工科復(fù)變函數(shù)教學(xué)法探討

工科復(fù)變函數(shù)教學(xué)法探討

杜春文摘要：工科復(fù)變函數(shù)是工科高等院校開(kāi)設(shè)的一門比較重要的基礎(chǔ)理論課程。復(fù)變函數(shù)課程對(duì)于學(xué)生的專業(yè)課程學(xué)習(xí)影響重大。工科復(fù)變函數(shù)課程課時(shí)較少，理論性較強(qiáng)，比較抽象難懂。如何幫助學(xué)生學(xué)好工科復(fù)變函數(shù)，課程進(jìn)行中適當(dāng)有效的教學(xué)方法是必要的。本文主要探討了工科復(fù)變函數(shù)教學(xué)過(guò)程中的遷移教學(xué)，可視化教學(xué)，探究式教學(xué)以及“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)。這些教學(xué)方法的運(yùn)用，不僅能有效提高教學(xué)質(zhì)量，活躍課堂氣氛，增加師生間的互動(dòng)，還可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自主學(xué)習(xí)的能力。Key：遷移可視化探究互聯(lián)網(wǎng)+：G642：A：1672-3791（2018）07（a）-0156-02Abstract：Complexvariablefunctionisanimportantbasictheorycourseinengineeringcollegesanduniversities.Thecourseofcomplexvariablefunctionhasagreatinfluenceonstudents'professionalcoursestudy.Thecourseofcomplexvariablefunctioninengineeringislesstime，moretheoreticalandmoreabstract.Howtohelpstudentslearnthecomplexfunctionofengineeringisnecessary.Thispapermainlydiscussestheteachingofmigration，visualteaching，inquiryteachingand"Internet+"teachinginthecourseofengineeringcomplexvariablefunctionteaching.Theapplicationoftheseteachingmethodscannotonlyeffectivelyimprovetheteachingquality，enliventheclassroomatmosphereandincreasetheinteractionbetweenteachersandstudents，butalsocanbementioned.Highstudents'interestinlearningandtheabilitytolearnindependently.KeyWords：Migration；Visualization；Inquiryteaching；“Internetf”teachms.工科復(fù)變函數(shù)是工科大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中非常重要的一門課程。它是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程。復(fù)變函數(shù)與工程力學(xué)、電子技術(shù)、自動(dòng)控制等課程聯(lián)系緊密，又是解決流體動(dòng)力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)、振動(dòng)學(xué)、彈性理論、頻譜分析等的一種強(qiáng)有力的工具。對(duì)于工科學(xué)生而言，復(fù)變函數(shù)對(duì)于更深層次的學(xué)習(xí)和研究至關(guān)重要。如何幫助學(xué)生學(xué)懂學(xué)好工科復(fù)變函數(shù)理論，教師采用何種教學(xué)方法就顯的尤為重要了。下面就教學(xué)過(guò)程中有效的教學(xué)方法進(jìn)行深入細(xì)致的探討。1遷移教學(xué)所謂遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響[2]，或習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)對(duì)完成其他活動(dòng)的影響。遷移可分為正遷移，負(fù)遷移和零遷移。正遷移是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)起到積極的促進(jìn)作用；負(fù)遷移是指兩種學(xué)習(xí)之間相互干擾阻礙；零遷移是指兩種學(xué)習(xí)不存在直接的相互影響。由于工科復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程的后續(xù)課程，其很多內(nèi)容都和高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容相近或者相似。在講授過(guò)程中可以采用類比和轉(zhuǎn)化思想，促進(jìn)學(xué)生正遷移的發(fā)生。例如（1）對(duì)于復(fù)變函數(shù)的定義，極限，連續(xù)，我們把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)μ（χ，γ）和ν（χ，γ），通過(guò)研究μ（χ，γ）和ν（χ，γ）的定義，極限和連續(xù)實(shí)現(xiàn)的。（2）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和斂散性。（3）復(fù)積分可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的線積分來(lái)計(jì)算。復(fù)變函數(shù)知識(shí)可與高等數(shù)學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，比如復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，微分和積分，冪級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)等，這些知識(shí)都是實(shí)數(shù)理論向復(fù)數(shù)理論的推廣，形式上相同或者類似。類比學(xué)習(xí)有益于知識(shí)的理解。通過(guò)比較學(xué)習(xí)，可以理解復(fù)變函數(shù)的獨(dú)特理論，比如指數(shù)函數(shù)expz是周期函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)Lanz中的變量z可以小于零，冪級(jí)數(shù)中的洛朗級(jí)數(shù)，孤立奇點(diǎn)，以及高等數(shù)學(xué)中的一些積分很難計(jì)算出來(lái)的時(shí)候可以用復(fù)變函數(shù)留數(shù)的方法很快計(jì)算出來(lái)等。2可視化教學(xué)可視化是利用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和圖像處理技術(shù)，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成圖形或圖像在屏幕上顯示出來(lái)，再進(jìn)行交互處理的理論，方法和技術(shù)?？梢暬婕坝?jì)算機(jī)圖形學(xué)，圖像處理，計(jì)算機(jī)視覺(jué)，計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等多個(gè)領(lǐng)域。復(fù)變函數(shù)理論比較抽象，不是很好理解。如果我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中能夠把抽象的理論用圖形或者圖像表示出來(lái)，這樣便于知識(shí)的理解和記憶。這種方法稱為復(fù)變函數(shù)的可視化。現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展和數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用推進(jìn)著這種教學(xué)方式[5]。教學(xué)過(guò)程中將教學(xué)內(nèi)容和直觀演示結(jié)合起來(lái)，使用計(jì)算機(jī)編程和繪圖技術(shù)，使得復(fù)變函數(shù)課程更具有吸引力。復(fù)變函數(shù)的可視化不僅可以用于教學(xué)，還可以推動(dòng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的發(fā)展，有利于復(fù)變函數(shù)的實(shí)踐應(yīng)用。因此復(fù)變函數(shù)的可視化教學(xué)值得我們研究。在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中可視化有利于復(fù)變函數(shù)知識(shí)的講解。（1）對(duì)于復(fù)數(shù)的乘法，或者除法運(yùn)算，用幾何圖形表示出來(lái)就是對(duì)于向量的旋轉(zhuǎn)伸縮。（2）對(duì)于∞點(diǎn)的講解，比較抽象難懂。通常情況是引入復(fù)球面，使復(fù)球面與復(fù)平面相切，切點(diǎn)記為Ο點(diǎn)，過(guò)切點(diǎn)Ο和球心做垂直于復(fù)平面的垂線，交球面另一點(diǎn)為Ν。復(fù)平面上的點(diǎn)和復(fù)球面上的Ν點(diǎn)連接，可得復(fù)球面上的交點(diǎn)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。復(fù)球面上的Ν點(diǎn)就對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的∞點(diǎn)。復(fù)平面上的點(diǎn)趨于∞點(diǎn)，復(fù)球面上的點(diǎn)就會(huì)趨于Ν點(diǎn)。這一過(guò)程可以用動(dòng)畫的形式表示出來(lái)，既形象生動(dòng)，又便于理解∞點(diǎn)。3探究式教學(xué)探究式教學(xué)是指在教學(xué)過(guò)程中，要求學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，通過(guò)以“自主，探究，合作”為特征的學(xué)習(xí)方式對(duì)當(dāng)前教學(xué)內(nèi)容中的主要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、深入探究并進(jìn)行小組合作交流，從而較好的達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于認(rèn)知目標(biāo)與情感目標(biāo)要求的一種教學(xué)模式。對(duì)于復(fù)積分的講授過(guò)程中從出發(fā)，如果將被積函數(shù)的分子變成函數(shù)f（z），可以猜想出柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式。然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行公式的條件討論和證明，最后通過(guò)例題加深對(duì)公式的理解。整個(gè)過(guò)程都是問(wèn)題驅(qū)使進(jìn)行。對(duì)于一些可以使用柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式的復(fù)積分也可以考慮使用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算，強(qiáng)調(diào)一題多解的方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。探究式教學(xué)可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，又可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。整個(gè)學(xué)習(xí)既充滿樂(lè)趣，又充滿挑戰(zhàn)。4“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)教育部“十三五”規(guī)劃中多次提及高等教育的信息化和互聯(lián)網(wǎng)化?；ヂ?lián)網(wǎng)已經(jīng)進(jìn)入平常的教學(xué)過(guò)程中，從最初的多媒體教學(xué)，到后來(lái)的精品課程和視頻課程，再到現(xiàn)在流行的“翻轉(zhuǎn)課堂”。很多教師制作了精美的課程課件，MOOC課和微課。教師可以在課前使用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)或者手機(jī)APP上傳學(xué)習(xí)資料、教學(xué)大綱、教學(xué)重難點(diǎn)問(wèn)題和教學(xué)安排，課程進(jìn)行中以任務(wù)為導(dǎo)向，通過(guò)匯報(bào)，解答，點(diǎn)評(píng)，討論等方式多層次多方面合作教學(xué)，課外也可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)指導(dǎo)學(xué)生的課外自學(xué)，快速答疑。學(xué)生可以通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)或者移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)隨時(shí)隨地學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)具備自主性，互動(dòng)性，體驗(yàn)性和創(chuàng)新性。這種教學(xué)模式具備遠(yuǎn)程教育的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了教育資源的共享，延續(xù)了學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)，拓展了學(xué)習(xí)空間，突出學(xué)習(xí)的靈活性，學(xué)生學(xué)習(xí)自由度比較大。這種教學(xué)模式突出技術(shù)對(duì)“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)的支撐，比如微課的制作，互聯(lián)網(wǎng)或者手機(jī)APP平臺(tái)的構(gòu)筑等等都需要花費(fèi)教師大量心血。將網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)融入教學(xué)體系中是為了滿足學(xué)生學(xué)習(xí)的個(gè)性化和多樣化要求，創(chuàng)新教學(xué)方法，提高教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力?！盎ヂ?lián)網(wǎng)+”教學(xué)需要計(jì)算機(jī)、手機(jī)、多媒體等硬件設(shè)施，還需要QQ、微信、微博和網(wǎng)站等網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的輔助[4]。目前，這種教學(xué)模式正隨著信息技術(shù)的革新在探索和快速發(fā)展過(guò)程中?？傊?，目前工科復(fù)變函數(shù)教學(xué)改革方向由“教學(xué)生學(xué)會(huì)”向“教學(xué)生會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變。文章中所提到的遷移教學(xué)有利于從高等數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)換到復(fù)變函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)；可視化教學(xué)有利于復(fù)變函數(shù)抽象理論的講解和實(shí)驗(yàn)；探究式教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和用于探索真理的能力；“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)有利于學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)。合理使用以上四種教學(xué)方法，不僅可以提高教學(xué)質(zhì)量，還可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增進(jìn)師生情感。Reference[1]西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)[M].4版.北京：高等教育出版社，2005.[2]熊春連，陳翠玲，段華貴.工科復(fù)變函數(shù)中的遷