2015年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)答案與解析

2015年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)答案與解析2015年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：每題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）（2015?天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，則集合A∩UB=（）A{3}．B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}考點：專題：分析：交、并、補集的混合運算．集合．求出集合B的補集，然后求解交集即可．點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．3．（5分）（2015?天津）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為（）A2B3C4D5．．．．考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)．專題：圖表型；算法和程序框圖．分析：模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的i，S的值，當(dāng)S=0時滿足條件S≤1，退出循環(huán)，輸出i的值為4．解答：解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得S=10，i=0i=1，S=9不滿足條件S≤1，i=2，S=7不滿足條件S≤1，i=3，S=4不滿足條件S≤1，i=4，S=0滿足條件S≤1，退出循環(huán)，輸出i的值為4．故選：C．點評：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確寫出每次循環(huán)得到的i，S的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）（2015?天津）設(shè)xR，則“1＜x＜2”是“|x2|＜1”的（）A充分而不必要條件．B必要而不充分條件．C充要條件．D既不充分也不必要條件．考點：充要條件．專題：簡易邏輯．分析：求解：|x2|＜1，得出“1＜x＜2”，根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．解答：解：|x2|＜1，1＜x＜3，“1＜x＜2”5．（5分）（2015?天津）已知雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一個焦點為F（2，0），且雙曲線的漸近線與圓（x2）2+y2=3相切，則雙曲線的方程為（）A．B．C．D．x2y2=1=1=1=1考點：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由題意可得雙曲線的漸近線方程，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑得，求出a，b的關(guān)系，結(jié)合焦點為F（2，0），求出a，b的值，即可得到雙曲線的方程．解答：解：雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0，雙曲線的漸近線與圓（x2）2+y2=3相切，，b=a，焦點為F（2，0），a2+b2=4，a=1，b=，雙曲線的方程為x2故選：D．=1．點評：本題考查點到直線的距離公式，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出a，b的值，是解題的關(guān)鍵．6．（5分）（2015?天津）如圖，在圓O中，M、N是弦AB的三等分點，弦CD，CE分別經(jīng)過點M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，則線段NE的長為（）AB3CD．．．．考點：與圓有關(guān)的比例線段．專題：選作題；推理和證明．分析：由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．解答：解：由相交弦定理可得CM?MD=AM?MB，2×4=AM?2AM，AM=2，MN=NB=2，又CN?NE=AN?NB，3×NE=4×2，NE=．故選：A．點評：本題考查相交弦定理，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．7．（5分）（2015?天津）已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2|xm|1（m為實數(shù)）為偶函數(shù)，記a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），則a，b，c的大小關(guān)系為（）A＜＜B＜＜C＜＜D＜＜abccabacbcba．．．．考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用；奇偶性與單調(diào)性的綜合．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性得出f（x）=2|x|解答：解：定義在R上的函數(shù)f（x）=2|xf（﹣x）=f（x），1=m|，利用單調(diào)性求解即可．1（m為實數(shù)）為偶函數(shù)，m=0，f（x）=2|x|，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，1=a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0＜log23＜log25，c＜a＜b，故選：B點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，計算能力，屬于中檔題．8．（5分）（2015?天津）已知函數(shù)f（x）=（x）﹣g（x）的零點個數(shù)為（），函數(shù)g（x）=3f（2x），則函數(shù)y=fA2B3C4D5．．．．考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題：開放型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：求出函數(shù)y=f（x）﹣g（x）的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）+f（2x），作出函數(shù)h（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．解答：解：g（x）=3f（2x），y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2x），由f（x）﹣3+f（2x）=0，得f（x）+f（2x）=3，設(shè)h（x）=f（x）+f（2x），若x≤0，則﹣x≥0，2x≥2，則h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2，若x≤0，則﹣x≥0，2x≥2，則h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2，若0≤x≤2，則﹣2≤x≤0，0≤2x≤2，則h（x）=f（x）+f（2x）=2若x＞2，﹣x＜0，2x＜0，x+2|2x|=2|2x+22+x=2，則h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2x|=x25x+8．即h（x）=，作出函數(shù)h（x）的圖象如圖：當(dāng)y=3時，兩個函數(shù)有2個交點，故函數(shù)y=f（x）﹣g（x）的零點個數(shù)為2個，故選：A．點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．9．（5分）（2015?天津）i是虛數(shù)單位，計算的結(jié)果為﹣i．考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：直接利用復(fù)數(shù)的除法運算法則化簡求解即可．解答：解：i是虛數(shù)單位，===i．故答案為：﹣i．點評：本題考查復(fù)數(shù)的乘除運算，基本知識的考查．10．（5分）（2015?天津）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為m3．考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是圓柱與兩個圓錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．解答：解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是底面相同的圓柱與兩個圓錐的組合體，且圓柱底面圓的半徑為1，高為2，圓錐底面圓的半徑為1，高為1；該幾何體的體積為V幾何體=2×π?12×1+π?12?2=π．故答案為：π．點評：本題考查了利用空間幾何體的三視圖求體積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．11．（5分）（2015?天津）已知函數(shù)f（x）=axlnx，x（0，+∞），其中a為實數(shù)，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f′（1）=3，則a的值為3．考點：導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：由題意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a．解答：解：因為f（x）=axlnx，所以f′（x）=f（x）=lna?axlnx+ax，又f′（1）=3，所以a=3；故答案為：3．點評：本題考查了求導(dǎo)公式的運用；熟練掌握求導(dǎo)公式是關(guān)鍵．12．（5分）（2015?天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，則當(dāng)a的值為4時，log2a?log2（2b）取得最大值．考點：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由條件可得a＞1，再利用基本不等式，求得當(dāng)a=4時，log2a?log2（2b）取得最大值，從而得出結(jié)論．解答：解：由題意可得當(dāng)log2a?log2（2b）最大時，log2a和log2（2b）都是正數(shù)，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a?log2（2b）≤=4，==當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=4時，取等號，即當(dāng)a=4時，log2a?log2（2b）取得最大值，故答案為：4．點評：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，注意檢查等號成立條件以及不等式的使用條件，屬于中檔題．13．（5分）（2015?天津）在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60°，點E和F分別在線段BC和DC上，且=，=，則?的值為．考點：平面向量數(shù)量積的運算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：根據(jù)向量數(shù)量積的公式和應(yīng)用，進(jìn)行運算求解即可．解答：解：AB=2，BC=1，ABC=60°，BG==，CD=21=1，BCD=120°，=?，=，=（+）?（+）=（+）?（+）=?+?+?+?=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案為：點評：本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件確定向量的長度和夾角是解決本題的關(guān)鍵．14．（5分）（2015?天津）已知函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），xR，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣ω，ω）內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=ω對稱，則ω的值為．考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．專題：開放型；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：由兩角和的正弦函數(shù)公式化簡解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ≤ωx+ω≤≤2kπ+，kZ可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合已知可得：﹣ω≥kZ，從而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函數(shù)f（x）的對稱軸為：x=合已知可得：ω2=，從而可求ω的值．，kZ，結(jié)解答：解：f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣ω，ω）內(nèi)單調(diào)遞增，ω＞02kπ≤ωx+≤2kπ+，kZ可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[，]，kZ，可得：﹣ω≥ω≤kZ，可解得：k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函數(shù)f（x）的對稱軸為：x=，kZ，由函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=ω對稱，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案為：．三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（13分）（2015?天津）設(shè)甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為27，9，18，先采用分層抽取的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員組隊參加比賽．（Ⅰ）求應(yīng)從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員的人數(shù)；（Ⅱ）將抽取的6名運動員進(jìn)行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6，現(xiàn)從這6名運動員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽．（i）用所給編號列出所有可能的結(jié)果；（ii）設(shè)A為事件“編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”，求事件A發(fā)生的概率．考點：古典概型及其概率計算公式．專題：概率與統(tǒng)計．分析：（Ⅰ）由題意可得抽取比例，可得相應(yīng)的人數(shù)；（Ⅱ）（i）列舉可得從6名運動員中隨機(jī)抽取2名的所有結(jié)果共15種；（ii）事件A包含上述9個，由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）由題意可得抽取比例為=，27×=3，9×=1，18×=2，應(yīng)甲、乙、丙三個協(xié)會中分別抽取的運動員的人數(shù)為3、1、2；（Ⅱ）（i）從6名運動員中隨機(jī)抽取2名的所有結(jié)果為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6），共15種；（ii）設(shè)A為事件“編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”，則事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6）共9個基本事件，事件A發(fā)生的概率P==16．（13分）（2015?天津）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3，bc=2，cosA=．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．考點：余弦定理的應(yīng)用；正弦定理的應(yīng)用．專題：解三角形．分析：（Ⅰ）通過三角形的面積以及已知條件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用兩角和的余弦函數(shù)化簡cos（2A+），然后直接求解即可．解答：解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=，可得sinA=，△ABC的面積為3，可得：，可得bc=24，又bc=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c22bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acossin2Asin==．點評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角公式，咋地了一余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力．17．（13分）（2015?天津）如圖，已知AA1平面ABC，BB1AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=BB1=2，點E和F分別為BC和A1C的中點．，（Ⅰ）求證：EF平面A1B1BA；（Ⅱ）求證：平面AEA1平面BCB1；（Ⅲ）求直線A1B1與平面BCB1所成角的大?。键c：平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（Ⅰ）連接A1B，易證EFA1B，由線面平行的判定定理可得；（Ⅱ）易證AEBC，BB1AE，可證AE平面BCB1，進(jìn)而可得面面垂直；（Ⅲ）取BB1中點M和B1C中點N，連接A1M，A1N，NE，易證A1B1N即為直線A1B1與平面BCB1所成角，解三角形可得．解答：（Ⅰ）證明：連接A1B，在△A1BC中，E和F分別是BC和A1C的中點，EFA1B，又A1B平面A1B1BA，EF平面A1B1BA，EF平面A1B1BA；（Ⅱ）證明：AB=AC，E為BC中點，AEBC，AA1平面ABC，BB1AA1，BB1平面ABC，BB1AE，又BC∩BB1=B，AE平面BCB1，又AE平面AEA1，平面AEA1平面BCB1；（Ⅲ）取BB1中點M和B1C中點N，連接A1M，A1N，NE，N和E分別為B1C和BC的中點，NE平行且等于B1B，NE平行且等于A1A，四邊形A1AEN是平行四邊形，A1N平行且等于AE，又AE平面BCB1，A1N平面BCB1，A1B1N即為直線A1B1與平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，A1N=AE=2，BMAA1，BM=AA1，A1MAB且A1M=AB，又由ABBB1，A1MBB1，在RTA1MB1中，A1B1==4，在RTA1NB1中，sinA1B1N==，A1B1N=30°，即直線A1B1與平面BCB1所成角的大小為30°18．（13分）（2015?天津）已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a53b2=7．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)cn=anbn，nN*，求數(shù)列{cn}的前n項和．考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）設(shè)出數(shù)列{an}的公比和數(shù)列{bn}的公差，由題意列出關(guān)于q，d的方程組，求解方程組得到q，d的值，則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式可求；（Ⅱ）由題意得到，然后利用錯位相減法求得數(shù)列{cn}的前n項和．解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{bn}的公差為d，由題意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q42q28=0．q＞0，解得q=2，d=2，數(shù)列{an}的通項公式為，nN*；數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n1，nN*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，設(shè){cn}的前n項和為Sn，則，，兩式作差得：=2n+132n1）×2n=2n3）×2n3．．點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前n項和，考查數(shù)列求和的基本方法和運算求解能力，是中檔題．19．（14分）（2015?天津）已知橢圓（Ⅰ）求直線BF的斜率．+=1（a＞b＞0）的上頂點為B，左焦點為F，離心率為．（Ⅱ）設(shè)直線BF與橢圓交于點P（P異于點B），過點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q（Q異于點B），直線PQ與y軸交于點M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sinBQP=，求橢圓的方程．考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：開放型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（Ⅰ）通過e=、a2=b2+c2、B（0，b），計算即得結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)點P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）．（i）通過（I），聯(lián)立直線BF與橢圓方程，利用韋達(dá)定理可得xP=，利用BQBP，聯(lián)立直線BQ與橢圓方程，通過韋達(dá)定理得xQ=，計算即得結(jié)論；（ii）通過=可得|PQ|=|PM|，利用|PM|sinBQP=，可得|BP|=，通過yP=2xP+2c=c計算可得c=1，進(jìn)而可得結(jié)論．解答：解：（Ⅰ）設(shè)左焦點F（﹣c，0），離心率e=，a2=b2+c2，a=c，b=2c，又B（0，b），直線BF的斜率k===2；（Ⅱ）設(shè)點P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）．（i）由（I）知a=c，b=2c，kBF=2，橢圓方程為+=1，直線BF方程為y=2x+2c，聯(lián)立直線BF與橢圓方程，消去y并整理得：3x2+5cx=0，解得xP=BQBP，直線BQ的方程為：y=x+2c，聯(lián)立直線BQ與橢圓方程，消去y并整理得：21x240cx=0，解得xQ=，，又λ=，及xM=0，λ==，==；（ii）==，即|PQ|=|PM|，又|PM|sinBQP=又yP=2xP+2c=，|BP|=|PQ|sinBQP=|PM|sinBQP=c，|BP|=c，，=因此c=c，即c=1，橢圓的方程為：+=1．點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線的方程、兩條直線垂直等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力以及用方程思想和化歸思想解決問題的能力，屬于中檔題．20．（14分）（2015?天津）已知函數(shù)f（x）=4xx4，xR．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)曲線y=f（x）與x軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為y=g（x），求證：對于任意的實數(shù)x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a為實數(shù)）有兩個實數(shù)根x1，x2，且x1＜x2，求證：x2x1≤+4．考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：開放型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點，由零點對定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性；