2021-2022學(xué)年福建省莆田市第四中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年福建省莆田市高一上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．的值為（

）A． B． C． D．D【分析】由誘導(dǎo)公式一即可值【詳解】故選：D2．命題“，使.”的否定形式是（

）A．“，使” B．“，使”C．“，使” D．“，使”D【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，即可得出命題的否定形式．【詳解】因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以命題“，使”的否定形式為：，使．故選：D．3．設(shè)函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，（其中為實(shí)數(shù)），則的值為A． B． C． D．C【分析】先由函數(shù)奇偶性，結(jié)合題意求出，計(jì)算出，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，解得，則，所以，因此.故選C本題主要考查由函數(shù)奇偶性求函數(shù)值，熟記奇偶性的概念即可，屬于常考題型.4．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．C先根據(jù)題意得冪函數(shù)解析式為，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得：．故的取值范圍是.故選：C.本題考查冪函數(shù)的定義，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)冪函數(shù)的系數(shù)為待定系數(shù)求得解析式，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性解不等式.5．已知，且，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．8A由于，且，則利用基本不等式可得，從而可得答案【詳解】因?yàn)?，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為故選：A．6．已知函數(shù)的零點(diǎn)為，設(shè)，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．B根據(jù)零點(diǎn)定義將零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成函數(shù)，的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出，值，之后比較大小即可得出答案.【詳解】解：由已知得，數(shù)形結(jié)合得，則，，所以．故選：B．根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)有三種常用方法：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.7．根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員在血液中的酒精含量大于或等于20mg/100mL/小于80mg/100mL時(shí)的駕駛行為視為飲酒駕駛．某人喝了酒后，血液中的酒精含量升到60mg/100mL．在停止喝酒后，若血液中的酒精含量以每小時(shí)20%的速度減少，為了保障交通安全，這人至少經(jīng)過(guò)幾小時(shí)才能開(kāi)車（

）（精確到1小時(shí)，參考數(shù)據(jù)，）A．7 B．6 C．5 D．4C設(shè)這人至少經(jīng)過(guò)小時(shí)才能開(kāi)車，根據(jù)血液中的酒精含量以每小時(shí)20%的速度減少，由求解.【詳解】設(shè)這人至少經(jīng)過(guò)小時(shí)才能開(kāi)車，由題意得：，即，所以，所以這人至少經(jīng)過(guò)5小時(shí)才能開(kāi)車，故選：C8．已知函數(shù)的定域?yàn)?，圖象恒過(guò)點(diǎn)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為（

）．A． B． C． D．B由，設(shè)，得到，令，然后將不等式，轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)?，不妨設(shè)，則，令，在R上遞增，又，所以不等式，即為，即，所以，則，解得，故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性得解.二、多選題9．下列命題中，正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若且，則BC【分析】舉反例說(shuō)明A錯(cuò)誤；利用不等式性質(zhì)可判斷;利用作差法比較大小，判斷C.【詳解】若，當(dāng)時(shí)，則不成立，A錯(cuò)誤；若，則，故B正確；若且，則，則，C正確；若且，則，故，故D錯(cuò)誤，故選:10．下列計(jì)算正確的有（

）A． B．C． D．AB【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷A；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷B、C；由根式的性質(zhì)可判斷D.【詳解】，正確；，B正確；，C不正確；，D不正確.故選：AB.11．下列命題正確的有（

）A．函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn) B．的最大值為1C．與是同一函數(shù) D．是奇函數(shù)ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性單調(diào)性逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A，，顯然是增函數(shù)，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，在上存在唯一零點(diǎn)，正確；對(duì)于B，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，所以在x=0處取得最大值，正確；對(duì)于C，的定義域是，

的定義域是，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，是奇函數(shù)，正確；故選：ABD.12．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．的值域是BC計(jì)算得出判斷選項(xiàng)A不正確；用函數(shù)的奇偶性定義，可證是奇函數(shù)，選項(xiàng)B正確；通過(guò)分離常數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得出在R上是增函數(shù)，判斷選項(xiàng)C正確；由的范圍，利用不等式的關(guān)系，可求出，選項(xiàng)D不正確，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意知，.∵，，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；，∴是奇函數(shù)，B正確；在R上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在R上是增函數(shù)，C正確；，，，，，D錯(cuò)誤.故選：BC.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題是一道以數(shù)學(xué)文化為背景，判斷函數(shù)性質(zhì)的習(xí)題，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)，然后才會(huì)對(duì)函數(shù)變形，并作出判斷.三、填空題13．已知扇形的圓心角為，扇形的面積為，則該扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)___________.利用扇形的面積求出扇形的半徑，再帶入弧長(zhǎng)計(jì)算公式即可得出結(jié)果．【詳解】解：由于扇形的圓心角為，扇形的面積為，則扇形的面積，解得：，此扇形所含的弧長(zhǎng).故答案為.14．已知函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則的值為_(kāi)_____.【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的求法可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由三角函數(shù)定義可直接得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，.故答案為.15．已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出，解不等式即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，設(shè)，而外層函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則可知內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，由已知，應(yīng)有，且滿足當(dāng)時(shí)，，即，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.16．已知函數(shù)，若存在（），使，則的取值范圍是______.【分析】先畫(huà)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象判斷，再利用函數(shù)的單調(diào)性即得.【詳解】作出的大致圖象，由圖可知，關(guān)于軸對(duì)稱，即，由，可得，所以，則，因?yàn)?，所以，又?dāng)，單調(diào)遞減，所以，即的取值范圍是.故答案為.四、解答題17．已知集合.(1)求；(2)若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，利用補(bǔ)集和交集的運(yùn)算求解.（2）根據(jù)“”是“”的必要條件，由,分，求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以,①，所以；②，則則.綜上，.18．已知函數(shù)，其中且.（1）判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）若，求使成立的x的集合.（1）奇函數(shù)，理由見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）先求得函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，化簡(jiǎn)得到，即可得到結(jié)論；（2）由，列出方程求得，得到，根據(jù)，得到不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)有意義，則滿足，解得，即的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以是定義域上的奇函數(shù).（2）由，可得，解得，所以函數(shù)，又由，則，可得，解得，故不等式的解集為.19．（1）已知求的值；（2）已知，且β為第四象限角，求的值.（1）-1；（2）【分析】（1）先求出，進(jìn)而由，將所求的式子化為二次齊次式，進(jìn)而得到含的式子，從而得解（2）由，結(jié)合角的范圍可得解.【詳解】（1）由，得，所以，.（2），所以，又為第四象限角，所以，所以.20．某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬(wàn)元時(shí)，兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元.(1)分別寫(xiě)出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系.(2)該家庭現(xiàn)有20萬(wàn)元資金，全部用于理財(cái)投資，怎樣分配資金才能獲得最大收益？其收益最大為多少萬(wàn)元？(1)，；(2)投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品16萬(wàn)元，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品為萬(wàn)元時(shí)，收益最大為3萬(wàn)元.【分析】（1）設(shè)投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品收益為，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品收益為，結(jié)合已知，應(yīng)用待定系數(shù)法求參數(shù)，即可寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品x萬(wàn)元，則投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品為萬(wàn)元，可得收益函數(shù)為，應(yīng)用換元法(注意定義域)及二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可.【詳解】（1）設(shè)投資x萬(wàn)元時(shí)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益為萬(wàn)元，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益為萬(wàn)元，由題意知：，即；，即，∴兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系式分別是：，；（2）設(shè)投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品x萬(wàn)元，則投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品為萬(wàn)元，由題意，投資獲得的收益，令，則，∴原問(wèn)題為求的最大值.，∴當(dāng)，即萬(wàn)元時(shí)收益最大，最大為3萬(wàn)元.故投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品16萬(wàn)元，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品為萬(wàn)元時(shí)，收益最大為3萬(wàn)元.21．已知函數(shù).(1)解關(guān)于x的不等式；(2)設(shè)，若對(duì)于任意的都有，求M的最小值.(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）題設(shè)不等式可化為，討論、、分別求得它們的解集；（2）由題意知：在上的值域?yàn)?，要使只需，進(jìn)而可求的最小值.【詳解】（1），化簡(jiǎn)有，即整理得，∴當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；（2）∵時(shí)，，∴根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，有，∴，∵對(duì)于都有，即求，轉(zhuǎn)化為，而，，∴，即的最小值為.22．已知函數(shù)，.（1）若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)解，求m的取值范圍；（2）設(shè)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和不大于，求m的取值范圍.（1）；（2）.（1）方程等價(jià)于有兩個(gè)根，令，，進(jìn)而可得在上有且僅有兩個(gè)解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.（2）判斷函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值，