數(shù)理方程與特殊函數(shù)-第二章

第二但在少數(shù)情況下，可以求出方程的通§2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公初始位移(x)，初始速度(x)的 弦的自由

a2u

x

t

t0

(

t0

(

x.初值問題(Cauchy問題我們可以求出方程(1的通解,考慮變量代

xat,xat利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.(3)為什么.(3)為什么

u

u

2ux2

2u

2u2

2u2

同理可

t

a2(

2u

2u2

2u

(45代入(1),可以得2u

連續(xù)積分兩次

u,其中f1

f2是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即ux,tf1x 注u

x,t

f1

是方ua2u

(

x,

的通解,它包含兩個(gè)任意函數(shù)對(duì)無(wú)限長(zhǎng)的自由振動(dòng),如果初始狀態(tài)滿足條

|t0

f1x

f2x

x

af1'x

af2'x

x兩端x積分

|t0

f1x

f2x

x可

|t0x

af1'xaf2'x

xf1x

f2x

a0a

d 1

x

x2

2a

d20 1 00fx x d0

2a 由此即得原定解問題的uux,t12[xatxat]1xat2axatd無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾(D’Alembert)方程解的物理意ux,tf1x 首先考u2

f2

at,

f2x的圖形已給定，那么，隨著時(shí)間t的推移2

f2

at的圖形以速度ax軸正方向平行移動(dòng),故稱齊波動(dòng)方程

u2

f2

at

的解為右行波f2(x)

速度a向x

同理u1

f1

at

表示一個(gè)以速度ax軸 的行波，且 出去, 速度恰好是常數(shù)a，因而這方法稱為行波法下面進(jìn)一步分析達(dá)朗貝爾公式的物理意義（1）依賴區(qū)依賴區(qū)間是討論時(shí)空平面

xt)u(x,t

將依賴于哪些點(diǎn)的初值的問題D’Alembert公u(x,t)

(xat)(xat)

x

xu(x,t

僅依賴

[x

at,

上的初值，

at,

為點(diǎn)xt

的依賴區(qū)間 依賴區(qū)x x- （2）影響區(qū)u(x,t

由左、右行波疊加而得。[x1

x2]上的始振動(dòng)，

t時(shí)刻，右行波

[

x2

過(guò)(xt)點(diǎn)過(guò)(xt)點(diǎn)，兩條斜1的直線在x軸上截得的區(qū)a

x2

at],初始振 的范圍x1at

x

(t

稱區(qū)A{(x,t)

x1atxt

x2

at,

t為區(qū)

x2

x

x

的影響區(qū)域

x x決定區(qū)t考慮區(qū)

[x1,x2

x

B

x

x2B{(x,t)

x1atx

x2

at,

t稱三角區(qū)B為區(qū)

x2

的決定區(qū)域進(jìn)一步的分析其物理意義xot平面斜率a

的兩族直

x

對(duì)一維波動(dòng)方程研究起重要作用，稱這兩族直為一維波動(dòng)方程的特征線。波動(dòng)沿特征 自變量變

xatx稱為特征變換,行波法也叫特 注1：容易看出,一維波動(dòng)方程的兩族特征xat恰好是常微分方

dx2

的解這個(gè)常微分方程稱為波動(dòng) a2u

(

x,

的特征方程定義：二階線性偏微分方

的特征方程Ady2

方程(*)的特征曲線?；貞洠簝蓚€(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分

一個(gè)方程

x0

y0稱為是雙曲型、拋物型或圓型的是根據(jù)式0B2x0

y0

Ax0

y0Cx0

y0為正、為零或者為負(fù)而確定的注2：行波法適用于雙曲型方程求下面問題的

-

x

yuu y0

3x2

uy|y0解先確定所給方程的特征曲線特征方程dy2

或

dydx

2

3 3xyxyC它的兩族積分曲線為xyC 做特征變

3xxy,xy2u容易驗(yàn)證，經(jīng)過(guò)變換原方

它的通解u

f1

f2其中f1

f2是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即ux,

y

f13x 把這個(gè)函數(shù)代入

u|y03 f3x

x

3x2 f1'3x

f2'x1f3x

x f 3f

94

C

ff

1x24

Cff

x

34

C

ff

x

3x24

C

u

y

f13x 得原問題的解為ux,y

13xy23x

y2

3x2y2 求下面方程的通

解：特征方程dy

1

xx

1

x 積分曲線

yx

xC1y y

cosxC2

yxy

cosx,cosx.2u 經(jīng)過(guò)變換原方程

u(

y)

f1(y

x

x)

f2(y

xcosx)

f1,

是任意二次連解定解問

a2u

,

x

t

解

|t0

sin

ut|t0

x. 1xatux,t

[sin2

atsin(

at)]

xat

cos

xcosat

1a

xsinat.(2)

x

yuu y0

uy|y0解

y)

2sinxysinxy 4 2 §2.2齊次化原一條線密度為 弦，初位移、初速度為受外力Fxt)作用做強(qiáng)迫振動(dòng)u

a2u

f(x,t

x

t(I)

ut00,

x,其中

t0x

x.齊次化原理wxt是齊次柯西問

a2w

x

t(II)

wt0,

x,ww t

f(x,

x的解，其中是參數(shù)，tu(x,t)0w(x,t;)為非齊次Cauchy問題(I)的解驗(yàn)證如下

u(x,t

w(x,t;)tut0t

0wt(x,t;)dw(x,t;t)0wt(x,t;)utt

令t'

t

，則問題(II)變?yōu)閣 t'tw

a2w

x

t'wt'00,

x,ww t

t'0

f(x,

x.

a2w

x

t(II)

wt0,

x,ww t

f(x,

xD’Alembert公式w(x,t;)

xat xat

xa(txa(t

所以問題(I)的解為tu(x,t)t

0w(x,t;)

tt

0

xa(txa(t

f(,)d再考慮一般非齊次一維波動(dòng)方程Cauchyua2u

f(x,t

x

t ut0

(x),

x,

t

(x),

x.利用疊加原

u(x,t

V(x,t)W(x,t其中

x

t

Vt0

(x), t0(x).

f(x,t

x

t

t0 t0對(duì)于(i直接利用D’Alembert公式(ii)利用u(x,t)

1[(2

at)]

1xat()dxatxat1txa(t)

(,)d2a

xa(t例：求解下面初值問題2u2u t

x2

(1

x2)2

x

t u 0,u t

tt01x2

x.解：由上頁(yè)的公式可知u(x,t)

1[(2

at)]

1xat()dxatxat1txa(t)

(,)d2a

xa(t得u(x,t)

xt

d

x(t

d2xt

1

2

x(t

(12 xt

t

x(t)

xt

2

)202

x(t)1(121arctan(xt)1(12

t 1t 4[1(xt)2][1(xt)2]0 1arct