平行四邊形，■AD//BC,AB//CD,■/DAF-/CEF，/BAF-/CFE，■/CEF-/CFE,■CE-CF,又?.?四邊形ECFG是平行四邊形，二四邊形ECFG為菱形；（2）ABDG是等邊三角形，理由如下：???四邊形ABCD是平行四邊形,■AB/DC,AB-DC,AD/BC,?.?/ABC-120。，■/BCD-60°,/BCF-120°,由（1）知,四邊形CEGF是菱形,.?.CE-GE,/BCG-*/BCF-60°,■CG-GE-CE,/DCG-120°,???EG//DF,■/BEG-120°-/DCG,?.?AE是/BAD的平分線，■/DAE-/BAE,?.?AD//BC,■/DAE-/AEB,■/BAE-/AEB,.?.AB=BE,.?.BE=CD,.?.△BEG^ADCG(SAS),.?.BG=DG,zBGE=zDGC,j./BGD^zCGE,?.?CG=GE=CE,.?.△CEG是等邊三角形，/.ZCGE=60°,.?./BGD=60°,?.?BG=DG,/■△BDG是等邊三角形；如圖2中,連接BM,MCGF圖3?.?ZABC=90°,四邊形ABCD是平行四邊形,./四邊形ABCD是矩形，又由（1）可知四邊形ECFG為菱形，ZECF=90°,四邊形ECFG為正方形.?.?ZBAF=ZDAF,.?.BE=AB=DC,tM為EF中點(diǎn),.?.ZCEM=ZECM=45°.?.ZBEM=ZDCM=135。在ABME和ADMC中，rBE=CDt二ZDS,tEM=CM.?.△BME竺ADMC(SAS),.?.MB=MD,ZDMC^/BME..?.ZBMD=/BME+ZEMD=ZDMC+ZEMD=9O°,.?.△BMD是等腰直角三角形.?.?AB=10,AD=24,???BD「加說“I而面h26,.?.DM=^BD=13?.邁.4?解：⑴如圖1中，過點(diǎn)E作EN丄AB于N,過點(diǎn)B作BM丄EA'于M.由翻折可知，/ABF=/FEA'=90°,FB=FE,j./FBE^zFEB,j./EBN^/BEM,?.?ZENB=zBME=90°,BE=EB,.?.△ENB竺ABME(AAS),.?.EN=BM,?.?四邊形ABCD是正方形，.j/NBC=zC=zA=zENB=90°,AB=BC.?.AB=BM=BC,?.?BH=BH,BE=BE,.?.RtABAH^RtABMH(HL),Rt^BME^Rt^BCE,.?.zabh=zmbh,zebm=zebc,.?.ZHBE=zMBH+zEBM=2zABC=45°.2(2)結(jié)論：ABOE是等腰直角三角形.理由：如圖2中，Z)0ECFZ)0ECF由翻折的旋轉(zhuǎn)可知，F(xiàn)G垂直平分線段BE,.?.OB=EO,.?./OBE=zOEB=45°,.?.OB=OE,/BOE=90°,.?.△BOE是等腰直角三角形.(3)如圖3中，過點(diǎn)O作(3)如圖3中，過點(diǎn)O作OM丄EQ于M,ON丄AB于N,過點(diǎn)G作GJ丄BC于J.NEQCS3ABJ=上BJG=90°,四邊形ABJG是矩形，..AG=BJ=2,AB=GJ=BC,■/FG丄BE,/.^EBC+^BFG=90°,zBFG+^JGF=90°z./CBE^zJGF,t/C=ZGJF=90°,BC=GJ,/.△GJF^^BCE(AAS),.?.FJ=CE=3,.■.BF=EF=5,CF=迅嚴(yán)_已嚴(yán)=4,.?.BC=BF+CF=9,???BE=二=3]io，.■.OB=OE=3“,：5,?.?EQ丄AB,.?./ONB=zOME=zOMQ=zMQN=90°,?四邊形MQNO是矩形，/./MON=zBOE=90°,/.ZBON=/EOM,?OB=OE,.?.△ONB竺aOME(AAS),?ON=OM,.四邊形MQNO是正方形，設(shè)OM=OM=NQ=MQ=x,■//C=ZCBQ=ZBQE=90°,四邊形BCEQ是矩形，?BQ=EC=3,EQ=BC=9,在RtABON中，則有X2+(x+3)2=(3蔦)2,解得x=3或-6(舍棄)，?OM=QM=3，EM=BN=6，■/ZBQR=zOMR=90°,zBRQ=zORM,BQ=OM=3,/.△BQR^^OMR(AAS),.?.QR=MR=|_?S=?QR?OM旦x3=△OQR;5.(1)證明：?四邊形ABCD是平行四邊形,?CD//AB,CD=AB,AD=BC,?DE、BF分別是/ADC和/ABC的角平分線,/./ADE=zCDE,zCBF=zABF,?CD/AB,?/AED=/CDE,/CFB=/ABF.?./AED=zADE,zCFB=zCBF,.?.AE=AD,CF=CB,.?.AE=CF,.?.AB-AE=CD-CF即BE=DF,?.?DF//BE,四邊形DEBF是平行四邊形..?.BD、EF互相平分;(2)t/A=60°,AE=AD,.?.△ADE是等邊三角形，■.■AD=4,.?.DE=AE=4,?.?AE=2EB,.?.BE=GE=2,/.BG=4,過D點(diǎn)作DG丄AB于點(diǎn)G,在Rt^ADG中，AD=4,/A=60°.?.DG=ADcos/A=4x=2，.乜,.BC=CD=Tg=2：2，.?.BD=?.邁x2?邁=4.?.?四邊形ABCD為正方形，.■■上DCO=/BCO=/CDO=/MBN=45°?.?CM平分/ACD,.?.ZDCM=/MCO=22.5°,.?./BMC=zCDC+zDCM=45°+22.5°=67.5°.?MN丄CM,.?./CMN=90°,.?./BMN=90°-67.5°=22.5°,/■ZBMN的度數(shù)為22..5°.(2)t/MCO=22.5°,/BCO=45°,BCM=/BCO+ZMCO=67.5°,又?.?/BMC=67.5°,j./BCM^/BMC,二BM=BC=CD=2”；2,DM=BD—BM=4-2■,.：J.■/ZDCM=22.5°,ZBMN=22.5°,j.ZDCM=/BMN..?.在ADCM和厶BMN中，rZDCK=ZBO乂DC=BK,:ZCDlt=ZNBN/.△DCM^^BMN(ASA),/.BN=DM=4-2邁，???BN的長為4-2-邁.7?解：⑴?點(diǎn)D坐標(biāo)是(豊，6),B點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,6),四邊形OABC為矩形,.?.BC=AO=4,OC=AB=6,CD=§,BD=BC-CD=3,22?將矩形沿直線DE折疊，...df=cd=|_,???BF=id護(hù)-口2=.'普斗=2,?AF=6-2=4,?點(diǎn)F(4,4).當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M'落在X軸上時(shí)，=0,解得m=-9,⑵如圖2中，連接PF交DE于J.圖2圖2當(dāng)四邊形EFDP是矩形時(shí)，△PDE^AFED^ACED,?.?C(0,6),F(4,4),二直線CF的解析式為y=-￡x+6,2?.?DE垂直平分線段CF,直線DE的解析式為y=2x+1,.?.E(0,1),D(g,6),?.?DJ=JE?.?DJ=JE,?.?PJ=JF,'??'??C卜**1$i/0XP(_尋,3)如圖3中，連接FN,以FN為對角線構(gòu)造正方形NMFM'，連接MM'交FN于K.卸設(shè)N(m,2m+1),則《(,),M(，:),M'(,■),￡_■￡_■￡_■￡_■￡_■當(dāng)點(diǎn)M落在x軸上時(shí)，尋L=0,解得m=-*,???滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-￡)或(-9,-17).338(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，.?.AB//CD,.?./EDCjEFA,■//EBC^zEFA,/./EBC^zEDC,■/EC平分/DEB,/./DCE^zBCE,rZDCE=ZBCE在ACED和厶CEB中，/EDC=/EBC,:CE=CE/.△CED^^CEB(AAS),.?.CD=CB,/?四邊形ABCD為平行四邊形，???平行四邊形ABCD為菱形；(2)解：與AADF面積相等的三角形(不包括以AD為邊的三角形)％△AOB.ABOC.△COD、aDFB;理由如下：/?四邊形ABCD是平行四邊形，.?.OA=OB,OC=OD,△AOB的面積=ABOC的面積=ACOD的面積=丄厶ABD的面積，2?/點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，△ADF的面積=ADFB的面積=2^ABD的面積，2△AOB的面積=ABOC的面積=ACOD的面積=ADFB的面積=^ADF的面積.解:⑴/AE丄BE.EF=3,BE=4,?BF="eSbF&5,???BF=AF,??AF=5,AE=3+5=8,?AB過齡十師?春十04.：5?.?/BAC=90°,AB=AC,???BC=i邁扭珂/13,?.?四邊形ABCD是平行四邊形，.■.AD=BC=4：10；⑵在CH上截取HM=HE,連接BM和AM,如圖,?.?BE丄AE,.?./AEB=90°,?點(diǎn)H為邊AB的中點(diǎn)，.?.EH=AH=BH=MH,四邊形AEBM是矩形，.?./EAM=90°,?.?/BAC=90°,/./BAF^zCAM,???BF丄CE,.?.ZEGB=90°,.?.ZEBG+zBEG=90°,?.?ZEBG+zBFE=90°,.?.ZBEG=ZBFE,??矩形AEBM中，BE//AM,.?.ZBEG=zAMH,.?.ZBFE=zAMH,.?.ZAFB=zAMC,?.?AB=AC,.?.△ABF