2022-2023學年北京市海淀區(qū)北京第一零一中學高二年級上冊學期期中考試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年北京市海淀區(qū)北京第一零一中學高二上學期期中數(shù)學試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)題意，將直線方程化為斜截式，求出直線的斜率，由斜率與傾斜角的關(guān)系，及可求解．【詳解】由，得，故斜率為，因，所以傾斜角．故選：D．2．圓關(guān)于原點對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．C【分析】先求出圓心關(guān)于原點的對稱點，從而可求出所求圓的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因為點關(guān)于原點對稱點為，所以圓關(guān)于原點對稱的圓的方程為，故選：C.3．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)空間向量的線性運算法則——三角形法，準確運算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.4．已知直線，點和點，若，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C．2 D．B求出直線的斜率，根據(jù)直線平行的斜率關(guān)系得出實數(shù)的值.【詳解】，由于，則直線的斜率為即，故選：B5．若點為圓的弦的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．C【分析】由垂徑定理可知，求出直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】圓的標準方程方程為，，即點在圓內(nèi)，圓心，，由垂徑定理可知，則，故直線的方程為，即.故選：C.6．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，則必有（

）A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分別判斷選項中的命題是否正確即可．【詳解】易知GH∥D1C，因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故選項A錯誤；易知EF∥A1B，與選項A同理，可判斷選項B錯誤；因為EF∥A1B，而直線A1B與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，所以平面EFGH與平面ABCD相交，選項C錯誤；對于，平面平面，理由是：由，，，分別是棱，，，的中點，得出，，所以平面，平面，又，所以平面平面．故選：．7．已知直線平面，則“直線”是“”的()A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件B【詳解】當且時,我們可以得到或（因為直線與平面的位置關(guān)系不確定）,所以充分性不成立;當時,過直線可做平面與平面交于直線,則有.又有,則有,即.所以必要性成立,故選.8．已知正方體，給出下列四個結(jié)論：①直線與所成的角為；②直線與所成的角為；③直線與平面所成的角為；④直線與平面所成的角為.其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4C【分析】由題意，作圖，利用線面垂直判定定理，以及線面角定義，結(jié)合三角函數(shù)的定義，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：在正方體中，平面，由平面，則，在正方形中，，因為，且平面，所以平面，因為平面，所以，，故①②正確；同理可得平面，垂足為，所以為直線與平面所成的角，設正方體的棱長為，，，則，即，故③錯誤；易知為直線與平面所成的角，由，則，故④正確.故選：C.9．設，若直線與圓相切，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．D【分析】利用直線與圓相切的性質(zhì)可得，的關(guān)系式，再借助均值不等式求解能求出的取值范圍．【詳解】,直線與圓相切，圓的圓心，半徑，則，整理得，，，，解得或，的取值范圍是故選：D10．在空間中，過點A作平面的垂線，垂足為B，記，設、是兩個不同的平面，對空間任意一點P，，恒有，則（

）A．平面與平面垂直B．平面與平面所成的（銳）二面角為C．平面與平面平行D．平面與平面所成的（銳）二面角為A【分析】根據(jù)題意分析可得重合于同一點，且所成的角為直角，即可得出.【詳解】設，則根據(jù)題意得點是過點作平面垂線的垂足，，點是過點作平面垂線的垂足，同理，若，得點是過點作平面垂線的垂足，得點是過點作平面垂線的垂足，對任意的點P，恒有，重合于同一點，由此可得，四邊形為矩形，且是所成的角，是直角，所以平面與平面垂直.故選：A.二、填空題11．直線與直線之間的距離等于__________.【分析】利用平行線間的距離公式求解即可.【詳解】直線與直線之間的距離.故12．若點，，三點共線，則的值等于______.4【詳解】解：因為若三點13．如圖，已知正方體的棱長為分別為棱的中點，則三棱錐的體積為__________.1【分析】由線面垂直，根據(jù)等體積法即可求解.【詳解】在正方體中，平面,所以平面,,故,故114．已知直線，若直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有公共點，則的取值范圍是__________.【分析】根據(jù)題意畫出圖像，觀察圖像得到直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有公共點時，其臨界直線分別為直線，求出對應的斜率可寫出的取值范圍.【詳解】如圖所示，由直線得直線過點，由題意得圓，圓心為，半徑為，令得或，所以圓與軸的交點為，所以直線的斜率為，當直線與圓相切時，有，整理得，解得，其中切線的斜率為，若直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有公共點，則直線斜率的取值范圍為.故答案為.15．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，點在線段上.則點到直線的距離的最小值為__________．##【分析】建立空間直角坐標系，由空間向量表示出點P到的距離，利用函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標系，則，，，，設，，則，設點P在平面ABCD上的投影為，則∥，則點到直線的距離，∴，當時，，故16．在平面直角坐標系中，如果與都是整數(shù)，則稱點是整點.已知直線，下列命題中正確的是__________.（寫出所有正確命題的編號）.①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點；②若和都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點；③存在只經(jīng)過一個整點的直線；④存在只經(jīng)過兩個不同整點的直線.①③【分析】舉例可判斷①②③，通過兩個整數(shù)點，和，在直線上，可得，在直線上，進而可得更多的整數(shù)點在直線上，進而判斷④錯誤【詳解】對于①，令，則該直線既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點，故①正確；對于②，取，，直線為，經(jīng)過整點，故②錯誤；對于③，比如直線方程為，直線經(jīng)過整點，當取不為0的整數(shù)時，都是無理數(shù)，故該直線只經(jīng)過整點，故③正確；對于④，設直線為，若此直線過不同的整點，和，，把兩點代入直線方程得：，，兩式相減得：，則，為整點且在直線上，依次可得直線經(jīng)過無窮多個整點，故④錯誤．正確的命題是①③．故①③．三、解答題17．如圖所示，在五面體中，平面為的中點，.（1）求異面直線與所成角的大小；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）；（2）.【分析】（1）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用直線與的方向向量求異面直線與所成角即可.（2）求出平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，利用公式即可求出答案.【詳解】因為平面，所以以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，（1）所以，所以，所以，因為，所以，所以異面直線與所成角為.（2）因為，所以，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以，取平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為，則則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點.(1)若直線與直線平行，求直線的方程；(2)若直線與圓相交所得弦長為8，求直線的方程.(1)(2)或【分析】（1）聯(lián)立方程組得到交點為，再利用平行的直線系求解即可.（2）首先得到圓心到直線的距離，再分類討論結(jié)合圓的弦長求解即可.【詳解】（1），即交點為.設直線的方程為，把點代入方程得，所以直線的方程為.（2）圓，圓心為，半徑為.設圓心到直線的距離為，則.若直線過點且斜率不存在，則，到圓心的距離為，滿足條件；若直線過點且斜率存在，設，即，由題意，解得.所以，即.綜上所述，直線的方程為或.19．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，點在棱上.條件①：；條件②：平面平面.從條件①和②中選擇一個作為已知，解決下列問題：(1)判斷與是否垂直，并證明；(2)若點為棱的中點，點在直線上，且點到平面的距離為，求線段的長.(3)求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.注：若選擇①和②分別作答，按選擇①給分.(1)，證明見解析(2)或(3)【分析】（1）選①由勾股定理證得，從而證得平面，進而由證得結(jié)果；選②由面面垂直的性質(zhì)證得平面，從而證得結(jié)果.（2）建立空間直角坐標系，由點到面的距離公式解得點M的坐標，進而由兩點間距離公式可得BM的長.（3）由線面角公式得是關(guān)于的分式型函數(shù)，進而用換元法求分式型函數(shù)的值域可得結(jié)果.【詳解】（1）選①.證明：平行四邊形中，.∵，∴中，.∴，∴.又∵，，平面，∴平面，平面，∴.又∵，∴.選②.證明：∵平面平面，平面平面，，平面.∴平面，平面，∴.（2）由（1）知：BA、BD、BP兩兩垂直，∴以為原點，以的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，則，∴，設平面的法向量為，則令，則.此時.∵在直線上，∴設，∴∴到平面的距離為∴，∴或，∴或，∴或.（3）∵在棱上，∴設，∴，設平面的法向量為，則∴，取，由于，設直線與平面所成角為，則∴，令，當時，；當時，；∵，∴，∴.∴綜上，20．對于平面直角坐標系中的兩點，現(xiàn)定義由點到點的“折線距離”為.(1)已知，求；(2)已知點，點是直線上的一個動點，求的最小值；(3)對平面上給定的兩個不同的點，是否存在點，同時滿足①②.若存在，請求出所有符合條件的點；若不存在，請予以證明.(1)4；(2)；(3)存在，答案見解析.【分析】（1）根據(jù)題中給定定義直接求解;（2）根據(jù)定義列出式子，用不等式求解最值；（3）根據(jù)定義分類討論證明.【詳解】（1）.（2）因為點為直線上的動點，故可設點的坐標為，則.當且僅當時等號成