統(tǒng)計2回歸與相關藍

4回4英國人類學家F.Galton首次在《自然遺傳》 計學家KarlPearson對上千個家庭的兒子身高（Y，英寸）與父親身高（X，英寸）性關系：?33.730.516X也即高個子父代的子代在成年之后的身高平于其父代水平。Galton將這種趨向于種族穩(wěn)定“回歸”已成為表示變量之間某種數(shù)量依存關系的統(tǒng)計學術語，相關并且衍生出“回歸方程”“回歸系數(shù)”等統(tǒng)計學概念。如研究 人血糖與其胰島素水平的關系，研究兒童與體重的關系等。即便具有相同的體重，肺活量也不一定相同YY

X女大學生體重(X)與肺活量(Y)的散點圖 即便具有相同的2歲身高，成年后的身高也不一定相同 X2歲身高X與成年后身高Y的散點2歲身高影響成年的身高，但并非確定地決定它(determineitexactly)；宏觀上來講，他們呈直線關系，但并不能YabX函數(shù)式（例如圓周長與半徑：y=2πr）來描述。?abX“hat”表示估計值，給定x時y的條件均數(shù)函數(shù)關系：確定。例如圓周長與半徑：y=2πr回歸關系：不確定。例如血壓和 的關系，稱為直線回歸(linearregression)。依存關系：應變量(dependentvariable)Y化 ——回歸分互依關系：應變量Y與自變量X ?a Y(dependentvariable,response (independentvariable,explanatory條件：Y是服從正態(tài)分布的 ?aa：截距(intercept)，直線與Y軸交點的縱坐標。：斜率(slope)，回歸系數(shù)(regressioncoefficient)。b>0，Y隨X的增大而增大（減少而減少）——斜上；b<0，Y隨X的增大而減?。p少而增加）——斜下； ——水平條件：Y隨量，總體為正態(tài)分布

?aYX

例7-1某地方病 12345678X7:只有一個自變量，稱簡單回歸（simpleregression）； :

3.6尿肌酐含量尿肌酐含量3.23.02.82.62.44.0 6.0 8.0 10.0（）

12.0 14.0圖9-18名兒童 與其尿肌酐含量的散點X squaremethod)：使各散點到直線的 Y?2最小。 Q(Y?)

(Y?)2YabX b(XX)(YY)XYXY/n(XXaYb

1 123946586787

232.617623.87/764762/5.8450回歸方程：?

XX/n76/8YY/n23.87/8aY①由于抽樣誤差引起，總體回歸系數(shù)②存在回歸關系，總體回歸系數(shù)β②tY總情況(YY

? ?Y)回歸部Y (YY)(Y?)?Y?)(?所以有(YY)2(Y?)2(Y?Y即SSSSSS＝剩＋2SS總＝(YY)，Y的離均差平方和(totalsumof2未考慮X與Y的回歸關系時的總變異。υ=n-SS＝(Y? )為剩余平方和(residualsumof對Y法用解釋的部分。SS剩越小，回歸效果越好。υ=n- 為回歸平方和(regressionsumof，由于X與的直線關系而使變異減小的部分,即總變異中，F(xiàn)SS回/回MS回SS殘/ MS1殘nY?2YYSSSSSS回SS

2?Y

b2l

?

X

Y

Y(5)=(3)-(4)

(Y?)2 - - - - ?

計算

12123946586787 /842

Y2(Y)2/相關系 公1，nH0：1，nH1：β≠0，即尿肌酐含量 之間有直線關

FSS/回MS

0.8134

SS回

SS殘/ MS SS殘=SS總－SS回

回 殘nFP7 1 6v1=1;ν2=6,查F界值表,得P<0.01.按 H0接受H1可以認為兩者有直線關公 t

bbSbb

SY. SY.XXXXn n

過H0：β=0 前面已計算過n=8，SS殘 SS

0.23280.1970,Y.

n 8 SY.

0.19700.0304, 42tb00.13924.579,Sb 0.0304 H0…注意 F SpssSpss.139t檢Spss結0.1392?0.1392?TheinterceptisaTheinterceptisa=No直線回歸方程的區(qū)間估(一)總體回歸系數(shù)的區(qū)間估（b-t/2(n-2)Sb,b+t/2(n-2)Sb）簡記為bt/2(n-(0.1392－2.447×0.0304，＝(0.0648，(二)總體均數(shù)μ的區(qū)間估(三 Y值的容許區(qū) Y|X的區(qū)間估

本例： 時??1.66170.13921.66170.1392(3.3321－2.447×0.1031， Y縮寫本例： =12時值的95％容許區(qū)間，9595％uX|Y的可信區(qū)間 容許區(qū)尿肌尿肌酐含量（

可信區(qū)

（）

圖9-3總體均數(shù)的可信區(qū)間和 ? 控 回 變量間的依存關相 變量間的互依關直線相關(linearcorrelation)簡單相關(simplecorrelation)，用于雙變量正態(tài)分布資料。圖

、Y同時增減---正相關（positivecorrelation)；、Y此增彼減---負相關(negativecorrelation) 、Y變化趨勢相同----相關系數(shù)示意 反向變化 、Y變化互不影 相關(zerocorrelation)圖 相關系數(shù)示意相關系數(shù)(correlationcoefficient)，又稱積差相關系數(shù)（coefficientofproduct–momentcorrelation），或Pearson相關系數(shù)（軟件中常說明相關的密切程度和方向的指標r——相關系數(shù)的意XXYY XYY

lXXlXXlYYr無單位，-1r≤1。r——為負——（與回歸系數(shù)的符號相同|r|=1---完全相關，|r|=0---零相關。x,y相關系數(shù)的計對例 的相關關由例9-1算得，r lXY lXX

5.845

0.8818r≠0rr1rr1rnSr

n=8,t

0.8818

4.579,n21r 10.88182n 8P<0.05,按0.05水 H0,接受可以認為兩者成直線關必須將r轉為或 公式tanh為雙曲線正切函數(shù)tanh-1為雙曲線反正切函數(shù)，r的取值范圍為-1<r<1，Z取值范圍-∞＜Z＜+∞。按正態(tài)） (1z＝tanh-1

2ln(1z的95％可信區(qū)間為1.3838±1.96/8 =(0.5073,3.2749)e2z

上限tanhz＝tanh0.5073=e2

tanh

e2z1

1下 e2z

總體相關系數(shù)95％可信區(qū)間為公式l /

l R

lXX SS取值0到1之 MS回F 回

，1，

n

SS/殘MS

②X、Y服從雙變量正態(tài)分 回歸— 由一個變量值推算另一個變量相關——假設檢驗等