概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用

概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用主講：王棟工程師博士下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!例1在一個口袋里裝有紅,綠,藍3種球各2個,一次任取2個球,設(shè)A={2個同色球},B={2個異色球},C={至少有一個紅球},D={最多有一個藍球}.求：（1）A與B的關(guān)系.（2）A+C.（3）BD.

I={紅紅，綠綠，藍藍，紅綠，綠藍，藍紅}，A={紅紅，綠綠，藍藍}，B={紅綠，綠藍，藍紅}，C={紅綠，紅藍，紅紅}，D={藍紅，藍綠，紅綠，紅紅，綠綠}，解（1）A與B是互不相容事件,又是互為對立事件,即（2）A+C={紅紅，綠綠，藍藍，紅綠，紅藍}.于是（3）BD={紅綠，藍紅，藍綠}=B.

首頁上頁下頁一、

典型例題解析概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!（1）設(shè)A={5件中恰有1件是次品}，因為在10件產(chǎn)品中有7件合格品，所以A包含的基本事件數(shù)是.例2在10件產(chǎn)品中,有7件合格品,3件次品.從中任取5件,計算：（1）5件中恰有1件是次品的概率；（2）5件都是合格品的概率.（3）5件中至少有4件合格品的概率.

解

從10件產(chǎn)品中任取5件的基本事件總數(shù)是.首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!

（2）設(shè)B={5件都是合格品}，則B包含的基本事件數(shù)是.（3）設(shè)C={5件中至少有4件合格品},則C包括恰有4件合格品和恰有5件合格品兩種情況,其包含的基本事件數(shù)是首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!

解法2

A的對立事件為={全是正品}，且首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!

例5有圓形零件100個,其中有92個直徑合格,有95個光潔度合格,兩個指標(biāo)都合格的有90個.從這100個零件中,任意抽取1個,（1）如果此零件光潔度合格,求直徑也合格的概率；（2）如果此零件直徑合格,求光潔度也合格的概率.

設(shè)A={光潔度合格}，B={直徑合格}，則解首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!例6設(shè)在一盒子中裝有100只電子元件，5只是次品，95只是正品.從中接連地取兩次，每次任取一只，取后不再放回，問兩次都取到正品的概率是多少？解

設(shè)A={次取得正品}，B={第二次取得正品}，則所以，“兩次都取到正品”的概率是首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!

例8某汽車公司下屬三個汽車制造廠,全部產(chǎn)品的40%由甲廠生產(chǎn),45%由乙廠生產(chǎn),15%由丙廠生產(chǎn),而甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的不合格品率分別為1%、2%、3%.求從該公司產(chǎn)品中隨機抽出一件產(chǎn)品為不合格品的概率.

解

設(shè)A1={抽到甲廠的產(chǎn)品},A2={抽到乙廠的產(chǎn)品},A3={抽到丙廠的產(chǎn)品},B={抽到不合格品},則A1,A2,A3兩兩互不相容,且首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!例9播種時用的一等小麥種子中混有2%的二等種子,1.5%的三等種子,1%的四等種子,用一等、二等、三等、四等種子長出的麥穗含50顆以上麥粒的概率各為0.5，0.15，0.1，0.05,試求這批種子所結(jié)麥穗含50顆以上麥粒的概率.

解

設(shè)從這批種子中任選一顆是一等小麥、二等小麥、三等小麥、四等小麥的事件分別記作A1,A2,A3,A4,用B表示在這批種子中任選一顆所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的事件.首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!例11某臺電子計算機,在發(fā)生故障前正常運行的時間T(小時)服從參數(shù)為的指數(shù)分布.求：（1）正常運行時間在50至100小時之間的概率.（2）運行100小時尚未發(fā)生故障的概率.

解首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!

例13在一部篇幅很大的書籍中，發(fā)現(xiàn)只有13.5%的頁數(shù)沒有印刷錯誤.如果我們假定每頁的錯字個數(shù)是服從泊松分布的隨機變量，求每頁的平均錯字個數(shù).

解首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!（2）如果有m人參加保險，公司可望收益為首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!解

設(shè)發(fā)生故障的元件數(shù)為X，每個元件發(fā)生故障的概率為p.

例16一臺儀器由10個獨立工作的元件組成,每一個元件發(fā)生故障的概率都相等,且在一規(guī)定時期內(nèi),平均發(fā)生故障的元件數(shù)為1,試求在這一規(guī)定的時間內(nèi)發(fā)生故障的元件數(shù)的方差.

首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!例1某企業(yè)家需要就該企業(yè)是否與另一家外國企業(yè)合資聯(lián)營做出決策.根據(jù)有關(guān)專家估計，合資聯(lián)營的成功率為0.4.若合資聯(lián)營成功，可增加利潤7萬元；若失敗，將減少利潤4萬元；若不聯(lián)營，則利潤不變.問此企業(yè)家應(yīng)如何做出決策？1．風(fēng)險決策問題解

用X表示選擇合資聯(lián)營能增加的利潤值.由于不合資聯(lián)營,增加的利潤為零,故應(yīng)做出合資聯(lián)營的決策.

首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!維修次數(shù)X500次以下600次700次800次概率0.40.30.20.1

問：該廠應(yīng)選擇哪種方案？解

若選擇第（1）方案，則工廠將支出維修費2400元.若選擇第（2）方案，則工廠支出維修費的期望值為該廠應(yīng)與維修中心訂立包修合同.

首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!

解

（1）若訂貨量為100筐，則期望利潤為（2）若訂貨量為110筐，則期望利潤為（3）若訂貨量為120筐，則期望利潤為（4）若訂貨量為130筐，則期望利潤為因此,該商店每天應(yīng)訂貨110筐.

首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!Z=f(X).首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!例5一批出口商品共1000件，已知該種商品的不合格品率約為2%，商檢部門用抽檢方案（30/3）進行檢驗（即從1000件商品中抽取30件，如果其中不合格品數(shù)不大于3件，則判定該批商品為合格批，從而被接受；如果其中不合格品數(shù)大于3件，則判定該批商品為不合格批，從而不被接受）.求該批商品的接受概率（記作)解

從1000件中任取30件，由于商品數(shù)量較大，所以不合格數(shù)的概率分布可用二項分布近似.首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!

保險費率也由純保險費率及附加保險費率兩部分組成，其中純保險費率等于損失率.設(shè)某類保險有n個危險單位，則純保險費率可根據(jù)以住的統(tǒng)計資料和經(jīng)驗定出，但在一定時期內(nèi)，發(fā)生事故的危險單位的個數(shù)是隨機的，所以總賠償費也是不能預(yù)先知道的，它和危險單位發(fā)生事故的概率有關(guān).因而賠償費的估計也只能用概率來描述.

首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!例6已知某項保險發(fā)生事故的概率為p=0.5%，共承保1000個危險單位，每一個危險單位的保險金額為5000元，保險費率為0.60%，其中20%為附加保險費.試求：（1）該項保險的純保險費及保險費；（2）賠償費的期望值；（3）賠償費超過純保險費的概率；（4）賠償費的支出大于6萬元的概率.

解

（1）純保險費及保險費：（2）賠償費的期望值：首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!

故賠償大于6萬元的概率約為0.2%，概率很小，因此這一事件可以說幾乎不會發(fā)生.

（4）當(dāng)賠償支出大于6萬時，危險單位大于12個.首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!

例3

100件商品中含有2件次品，其余都是正品.從中任取3件進行檢驗，求在3件中至少有1件次品的概率.

解法1

設(shè)A1={恰有1件次品}，A2={恰有2件次品}，A={至少有1件次品}，則首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!

例4

甲、乙兩射手進行射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為0.9，乙擊中目標(biāo)的概率為0.8，甲，乙二人同時擊中目標(biāo)的概率為0.72，求至少有一人擊中目標(biāo)的概率.

設(shè)A={甲擊中目標(biāo)}，B={乙擊中目標(biāo)}，C={至少一人擊中目標(biāo)}.則C=A+B，且P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(AB)=0.72.

解首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!（1）在光潔度合格的條件下直徑也合格的概率是（2）在直徑合格的條件下光潔度也合格的概率是首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!例7某人有5把鑰匙，只有一把能打開房門，逐把試開，假設(shè)每把試開的可能性相同.試求：（1）第2次才打開房門的概率.（2）3次內(nèi)打開房門的概率.

解

設(shè)事件Ai={第i次試開就打開房門}（i=1,2,3,4,5）.

首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!

首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!例10某交通電臺每隔10分鐘播報路況一次.如某司機在任一時刻收聽該臺的可能性相等，試求他等候播報路況時間小于3分鐘的概率.

解

設(shè)X表示該司機等候播報路況的時間.首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!例12甲、乙兩數(shù)控機床在生產(chǎn)同一標(biāo)準(zhǔn)件時所出的次品數(shù)分別用X,Y表示,根據(jù)長期的統(tǒng)計資料分析知,它們的分布列如下:問哪一臺機床的質(zhì)量好些？解，即甲機床質(zhì)量好些.

首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!例14根據(jù)統(tǒng)計資料，一位40歲的健康人在5年內(nèi)仍然活著的概率為，在5年內(nèi)死亡的概率為1-p，保險公司開辦人壽保險，參加者需交保險費a元（a為已知），如果5年內(nèi)死亡，公司賠償b元（）.（1）如何確定b，才能使公司可期望獲益？（2）如果有m人參加公司保險，公司可期望收益是多少？解首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!例15設(shè)某顯像管廠生產(chǎn)一種規(guī)格的顯像管的使用壽命X(小時)的概率分布列如下：求顯像管使用壽命的平均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.

解

首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!二、概率在生活中的應(yīng)用舉例1．風(fēng)險決策問題2．隨機型儲存問題3．抽樣檢驗問題4．保險問題首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!例2金海洗衣機廠明年將售給某市五金公司5000臺洗衣機,金海洗衣機約定保修一年,該廠對洗衣機保修工作的進行有以下2個方案可供選擇：（1）委托五金公司承包維修業(yè)務(wù),為期一年,維修次數(shù)不限，共需一次支付修理費2400元.（2）委托該市洗衣機維修中心承擔(dān)維修業(yè)務(wù)，但該維修中心提出：一年內(nèi)只能接受維修500次，共需支付修理費1500元.若超過500次，每增加一次需另付維修費5元.另根據(jù)過去的經(jīng)驗及當(dāng)前產(chǎn)品的質(zhì)量實際情況估計，今后一年內(nèi)洗衣機可能出現(xiàn)維修的次數(shù)及其發(fā)生的概率如下表：首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!

2．隨機型儲存問題例3某商店某月銷售一種易腐爛商品,每筐成本20元,售價50元.若每天剩余一筐,則損失20元.現(xiàn)市場的需求情況不清楚,但有去年同月（該月為30天）的日售量統(tǒng)計資料如下：日銷售量（筐）100110120130銷售天數(shù)61563概率0.20.50.20.1試決定今年同月的日訂貨量.

首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!解設(shè)Y表示某年準(zhǔn)備出口的此種商品量,出口該商品所獲得的收益為Z，則﹡例4假定在國際市場上，每年對我國某種出口商品的需求量是隨機變量X（t），由以往的統(tǒng)計資料可知，它近似地服從在區(qū)間[2000，4000]上的均勻分布.設(shè)每出售這種商品1t，可以為國家賺取外匯3萬元；如果不能售出，造成積壓，則每噸需付庫存費用1萬元.問每年應(yīng)組織多少貨源，才能使國家的收益為最大？首頁上頁下頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!3．抽樣檢驗問題在經(jīng)濟工作中,對商品的質(zhì)量進行檢驗是一項重要的工作.