線性規(guī)劃模型與銷售計劃問題1

線性規(guī)劃模型與銷售計劃問題摘要：線性規(guī)劃模型是在生產(chǎn)和銷售中經(jīng)常使用的模型，本篇文章討論了如何利用線性規(guī)劃模型解決銷售計劃問題。采用合理的銷售方案以達到更大的經(jīng)濟效益。為解決這樣的問題，首先分析建立線性規(guī)劃模型，然后利用Matlab軟件工具箱中求解線性規(guī)劃模型的函數(shù)linprog,編寫Matlab程序，最后就可以求出滿足題意的解。關(guān)鍵詞：銷售；線性；實際問題的提出某商店擬制定某種商品7—12月的進貨、售貨計劃，已知商店倉庫最大容量為1500件，6月底已存貨300件，年底的庫存以不少于300件為宜，以后每月初進貨一次，假設(shè)各月份該商品買進、售出單價如下表。表1月789101112買進（元/件）282625272423.5售出（元/件）292726282525假設(shè)每件每月的庫存費用為0.5元，為使凈收益最多，各月進貨、售貨計劃該如何安排。問題的分析在中國戰(zhàn)國時期，曾經(jīng)有過一次流傳后世的賽馬比賽，相信大家都知道，這就是田忌賽馬。田忌賽馬的故事說明在已有的條件下，經(jīng)過籌劃、安排，選擇一個最好的方案，就會取得最好的效果。解決該問題的核心是要確定一組決策變量，使得在確定的約束條件下，目標函數(shù)取得最大值。其中，約束條件是決策變量的線性方程或線性不等式，目標函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)。由此可知，這種計劃的安排歸屬于線性規(guī)劃問題，可以建立線性規(guī)劃模型求解。該問題中決策變量、目標函數(shù)較多，無法利用圖解法，而如果利用單純性法求解過程很復(fù)雜，所以使用Matlab軟件編程求解。模型假設(shè)（1） 該種商品的價值不隨時間變化而發(fā)生增值或減值，每月實際售出商品可以是庫存商品或是當月買進商品；（2） 每月月初進貨，需要計算庫存費用的商品量為當月月底庫存商品量；（3） 只有銷售商品收入、買進商品費用、庫存費用計入凈收益計算公式，而運輸費，攤位費等管理費用不計；（4） 每月進貨、售貨計劃商品量相互獨立，互不影響。模型原理線性規(guī)劃是求一個函數(shù)f（x,x,…x）（稱為目標函數(shù)）在規(guī)定條件（x,x,…x）eA（稱12n12n為約束條件）下的極大值或極小值問題。設(shè)線性規(guī)劃模型的一般式為：5.1)max(min)Z二cx+cxd F5.1)1122nn約束條件（s.t.）ax約束條件（s.t.）ax+axF dax111 122 1nnaxFaxF…Fax211 222 2nn5.2)ax+axF Fax<m11 m22mnnx>0,(j=1,2,—n)j滿足約束條件（5.2）的一組數(shù)（x,x,…x），稱為該線性規(guī)劃模型的可行解。1 2n

為討論方便，我們規(guī)定線性規(guī)劃模型的標準型，而其它非標準型總可以通過一些方法化為標準型。線性規(guī)劃模型的標準型為：目標函數(shù)maZ二cx+cxH Fcx11 22 nn5.3)約束條件(s.t.)<a x+a x H F目標函數(shù)maZ二cx+cxH Fcx11 22 nn5.3)約束條件(s.t.)<a x+a x H Fa x111 122 1nna x+a x H Fa x211 222 2nn=b1=b25.4)axHaxH…Haxm11 m22 mnnx>0,(j=1,2,…n)j注意，在線性規(guī)劃模型的標準型中，約束條件是一組線性等式，也稱為約束方程組，利用向量或矩陣符號，線性規(guī)劃模型的標準型還可以記為：maxZ=CX目標函數(shù)約束條件'a11a21a12

a22a、Ina2nIaa(b)1b2，X=(x)1x2，X>0是指X的各分量x,x,…x>0。12 n&丿m<x丿nB=m2a丿mnm15建立模型根據(jù)線性規(guī)劃模型的原理和方法，結(jié)合題目數(shù)據(jù)和要求，建立適合本題的模型。(1)確定決策變量因為該種商品在7—12月均涉及進貨、售貨兩種計劃，令i=1,2,3,4,5,6分別代表7月，8月，9月，10月，11月，12月；令j=1，2分別代表進貨計劃和售貨計劃。設(shè)決策變量Xij為該種商品在第i月的j計劃下的數(shù)量(件)(2)確定目標函數(shù)由題意，6月底存貨300件，可知：月存貨量為300＋X11－X12;月份存貨量為300＋X11－X12＋X21－X22;月份存貨量為300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32;10月份存貨量為300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X42;月份存貨量為300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X42＋X51－X52;月份存貨量為300＋X11－X12＋X21－X22＋X31－X32＋X41－X42＋X51－X52＋X61－X62;為使凈收益最大，目標函數(shù)為：MaxZ=29X12-28X11+27X22-26X21+26X32-25X31+28X42-27X41+25X52-24X51+25X62—23.5X61—0.5x{(300+X11—X12)+(300+X11—X12+X21—X22)＋(300＋X11-X12＋X21-X22＋X31-X32)＋(300＋X11-X12＋X21-X22+X31-X32+X41-X42)+(300+X11-X12+X21-X22+X31-X32+X41-X42+X51-X52)+(300+X11-X12+X21-X22+X31-X32+X41-X42+X51-X52+X61-X62)}確定約束條件倉庫最大容量不超過1500件：0<300+X11-X12<15000S300+X11—X12+X21—X22S15000<300+X11—X12+X21—X22+X31—X32<15000<300+X11—X12+X21—X22+X31—X32+X41—X42<15000<300+X11—X12+X21—X22+X31—X32+X41—X42+X51—X52<15000<300+X11-X12+X21-X22+X31-X32+X41-X42+X51-X52+X61-X62<1500年底庫存量不少于300：300+X11—X12+X21—X22+X31—X32+X41—X42+X51—X52+X61—X62>300且各決策變量要求非負，即Xij>0,i=1,2,3,4,5,6;j=1,2建立線性規(guī)劃模型綜上所述，該問題的線性規(guī)劃模型如下：MaxZ=29X12—28X11+27X22—26X21+26X32—25X31+28X42—27X41+25X52—24X51+25X62—23.5X61-0.5x{(300+X11—X12)+(300+X11—X12+X21—X22)+(300+X11—X12+X21—X22+X31—X32)+(300+X11—X12+X21—X22+X31—X32+X41—X42)+(300+X11—X12+X21—X22+X31—X32+X41—X42+X51—X52)+(300+X11—X12+X21—X22+X31—X32+X41—X42+X51—X52+X61—X62)}s.t0<300+X11—X12<15000<300+X11—X12+X21—X22<15000<300+X11—X12+X21—X22+X31—X32<15000<300+X11—X12+X21—X22+X31—X32+X41—X42<15000<300+X11—X12+X21—X22+X31—X32+X41—X42+X51—X52<1500300+X11—X12+X21—X22+X31—X32+X41—X42+X51—X52+X61—X62<1500300+X11—X12+X21—X22+X31—X32+X41—X42+X51—X52+X61—X62>300Xij>0,i=1,2,3,4,5,6;j=1,26模型求解運用Matlab求線性規(guī)劃解——將目標函數(shù)進行整理，可得：MaxZ=32X12—31X11+29.5X22—28.5X21+28X32—27X31+29.5X42—28.5X41+26X52—25X51+25.5X62—24X61—900為應(yīng)用Matlab求解上述線性規(guī)劃問題，將上述模型改寫成Matlab適用的模型，其形式為：MinZ=31X11—32X12+28.5X21—29.5X22+27X31—28X32+28.5X41—29.5X42+25X51—26X52+24X61—25.5X62s.t.X11—X12<1200X12—X11S300Xll—X12+X21—X22S1200X12—X11+X22—X21S300Xll—X12+X21—X22+X31—X32<1200X12—X11+X22—X21+X32—X31<300X11—X12+X21—X22+X31—X32+X41—X42<1200X12—X11+X22—X21+X32—X31+X42—X41<300X11—X12+X21—X22+X31—X32+X41—X42+X51—X52<1200X12—X11+X22—X21+X32—X31+X42—X41+X52—X51<300X11—X12+X21—X22+X31—X32+X41—X42+X51—X52+X61—X62<1200X12—X11+X22—X21+X32—X31+X42—X41+X52—X51+X62—X61<0XijNO,i=1,2,3,4,5,6;j=1,2⑶建立M文件，編寫Matlab程序：c=[31,-32,28.5,-29.5,27,-28,28.5,-29.5,25,-26,24,-25.5];A=[1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;1,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0;-1,1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;1,-1,1,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0;-1,1,-1,1,-1,1,0,0,0,0,0,0;1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,0,0,0,0;-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,0,0,0,0;1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,0,0;-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,0,0;1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1;-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1];b=[1200;300;1200;300;1200;300;1200;300;1200;300;1200;0];lb=zeros[12,1];x=linprog(c,A,b,[],[],lb);Z=c*x(4)運行上述Matlab程序，計算得：x=0300001500001500003000Z'二6150于是7-12月該商品進貨、售貨計劃為：表2月份789101112買進（件）00150000300售出（件）30000150000該種商品的最大凈收益