材料-線代第二章

第二 矩一 矩陣一 矩陣概二 矩陣的基本運(yùn)三 逆矩四 矩陣的分五 初等變換與初等矩1矩陣的定特殊矩陣的定特殊矩矩陣的應(yīng)用實(shí)矩陣的定由mn

(i

1,2,,m;

1,2,,排成的m行n簡(jiǎn)稱mn矩陣

稱為m行n列矩陣記作A

a1na2n

簡(jiǎn)記AA

am

am

amn

或2 復(fù)矩陣：元素是復(fù)例如：

5

是一33

2

實(shí)矩陣13 2i 2222

2是一2

3

復(fù)矩陣31 2

是一

3

矩陣 4

是一個(gè)1

矩陣 是一個(gè)1

矩陣4問(wèn)題： A 4 5一些特殊的矩

(對(duì)Amn型矩陣零矩陣(Zero元素全為零的矩陣稱為零矩陣

omn注意：不同階數(shù)的零矩陣是不相例如：

00 00

6行矩陣(Row

只有一行的矩

Aa1,a2,,an稱為行矩陣(或行向量

a1 1列矩陣(Column

只有一列的矩

Ba2,a稱為列矩陣(或列向量 a n方陣(Square

行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣

稱2i

n階方陣.也可記

例如

2222

2 是一3方陣27對(duì)角陣(Diagonal方陣，主對(duì)角元素不全為零，非主對(duì)角元素都為零

,a2

,an)

an數(shù)量矩陣(Scalar方陣，主對(duì)角元素全為非零常數(shù)k，其余元素全為零

k 單位矩陣(Identity方陣，主對(duì)角元素全為1

n n

1nn行列式與矩陣的一個(gè)是行列式與矩陣的一個(gè)行列數(shù)相n記為:9矩陣的應(yīng)用例1：(通路矩a省兩個(gè)城

a1a2

b省三個(gè)城

,的交通聯(lián)結(jié)情況如圖。每條線上的數(shù)字表示聯(lián)結(jié)該兩城市的不同通路總數(shù).由該圖提供的通路信息可用矩陣形式表示,稱之為通路矩陣. 4 0 1 2 32 32 矩陣的應(yīng)用例2：(價(jià)格量的售價(jià)(以某種貨幣單位計(jì))可用以下矩陣 S2

191S3例3：(贏得矩陣我國(guó)古代有“賽馬”的事例,說(shuō)的戰(zhàn)國(guó)時(shí)代與其大將賽馬,雙方約定各出上、中3個(gè)等級(jí)的馬各一匹進(jìn)行比賽,這樣共賽馬3次,每已知在同一等級(jí)馬的比賽中，之馬可穩(wěn)操勝券,但的上、中等級(jí)的馬分別可勝中、比賽策略 (上、中、下1(上、下4的贏得矩陣

(中、上、下2(中、下、上5策

(下、中、上3(下、上、中6 11111111111 1例4：(系數(shù)矩陣n個(gè)變量x1x2xn與m個(gè)變量y1

y2,

之間的關(guān)系

a12x2

xnya ya

a22x2

a2nxn

am1

am2

amnxn表示從變

x1,x2,

到變量y1

y2,ym的線性變換

為常數(shù)

A(aij)mn稱為系數(shù)矩

a11a21

a22

a1nxna2nxn

am1

am2

amnxnA

a21

a22

a1n a2n

系數(shù)矩am1

am1

amn線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)y1

x1

0恒 等

x2

對(duì)

0位變

換yn

1

對(duì) n線性變

對(duì) cos

sin cosYP1x1,y1PxOYP1x1,y1PxOX問(wèn)題：例2：(價(jià)格量單位計(jì)）用以下矩陣給出。求各商家的總收入 S2

20 230 15 2 4 4

S3

45 矩陣相加減數(shù)乘矩矩陣相加減數(shù)乘矩矩陣的乘矩陣的轉(zhuǎn)方陣的行列矩陣相等同型矩陣：兩個(gè)矩陣相

設(shè)矩陣Amn與Bmn是同型矩陣，且對(duì)應(yīng)元素相等，即

b (i,j

稱矩陣A與B相等，記作AB.

8 z

4

4矩陣的加減加設(shè)有兩個(gè)mn矩陣A B

那末A與B的和記作AB，規(guī)定AB

a2

b1nb2n am

am

bmn注意：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算例如

12 6 13 1

6 6負(fù)矩陣A

a1n a2n

a am

m

mn

稱為矩陣A的負(fù)矩陣減法

AB

A(B)矩陣加法滿足的運(yùn)算規(guī)律1交換律：ABB2結(jié)合律：A

BC

A

C

A0

A,其中A與O是同型矩陣

A

A數(shù)與矩陣相數(shù)乘

數(shù)與矩陣A的乘積記作A或A規(guī)定A

A

1n. 2n. m

m mn注意：矩陣數(shù)乘與行列式數(shù)乘的區(qū)別32 64122252 42545數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)律（A、B

m

矩陣，,為數(shù)123A

B

A

矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái),統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)矩陣與矩陣量單位計(jì)）用以下矩陣給出。求各商家的總收入 S2

20 230 15 2 4 4

S3

45 矩陣與矩陣定義

A

是一

ms矩陣B

是一s

矩陣，那末規(guī)定

A與矩

B的乘是

mn矩陣C

，其

i2b2

k

i

j1,2,,并把此乘積記

C例

4

4

32?C ? 22

22

22例

2

4 A

0

B

4

1求

1解 A

B

C 2 2注意:只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.例如

8

3199

不存12

3

13

1 例3算下列矩陣的2

2 3 2

1

22 4

解:2 3

1

32

4.6 2 aa

=(

b2b3 例4：計(jì)算下列矩陣的

a1s

1s

a2s

2s2 2

a nnn n2

nsns

n2

nsns

a1na2n

na1n 2n

an2

annnn

n

n2

nannnn

nn

bnnn

nn矩陣乘法滿足的運(yùn)算規(guī)律1結(jié)合律

ABC

ABC2分配律

C

AB

AC,

CA

BA

3AB

（其

為數(shù)4

EA即：AB注意：矩陣乘即：ABA

1 B 1

1 1

0

BA

2

0

2 但也有例外，比如A

0

B

1, 2

1則

2 2BA 2 AB

ABACA0不能推B例如

A

1B

1C

2,

1 022 AB022

000

AC00

000

AB但是BAB0不能A0B方陣的冪若A是n階方陣

Ak為A

k次冪，

k并 AmAm

AmkAmk

mk為正整數(shù)當(dāng)ABBA時(shí)

ABk

AkBk方陣的多項(xiàng)式f(x)

axk

ak

xk

a1xk0kf(A)k0k

a

ak

Ak

a1Aa00矩陣的轉(zhuǎn)定義把矩

A的行換成同序數(shù)的列得到新矩陣，叫

A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 例 AB

5

2,,8BT

18.

22

45;88 6轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)律1AT

32A

BT

4

BTAT例5：已 A

求ABT解法解法

17 ABT

3131解法AB解法

BT

2 0

1 232

1713.

1

10對(duì)稱陣

A

階方陣，如果滿足A

AT， 那末稱為對(duì)稱陣

1例如A

0 6

為對(duì)稱陣說(shuō)明

對(duì)稱陣的元素以如果

則矩陣A

稱A是對(duì)稱矩 A 稱矩陣

T例

設(shè)Bmn,

BT

..例

T n 例

AAT

注：對(duì)稱矩陣的乘積不一定是對(duì)稱矩 1 例

1 3 方陣的行列定義：由n階方

A的元素所構(gòu)成的行列式叫做方陣

的行列式，記作Adet例:A 3 8

A6

38