2022-2023學(xué)年北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．B【分析】將直線方程變?yōu)樾苯厥?根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系可直接求解.【詳解】直線變形為所以設(shè)傾斜角為則因?yàn)樗怨蔬x:B本題考查了直線方程中傾斜角與斜率的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.2．某區(qū)域有大型城市24個(gè)，中型城市18個(gè)，小型城市12個(gè)，為了解該區(qū)域城市空氣質(zhì)量情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9個(gè)城市進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)抽取的大型城市個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4D【分析】先算抽樣比，然后由大型城市數(shù)乘以抽樣比可得.【詳解】，應(yīng)抽取的大型城市個(gè)數(shù)為個(gè)．故選：D．3．點(diǎn)（5，－3）到直線x＋2＝0的距離等于A．7 B．5 C．3 D．2A【詳解】試題分析：點(diǎn)到直線即的距離為．故A正確．點(diǎn)到線的距離．4．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2C【分析】根據(jù)題意得兩平面的法向量平行，從而得到，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題意得：與平行，故，即，解得.故選：C5．學(xué)校組織班級(jí)知識(shí)競(jìng)賽，某班的8名學(xué)生的成績(jī)（單位:分）分別是:68、63、77、76、82、88、92、93，則這8名學(xué)生成績(jī)的75%分位數(shù)是（

）A．88分 B．89分 C．90分 D．92分C【分析】先對(duì)這8名學(xué)生的成績(jī)按從小到大排列，然后利用百分位數(shù)的定義求解即可【詳解】8名學(xué)生的成績(jī)從小到大排列為：63，68，76，77，82，88，92，93，因?yàn)?，所?5%分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即（分），故選：C6．已知直線與直線平行，則的值為（

）A． B． C． D．7A【分析】根據(jù)兩直線平行的系數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系即可求解【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得.故選：A7．甲乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺(tái)機(jī)床每天出的次品數(shù)分別是：甲0102203124乙2211121101，分別表示甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，，分別表示甲乙兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．， B．，C．， D．，B【分析】分別求得兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，，兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，，即可得到正確選項(xiàng).【詳解】則，故選：B8．如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（

）A． B．C． D．A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算用表示出即可得．【詳解】-＝，.故選：A．9．是空氣質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即日均值在以下空氣質(zhì)量為一級(jí)，在之間空氣質(zhì)量為二級(jí)，在以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).如圖是某地11月1日到10日日均值(單位：)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，則下列敘述不正確的是（

）A．從這10天的日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出一天的數(shù)據(jù)，空氣質(zhì)量為一級(jí)的概率是B．從5日到9日，日均值逐漸降低C．這10天中日均值的平均數(shù)是49.3D．這10天的日均值的中位數(shù)是D【分析】借助于圖表數(shù)據(jù)，對(duì)A、B、C、D一一驗(yàn)證即可.對(duì)于A：用古典概型的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算；對(duì)于B：從折線圖直接看出；對(duì)于C：直接計(jì)算平均值即可；對(duì)于D：直接求出中位數(shù)；【詳解】對(duì)于A：從圖表可以看出，“空氣質(zhì)量為一級(jí)”的有：3日、8日、9日、10日，故概率,故A正確；對(duì)于B：從5日到9日，折線圖逐日下降，故日均值逐漸降低，故B正確；對(duì)于C：這10天中日均值的平均數(shù)是，故C正確；對(duì)于D：這10天的數(shù)據(jù)從小到大依次為：30、32、33、34、45、49、57、58、73、82，故中位數(shù)為，故D錯(cuò)誤；故選：D10．如圖,在棱長(zhǎng)為的正方體中,點(diǎn)、是棱、的中點(diǎn),是底面上（含邊界）一動(dòng)點(diǎn),滿足,則線段長(zhǎng)度的取值范圍是A． B． C． D．D【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)樗钥傻闷矫?，?dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，總有，所以的最大值為，的最小值為，可得線段長(zhǎng)度的取值范圍是，故選D.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.二、填空題11．甲、乙兩人下棋，下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿開_______．##0.75【分析】根據(jù)概率的加法公式即得.【詳解】因?yàn)榧撞惠數(shù)氖录瑑扇讼潞推寤蚣撰@勝所以甲不輸?shù)母怕蕿?故答案為.12．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)等于________．##-0.5【分析】根據(jù)給定條件求出及，再利用給定的垂直關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】因向量，，則，，又，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)等于.故13．甲、乙兩人獨(dú)立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目的概率是，乙解出這道題目的概率是，這道題被解出（至少有一人解出來(lái)）的概率是________．【分析】設(shè)這道題沒被解出來(lái)為事件A，則這道題被解出（至少有一人解出來(lái)）的概率【詳解】設(shè)數(shù)學(xué)題沒被解出來(lái)為事件A，則.故則這道題被解出（至少有一人解出來(lái)）的概率.故14．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，給出下面四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)可以是棱的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)；②線段的最大值為；③點(diǎn)的軌跡是正方形；④點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為．則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．（注：本題給出的結(jié)論中，有多個(gè)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，不選或有錯(cuò)選得0分，其他得3分）①④【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，從而得到的最大值，即可判斷選項(xiàng)②，通過(guò)分析判斷可得點(diǎn)可以是棱的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，從而判斷選項(xiàng)①，又，，可判斷選項(xiàng)③和選項(xiàng)④．【詳解】解：在正方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，∵該正方體的棱長(zhǎng)為1，，分別為，的中點(diǎn)，∴，，，，∴，設(shè)，則，∵，∴，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，取，，，，連接，，，，則，，∴四邊形為矩形，則，，即，，又和為平面中的兩條相交直線，∴平面，又，，∴為的中點(diǎn)，則平面，為使，必有點(diǎn)平面，又點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)的軌跡為四邊形，因此點(diǎn)可以是棱的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，故選項(xiàng)①正確；又，，∴，則點(diǎn)的軌跡不是正方形且矩形周長(zhǎng)為，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤，選項(xiàng)④正確；∵，，又，則，即，∴，點(diǎn)在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則，解，∴，故當(dāng)或，或1，取得最大值為，故②錯(cuò)誤.故①④．三、雙空題15．已知，，，則的坐標(biāo)為________，點(diǎn)C的坐標(biāo)為________．

【分析】由空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】∵，，∴，∴，故的坐標(biāo)為.∵原點(diǎn)∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.故；.四、解答題16．在一個(gè)盒子中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4，先從盒子中隨機(jī)取出一個(gè)球，該球的編號(hào)記為m，將球放回盆子中，然后再?gòu)暮凶又须S機(jī)取出一個(gè)球，該球的編號(hào)記為n．(1)列出試驗(yàn)的樣本空間；(2)求“”的概率．(1)詳見解析；(2).【分析】（1）利用列舉法列出試驗(yàn)的樣本空間，（2）利用古典概型的概率公式即得.【詳解】（1）由題意可知試驗(yàn)的樣本點(diǎn)可用表示，所以試驗(yàn)的樣本空間為：；（2）由題可知共有16個(gè)樣本點(diǎn)，其中滿足的有，共6個(gè)，所以“”的概率為.17．已知直線：，：．(1)當(dāng)時(shí)，求兩直線，的交點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若直線，求a的值；(3)當(dāng)時(shí)，求兩直線的距離．(1)；(2)；(3).【分析】（1）直線方程聯(lián)立即得；（2）根據(jù)直線垂直的關(guān)系即得；（3）根據(jù)平行線間距離公式即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線：，即，：,由，可得，所以兩直線，的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）因?yàn)橹本€：，：，且，所以，解得；（3）當(dāng)時(shí)，直線：，：，所以兩直線的距離為.18．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，所以，．所以，所以，所以，即；（2）解：由（1）可得．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，顯然平面的法向量可以為，設(shè)平面與平面夾角為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）解：因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故點(diǎn)到平面的距離為.19．已知頂點(diǎn)、、．(1)求直線BC的方程及其在y軸上的截距；(2)求邊BC的垂直平分線l的方程(3)求的面積．(1)；；(2)；(3).【分析】（1）由題可得直線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式即得；（2）由題可知的中點(diǎn)坐標(biāo)及中垂線的斜率，進(jìn)而即得；（3）根據(jù)兩點(diǎn)間距離，點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式即得.【詳解】（1）因?yàn)?、，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，令，得，即直線的方程在y軸上的截距為；（2）由題可知的中點(diǎn)為，直線的斜率為，線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線的方程為，即；（3）因?yàn)橹本€的方程為，又，所以到的距離為，又，所以的面積為.20．為了了解一種植物果實(shí)的情況，隨機(jī)抽取一批該植物果實(shí)樣本測(cè)量重量（單位：克），按照，，，，分為5組，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)求圖中a的值；(2)估計(jì)這種植物果實(shí)重量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(3)已知這種植物果實(shí)重量不低于37.5克的即為優(yōu)質(zhì)果實(shí)，現(xiàn)對(duì)該種植物果實(shí)的某批10000個(gè)果實(shí)進(jìn)行檢測(cè)．據(jù)此估算這批果實(shí)中的優(yōu)質(zhì)果實(shí)的個(gè)數(shù)．(1)(2)(3)【分析】（1）由各組頻率之和為1（面積之和為1）可求得；（2）頻率分布直方圖用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和估計(jì)平均數(shù)；（3）用樣本頻率估計(jì)總體概率進(jìn)行求解.【詳解】（1）由題意，有，解得；（2）這種植物果實(shí)重量的平均數(shù)約為：，∴這種植物果實(shí)重量的平均數(shù)的估計(jì)值約為.（3）樣本中，這種植物果實(shí)重量不低于37.5克，即優(yōu)質(zhì)果實(shí)的頻率為，由此估計(jì)某批10000個(gè)果實(shí)中，重量不低于37.5克，即優(yōu)質(zhì)果實(shí)的概率為，∴這批果實(shí)中的優(yōu)質(zhì)果實(shí)的個(gè)數(shù)約為個(gè).21．在四棱錐中，平面，，，，，是的中點(diǎn)，在線段上，且滿足．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)證明見解析(2)存在；【分析】（1）以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得平面；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知可得出，可求得的值，設(shè)，，利用