2020高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2 直線與平面垂直的性質(zhì)練習(xí)（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第18課時直線與平面垂直的性質(zhì)對應(yīng)學(xué)生用書P47知識點一正確理解直線與平面垂直的性質(zhì)1．如果直線a與平面α不垂直，那么平面α內(nèi)與直線a垂直的直線有()A．0條B．1條C．無數(shù)條D．任意條答案C解析當(dāng)a?α?xí)r,過直線a上不在平面α內(nèi)的一點向平面α作垂線，假設(shè)垂線與直線a確定的平面β與平面α的交線為b,則平面α內(nèi)與交線b垂直的直線都與直線a垂直；當(dāng)a?α?xí)r，易知在平面α內(nèi)也有無數(shù)條直線與a垂直．故選C．2．若直線a⊥直線b，且a⊥平面α，則(）A．b⊥αB．b?αC．b∥αD．b∥α或b?α答案D解析當(dāng)b?α?xí)r，a⊥α，則a⊥b;當(dāng)b∥α?xí)r，a⊥α，則a⊥b；當(dāng)b⊥α?xí)r，a⊥α，則a∥b．所以直線a⊥b，且a⊥α?xí)r,b∥α或b?α,故選D．3．已知平面α與平面β垂直，直線m⊥α，則()A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直B．β內(nèi)不一定存在直線與m平行,不一定存在直線與m垂直C．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，必存在直線與m垂直D．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直答案A解析因為平面α與平面β垂直，直線m⊥α，所以m垂直于兩平面的交線，所以β內(nèi)垂直于交線的直線與m平行，且存在直線與m垂直．知識點二直線與平面垂直的應(yīng)用4．如圖,PA⊥矩形ABCD,下列結(jié)論中不正確的是(）A．PD⊥BDB．PD⊥CDC．PB⊥BCD．PA⊥BD答案A解析∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，若PD⊥BD，PA∩PD＝P，∴BD⊥面PAD，又∵AB⊥面PAD．∴BD∥AB,不成立，選A．5．如右圖所示，已知α∩β＝l，EA⊥α于A,EB⊥β于B，a?α，a⊥AB．求證:a∥l．證明∵EA⊥α，EB⊥β，α∩β＝l，∴l(xiāng)⊥EA，l⊥EB．又∵EA∩EB＝E，EA?平面EAB，EB?平面EAB，∴l(xiāng)⊥平面EAB．又∵a?α,EA⊥α，∴a⊥EA．又∵a⊥AB,AB∩EA＝A，AB?平面EAB,EA?平面EAB，∴a⊥平面EAB，∴a∥l．知識點三平行、垂直關(guān)系的綜合問題6．設(shè)a，b是互不垂直的兩條異面直線,則下列命題成立的是（）A．存在唯一一條直線l,使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一一條直線l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一一個平面α，使得a?α，且b∥αD．存在唯一一個平面α,使得a?α,且b⊥α答案C解析過直線a上任意一點P，作b的平行線c,由a，c相交確定一個平面α．直線l只需垂直于平面α,就會與b垂直，這樣的直線有無數(shù)條，故A錯誤．根據(jù)平面兩條直線所成角的定義，排除B．根據(jù)線面垂直的概念，排除D．故選C．7．給出下列命題：①a⊥α,b?α?a⊥b;②a⊥α，a∥b?b⊥α；③a⊥α，b∥α?a⊥b；④a⊥b，a⊥c,b?α，c?α?a⊥α；⑤a∥α，a⊥b?b⊥α；⑥a⊥α，b⊥a?b∥α．其中真命題的個數(shù)是（）A．3B．4C．5D．6答案A解析因為a⊥α,所以a垂直于平面α內(nèi)的任意直線，所以①正確．若兩條平行線中的一條直線與一個平面垂直,則另一條直線也與這個平面垂直，所以②正確．由線面垂直，線線、線面平行的性質(zhì)知，若a⊥α，b∥α，則a⊥b，所以③正確．由線面垂直的判定定理可知，④不正確．當(dāng)a∥α，a⊥b時，b可能與α平行、垂直、斜交或b在α內(nèi)，所以⑤不正確．當(dāng)a⊥α，b⊥a時，b可能與α平行，b也可能在α內(nèi),故⑥不正確．對應(yīng)學(xué)生用書P47一、選擇題1．下列四個命題中，錯誤的個數(shù)是()①垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；②垂直于同一個平面的兩條直線相互平行；③垂直于同一條直線的兩個平面相互平行；④垂直于同一個平面的兩個平面相互平行．A．1B．2C．3D．4答案B解析①中垂直于同一條直線的兩條直線相互平行或相交或異面;②正確；③正確；④中垂直于同一個平面的兩個平面相互平行或相交．2．在△ABC所在的平面α外有一點P，且PA＝PB＝PC，則P在α內(nèi)的射影是△ABC的()A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心答案C解析設(shè)P在平面α內(nèi)的射影為O，易證△PAO≌△PBO≌△PCO?AO＝BO＝CO．3．已知直二面角α－l－β,點A∈α，AC⊥l,C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝（)A．2B．eq\r(3)C．eq\r（2）D．1答案C解析過D點作DE綊AC，連接AE，BE，則CD＝AE,∵AC⊥l,∴DE⊥l，又BD⊥l，∴∠BDE為α－l－β的二面角的平面角，∴∠BDE＝90°,∴BE＝eq\r（BD2＋DE2)＝eq\r（2），又AE∥l，∴AE⊥面BDE，∴AE⊥BE，∴AE＝eq\r（AB2－BE2)＝eq\r（2）,∴CD＝eq\r（2）．4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過點A且垂直于平面ABC，動點P∈l，當(dāng)點P逐漸遠離點A時，∠PCB的大小(）A．變大B．變小C．不變D．有時變大有時變小答案C解析∵直線l⊥平面ABC，∴l(xiāng)⊥BC．又∵∠ACB＝90°,∴AC⊥BC，∴BC⊥平面APC，∴BC⊥PC,即∠PCB為直角，即∠PCB的大小與點P的位置無關(guān)，故選C．5．如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α,垂足分別為G,H．為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是（）A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH答案B解析因為EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ．若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ．又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B．二、填空題6．地面上有兩根旗桿，底端相距a米，它們的高分別是b米和c米(b>c），則它們頂端的距離為________米．答案eq\r（a2＋b－c2）解析如圖，由于兩旗桿都與地面垂直，故兩旗桿AD與BC平行，且四邊形ABCD是直角梯形，設(shè)AD＝c，BC＝b，過D作DE⊥BC于E，則DE＝a，CE＝b－c，所以DC＝eq\r（a2＋b－c2）．7．邊長為a的正方形ABCD中，E為AB的中點,F為BC的中點，將△AED，△BEF和△DCF分別沿DE,EF和DF折起使A,B，C重合于一點A′，則三棱錐A′－EFD的體積為________．答案eq\f（a3，24)解析以等腰直角三角形A′EF為底，DA′為高,易求三棱錐的體積．

8．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點,點F是棱CD上的動點．當(dāng)eq\f(CF,FD）＝________時,D1E⊥平面AB1F．答案1解析連接A1B，則A1B是D1E在平面ABB1A1內(nèi)的射影．∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1．若D1E⊥平面AB1F,則D1E⊥AF．連接DE，則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影，∴DE⊥AF．∵四邊形ABCD是正方形,E是BC的中點，∴當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點時，DE⊥AF，即當(dāng)點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F．∴當(dāng)eq\f(CF,FD)＝1時,D1E⊥平面AB1F．三、解答題9．如圖，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點，且EF⊥AC．求證:eq\f(CF，DC）＝eq\f(CE,BC)．證明∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD,PC⊥EF．又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC,∴EF∥BD，∴eq\f（CF，DC）＝eq\f（CE,BC)．10．如圖所示，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，再過A作AE⊥SB交SB于點E，過點E作EF⊥SC交SC于點F．（1)求證：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于點G，求證：AG⊥SD．證明（1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，∴SA⊥