2021-2022學(xué)年江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)禮嘉中學(xué)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)禮嘉中學(xué)高二下學(xué)期階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，，若，則x的值為（

）A．4 B． C．4或 D．5A【分析】由向量平行有且，結(jié)合已知坐標(biāo)列方程組求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，且，則，可得.故選：A2．小李和父母、爺爺奶奶一起排隊(duì)去做核酸，5人排成一列（他們之間沒(méi)有其他人）.若小李的父母至少有一人與他相鄰，則不同排法的總數(shù)為（

）A．84 B．78 C．108 D．96A【分析】首先計(jì)算小李與父母中一人相鄰的排法數(shù)并加總，再排除小李與父母都相鄰的情況，即可得結(jié)果.【詳解】爺爺奶奶和父母中的一人，三人成列有種，隊(duì)列有4個(gè)空，小李與父母中另一人相鄰有種，再作為整體插入隊(duì)列中有種，所以共有種；爺爺奶奶兩人成列有種，隊(duì)列有3個(gè)空，小李與父母都相鄰有種，再作為整體插入隊(duì)列中有種，所以共有種；綜上，共有種.故選：A3．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B(4，)，（

）A． B． C． D．D【分析】利用二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式，計(jì)算出正確選項(xiàng).【詳解】∵隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B(4，)，∴.故選：D.4．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B． C． D．15B【分析】求出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再由x的冪指數(shù)為2確定項(xiàng)數(shù)，進(jìn)行計(jì)算作答.【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，當(dāng)，即時(shí)，，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是60.故選：B5．如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．D【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求直線(xiàn)的方向向量、平面的法向量，應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)表示，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【詳解】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，，設(shè)面的法向量為，有，取，則，所以，，，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．故選：D.6．將5名核酸檢測(cè)工作志愿者分配到防疫測(cè)溫?信息登記?維持秩序?現(xiàn)場(chǎng)指引4個(gè)崗位，每名志愿者只分配1個(gè)崗位，每個(gè)崗位至少分配1名志愿者，則不同分配方案共有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種B【分析】首先從5人中選出2人作為一組，再與其余3人一同分配到4個(gè)不同的崗位，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【詳解】解：首先從5人中選出2人作為一組，再與其余3人一同分配到4個(gè)不同的崗位，故有種不同的分配方案；故選：B7．北京冬奧會(huì)的舉辦掀起了一陣冰雪運(yùn)動(dòng)的熱潮．某高校在本校學(xué)生中對(duì)“喜歡滑冰是否與性別有關(guān)”做了一次調(diào)查，參與調(diào)查的學(xué)生中，男生人數(shù)是女生人數(shù)的倍，有的男生喜歡滑冰，有的女生喜歡滑冰．若根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法，有的把握認(rèn)為是否喜歡滑冰和性別有關(guān)，則參與調(diào)查的男生人數(shù)可能為（

）參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．C【分析】設(shè)男生人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且,寫(xiě)出列聯(lián)表并根據(jù)卡方計(jì)算公式，結(jié)合題意確定卡方值的范圍，即可確定的取值范圍，進(jìn)而確定男生可能人數(shù).【詳解】設(shè)男生人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且,可得列聯(lián)表如下：男生女生合計(jì)喜歡滑冰不喜歡滑冰合計(jì)所以，因?yàn)橛械陌盐照J(rèn)為是否喜歡滑冰和性別有關(guān)，所以，解得，所以，結(jié)合選項(xiàng)只有，故選:C.8．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別為上底面和側(cè)面的中心，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，按照距離的向量求法求解即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知，設(shè)平面的法向量，則，令，解得，故點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.二、多選題9．北京冬奧會(huì)臨近開(kāi)幕，大眾對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)關(guān)注不斷上升，各地陸續(xù)建成眾多冰雪設(shè)施，廣大市民有條件體驗(yàn)冰雪活動(dòng)的樂(lè)趣，為研究市民性別和喜歡冰雪活動(dòng)是否有關(guān)，某校社團(tuán)學(xué)生在部分市民中進(jìn)行了一次調(diào)查，得到下表：冰雪運(yùn)動(dòng)的喜好性別合計(jì)男性女性喜歡140m140+m不喜歡n8080+n合計(jì)140+n80+m220+m+n已知男性喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占男性人數(shù)的，女性喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占女性人數(shù)的，則（

）參考：，P(＞3.841)＝0.05，P(＞6.635)＝0.01．A．列聯(lián)表中n的值為60，m的值為120B．有95%的把握認(rèn)為市民性別和喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)系C．隨機(jī)對(duì)一路人進(jìn)行調(diào)查，有95%的可能性對(duì)方喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)D．沒(méi)有99%的把握認(rèn)為市民性別和喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)系A(chǔ)BD【分析】利用列聯(lián)表及給定占比計(jì)算判斷A；計(jì)算觀測(cè)值再比對(duì)判斷B；利用列聯(lián)表求出對(duì)應(yīng)頻率判斷C；利用觀測(cè)值并比對(duì)判斷D即可作答.【詳解】依題意，，解得，由，解得，A正確；，則有95％的把握認(rèn)為市民性別與喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)系，B正確；隨機(jī)對(duì)一路人進(jìn)行調(diào)查，喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的頻率為：，則有65%的可能性對(duì)方喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)，C不正確；，沒(méi)有99％的把握認(rèn)為市民性別與喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)系，D正確.故選：ABD10．已知二項(xiàng)式，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為160 B．展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是60C．若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64 D．展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)AB【分析】根據(jù)給定二項(xiàng)式，利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算判斷A，B；求出各項(xiàng)系數(shù)和判斷C；利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷D作答.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，由得，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，A正確；由得，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是，B正確；由展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，C不正確；展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第4項(xiàng)，D不正確.故選：AB11．根據(jù)我省普通高中高考綜合改革方案，現(xiàn)將某校高二年級(jí)1000名參加生物選擇考同學(xué)的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分，知等級(jí)分X的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為[30,100]，若使等級(jí)分，則下列說(shuō)法正確的有（

）（參考數(shù)據(jù)：①；②；③.）A．這次等級(jí)分超過(guò)80分的約有450人B．這次等級(jí)分在(65,95]內(nèi)的人數(shù)約為997C．甲、乙、丙3人中至多有2人的等級(jí)分超過(guò)80分的概率為D．BCD【分析】利用正態(tài)分布的三段區(qū)間的概率求特殊區(qū)間的概率并估計(jì)人數(shù)判斷A、B、D，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式求C中概率.【詳解】由題設(shè)，，A：，故人，錯(cuò)誤；B：在(65,95]內(nèi)的概率為，則人，正確；C：甲、乙、丙3人中至多有2人的等級(jí)分超過(guò)80分的概率，正確；D：，正確；故選：BCD12．如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P，Q分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．棱上存在一點(diǎn)M，使得//平面B．直線(xiàn)到平面的距離為C．過(guò)且與面平行的平面截正方體所得截面面積為D．過(guò)PQ的平面截正方體的外接球所得截面面積的最小值為BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，借助空間向量分析計(jì)算可判斷A，B；作出過(guò)與平面平行的正方體截面，計(jì)算其面積判斷C；求出直線(xiàn)PQ被正方體的外接球所截弦長(zhǎng)即可計(jì)算作答.【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)棱上點(diǎn)，，則，若//平面，則有，解得，與矛盾，即在棱上不存在點(diǎn)M，使得//平面，A不正確；連AC，矩形是正方體的對(duì)角面，有，而P，Q分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，則，又平面，平面，于是有平面，直線(xiàn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離h，因，則，B正確；取AD，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，則，即確定一個(gè)平面，如圖，依題意，，，即四邊形是平行四邊形，，平面，平面，于是得平面，顯然，平面，平面，于是得平面，而，平面，因此，平面平面，即梯形是過(guò)與平面平行的正方體的截面，而，則此等腰梯形的高，所以過(guò)與平面平行的正方體的截面面積為，C正確；過(guò)PQ的平面截正方體的外接球所得截面小圓最小時(shí)，該小圓直徑是直線(xiàn)PQ被正方體的外接球所截弦，由對(duì)稱(chēng)性知線(xiàn)段PQ中點(diǎn)N是這個(gè)小圓的圓心，令正方體的外接球球心為O，連接ON，OP，則，而，而球半徑，則這個(gè)小圓半徑，此圓面積為，D正確.故選：BCD關(guān)鍵點(diǎn)睛：幾何體的外接球的表面積、體積計(jì)算問(wèn)題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位置是解題的關(guān)鍵.三、填空題13．向量，，，且，，則______.【分析】利用向量平行、垂直的坐標(biāo)表示求出x，y，再利用坐標(biāo)求出向量的模作答.【詳解】因，，而，則有，解得，即又，且，則有，解得，即，于是得，，所以.故14．某產(chǎn)品在某零售攤位上的零售價(jià)x（元）與銷(xiāo)售量y（個(gè)/天）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：x16171819y50m3431根據(jù)表中的全部數(shù)據(jù)，得到y(tǒng)關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為，則表中m的值為_(kāi)___.41【分析】求出，由回歸直線(xiàn)過(guò)中心可得值．【詳解】由題意，，所以，解得．故41．15．已知，且，則______．【分析】運(yùn)用二項(xiàng)式定理將進(jìn)行展開(kāi)，分別求出各個(gè)項(xiàng)的系數(shù)，再帶入到中，解方程即可求．【詳解】由二項(xiàng)式定理得：的通項(xiàng)為：，又則其通項(xiàng)為：即，，，，，，代入，化簡(jiǎn)得：，解得故．16．如圖，在正四棱錐中，分別為側(cè)棱上的點(diǎn)，四點(diǎn)共面，若，則_________..【分析】先證明成立，設(shè)正四棱錐的體積為，，應(yīng)用結(jié)論可得，從而可解得，進(jìn)而可得.【詳解】先證明一個(gè)結(jié)論：如圖，若不在同一平面內(nèi)的射線(xiàn)上分別存在點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，則四面體體積之比.事實(shí)上，設(shè)分別是點(diǎn)到平面的距離，則，從而.設(shè)正四棱錐的體積為，，應(yīng)用上述結(jié)論可得，則，，則，所以；同理可得.所以，解得，即，從而.故答案為.結(jié)論點(diǎn)睛：若不在同一平面內(nèi)的射線(xiàn)上分別存在點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，則四面體體積之比.四、解答題17．已知某圓上的10個(gè)不同的點(diǎn).(1)過(guò)每2個(gè)點(diǎn)畫(huà)一條弦，一共可畫(huà)多少條弦？(2)過(guò)每3個(gè)點(diǎn)畫(huà)一個(gè)圓內(nèi)接三角形，一共可畫(huà)多少個(gè)圓內(nèi)接三角形？(1)條(2)個(gè)【分析】（1）根據(jù)2點(diǎn)可以確定一條直線(xiàn)，可得從10個(gè)點(diǎn)任選2個(gè)點(diǎn)取法，即可求得答案；（2）根據(jù)不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，可得從10個(gè)點(diǎn)任選3個(gè)點(diǎn)取法有，即可求得答案.【詳解】（1）2點(diǎn)可以確定一條直線(xiàn)從10個(gè)點(diǎn)任選2個(gè)點(diǎn)取法故一共可畫(huà)條弦（2）不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)圓從10個(gè)點(diǎn)任選3個(gè)點(diǎn)取法有故一共可畫(huà)個(gè)圓內(nèi)接三角形18．如圖，在三棱錐中，平面平面，，都是等腰直角三角形，，，，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面.(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由三角形的中位線(xiàn)定理可證得MN∥AB，再由線(xiàn)面垂直的判定定理可證得結(jié)論，（2）由已知可得AB⊥BC，VC⊥AC，再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得VC⊥平面ABC，從而有AB⊥VC，然后由線(xiàn)面垂直的判定定理可證得結(jié)論【詳解】（1）證明：∵M(jìn)，N分別為VA，VB的中點(diǎn)，∴MN∥AB，∵AB?平面CMN，MN?平面CMN，∴AB∥平面CMN．（2）證明：∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV，∴AB⊥BC，VC⊥AC，∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，∴VC⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴AB⊥VC，又VC∩BC＝C，∴AB⊥平面VBC．19．某加工廠加工某種零件，由新舊兩臺(tái)機(jī)床加工，為考核兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工質(zhì)量，各抽取100個(gè)樣本，測(cè)偏差率，得數(shù)據(jù)如下表：偏差率新機(jī)床202535119舊機(jī)床1020302515其中偏差率小于0.06的為合格產(chǎn)品.(1)若兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)零件總數(shù)量相同，以樣本頻率為概率，求任取一件產(chǎn)品為合格品的概率；(2)填下表：合格品不合格品合計(jì)新機(jī)床舊機(jī)床合計(jì)計(jì)算有無(wú)99.9%的把握認(rèn)為合格率大小與新舊機(jī)床有關(guān).參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)；(2)填表答案見(jiàn)解析，沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為合格率大小與新舊機(jī)床有關(guān).【分析】（1）利用古典概型概率公式即得；（2）由題可得列聯(lián)表，利用公式計(jì)算即得.【詳解】（1）由題可得200個(gè)樣本中，合格品有140個(gè)，故任取一件產(chǎn)品為合格品的概率.（2）表格填充如下：合格品不合格品合計(jì)新機(jī)床8020100舊機(jī)床6040100合計(jì)14060200，所以沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為合格率大小與新舊機(jī)床有關(guān).20．在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形,底面.,且,,.(1)若與交于點(diǎn),求證:平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的余弦值.(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）如圖，取中點(diǎn)，連，，易得，且，又由已知得，，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，只需證明，即可.（3）根據(jù)兩個(gè)面的法向量求解即可.【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連，，在中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且，又由已知得，，且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以又平面，平面所以平面（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則，所以，，所以，且所以，；又，所以平面（3）設(shè)平面的法向量為由（Ⅱ）知，所以，令，得又平面的法向量為設(shè)二面角的大小為，是銳角則所以二面角的余弦值為21．某高校的入學(xué)面試中有編號(hào)為A，B，C的3道試題，每位面試者依次作答這3道試題.面試共有3次機(jī)會(huì)，只要答對(duì)其中一道題面試即通過(guò)，無(wú)需繼續(xù)答題，否則就作答下一題，直到3次答題機(jī)會(huì)全部用完.該校規(guī)定：答對(duì)A題通過(guò)者得30分，答對(duì)B題通過(guò)者得20分，答對(duì)C題通過(guò)者得10分，未通過(guò)面試者得0分.若小明同學(xué)答對(duì)A題的概率是，答對(duì)B題的概率是，答對(duì)C題的概率是，且各題作答相互獨(dú)立.(1)求小明同學(xué)答題不超過(guò)2道的概率；(2)記小明同學(xué)得分為X分，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望.(1)；(2)詳見(jiàn)解析.【分析】（1）