2023年新高考數(shù)學大一輪復習真題源大題分類講義之專題14 均值方差在決策中的應用（解析版）

14.均值方差在決策中的應用一．競賽答題類型【例1】（2021年·新高考Ⅰ）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.【解析】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應選擇先回答類問題．【方法技巧】利用期望與方差進行決策的方法（1）若我們希望實際的平均水平較理想時，則先求隨機變量ξ1，ξ2的期望，當E(ξ1)＝E(ξ2)時，不應誤認為它們一樣好，需要用D(ξ1)，D(ξ2)來比較這兩個隨機變量的偏離程度，偏離程度小的更好．（2）若我們希望比較穩(wěn)定時，應先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近．（3）若對平均水平或者穩(wěn)定性沒有明確要求時，一般先計算期望，若相等，則由方差來確定哪一個更好．若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近，且期望較大者的方差較小，顯然該變量更好；若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近且方差相差不大時，應根據(jù)不同選擇給出不同的結論，即是選擇較理想的平均水平還是選擇較穩(wěn)定．二．檢驗產品【例2】（2018年·新課標I卷）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立．（1）記件產品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；（2）現(xiàn)對一箱產品檢驗了件，結果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？【解析】（1）件產品中恰有件不合格品的概率為.因此.令，得.當時，；當時，.所以的最大值點為；（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件產品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.（ii）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.由于，故應該對余下的產品作檢驗.【方法技巧】【方法技巧】均值E(X)由X的分布列唯一確定，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均水平．三．游戲闖關【例3】（河北省邯鄲市2022屆高三上學期期末）某真人闖關游戲，在某一情境中玩家需在A、B兩個關卡中尋找線索，玩家先從A、B兩個關卡中任選一關作為第一關，若找到線索則進入另一關卡，若未找到線索則闖關結束，且玩家先選A和先選B的概率相等．若玩家在A闖關成功則獲得2枚金幣，否則獲得0枚金幣；在B關闖關成功則獲得3枚金幣，否則獲得0枚金幣．已知某玩家在A關卡中闖關成功的概率為0.8，在B關卡中闖關成功的概率為0.6，且每個關卡闖關成功的概率與選擇初始關卡的次序無關．（1）求該玩家獲得3枚金幣的概率；（2）為獲得更多的金幣，該玩家應選擇從哪關開始第一關？并說明理由．【解析】（1）由題可知該玩家第一關在B關卡中闖關成功，在A關卡中闖關失敗，∴該玩家獲得3枚金幣的概率．（2）①記X為從A關卡開始第一關獲得的金幣枚數(shù)，則X所有可能的取值為0，2，5，；；，∴．②記Y為從B關卡開始第一關獲得的金幣枚數(shù)，則Y所有可能的取值為0，3，5，；；，∴．∵，∴該玩家應選擇從A關卡開始第一關．【方法技巧】當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．【演練提高】1．（四川省瀘州市2022屆高三第二次教學質量診斷）某縣種植的脆紅李在2021年獲得大豐收，依據(jù)扶貧政策，所有脆紅李由經銷商統(tǒng)一收購.為了更好的實現(xiàn)效益，質監(jiān)部門從今年收獲的脆紅李中隨機選取100千克，進行質量檢測，根據(jù)檢測結果制成如圖所示的頻率分布直方圖.下表是脆紅李的分級標準，其中一級品?二級品統(tǒng)稱為優(yōu)質品.等級四級品三級品二級品一級品脆紅李橫徑/mm經銷商與某農戶簽訂了脆紅李收購協(xié)議，規(guī)定如下：從一箱脆紅李中任取4個進行檢測，若4個均為優(yōu)質品，則該箱脆紅李定為A類；若4個中僅有3個優(yōu)質品，則再從該箱中任意取出1個，若這一個為優(yōu)質品，則該箱脆紅李也定為A類；若4個中至多有一個優(yōu)質品，則該箱脆紅李定為C類；其他情況均定為B類.已知每箱脆紅李重量為10千克，A類?B類?C類的脆紅李價格分別為每千克10元?8元?6元.現(xiàn)有兩種裝箱方案：方案一：將脆紅李采用隨機混裝的方式裝箱；方案二：將脆紅李按一?二?三?四等級分別裝箱，每箱的分揀成本為1元.以頻率代替概率解決下面的問題.（1）如果該農戶采用方案一裝箱，求一箱脆紅李被定為A類的概率；（2）根據(jù)統(tǒng)計學知識判斷，該農戶采用哪種方案裝箱收入更多，并說明理由.【解析】（1）由頻率分布直方圖可得任取一只脆紅李，其為優(yōu)質品的概率為，設事件為“該農戶采用方案一裝箱，一箱脆紅李被定為A類”，則.（2）設該農戶采用方案一時每箱收入為，則可取，而，，，故（元）該農戶采用方案二時，每箱的平均收入為，因為，故采用方案二時收入更多.2．（北京師范大學附屬實驗中學2022屆高三下學期摸底）某企業(yè)生產流水線檢測員每天隨機從流水線上抽取100件新生產的產品進行檢測.若每件產品的生產成本為1200元，每件一級品可賣1700元，每件二級品可賣1000元，三級品禁止出廠且銷毀.某日檢測抽取的100件產品的柱狀圖如圖所示.（1）根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.若從生產的所有產品中隨機取出2件，求至少有一件產品是一級品的概率；（2）現(xiàn)從樣本產品中利用分層抽樣的方法隨機抽取10件產品，再從這10件中任意抽取3件，設取到二級品的件數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（3）已知該生產線原先的年產量為80萬件，為提高企業(yè)利潤，計劃明年對該生產線進行升級，預計升級需一次性投入2000萬元，升級后該生產線年產量降為70萬件，但產品質量顯著提升，不會再有三級品，且一級品與二級品的產量比會提高到，若以該生產線今年利潤與明年預計利潤為決策依據(jù)，請判斷該次升級是否合理.【解析】（1）抽取的100件產品是一級品的頻率是，則從生產的所有產品中任取1件，是一級品的概率是，設從生產的所有產品中隨機選2件，至少有一件是一級品的事件為，則，所以至少有一件產品是一級品的概率是.（2）依題意，10件產品中一級品7件，二級品2件，三級品1件，的可能值是，，，，所以的分布列為：012.（2）今年利潤為：(萬元)，明年預計利潤為：(萬元)，顯然有，所以該次升級方案合理.3．（山東省濰坊市2022屆高三一模統(tǒng)考（3月））根據(jù)國家部署，2022年中國空間站“天宮”將正式完成在軌建造任務，成為長期有人照料的國家級太空實驗室，支持開展大規(guī)模、多學科交叉的空間科學實驗.為普及空間站相關知識，某部門組織了空間站建造過程3D模擬編程闖關活動，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?0個相互獨立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運行即為程序正確.每位參賽者從10個不同的題目中隨機選擇3個進行編程，全部結束后提交評委測試，若其中2個及以上程序正確即為闖關成功.現(xiàn)已知10個程序中，甲只能正確完成其中6個，乙正確完成每個程序的概率為，每位選手每次編程都互不影響.（1）求乙闖關成功的概率；（2）求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望，并判斷甲和乙誰闖關成功的可能性更大.【解析】（1）記乙闖關成功為事件A，所以.（2）由題意知隨機變量X是所有可能取值為0，1，2，3，，，，，故X的分布列為X0123P所以.所以甲闖關成功的概率為，因為，所以甲比乙闖關成功的可能性大.4．（河北省2022屆高三仿真模擬卷（二））近年來，新能源汽車產業(yè)大規(guī)模發(fā)展，某汽車產品自生產并投人市場以來，受到多位消費者質疑其電池產品質量，汽車廠家提供甲?乙兩家第三方檢測機構對產品進行質量檢測，邀請多位車主進行選擇，每位車主只能挑選一家.若選擇甲機構記1分，若選擇乙機構記2分，每位車主選擇兩個機構的概率相等，且相互獨立.（1）若參加的車主有3人，記總得分為X，求X的分布列與數(shù)學期望；（2）若有位車主，記總得分恰好為n分的概率為，求數(shù)列的通項公式；（3）在（2）的條件下，汽車廠商決定總得分為99分或100分時就停止計分，若總得為99分就選甲機構，總得分為100分就選乙機構，請分析這種方案是否合理.【解析】（1）由題意可知，隨機變量X的可能取值有3，4，5，6.，，，.∴隨機變量X的分布列如下表所示：X3456P∴.（2）依題意，總得分恰好為n分時，得不到n分的情況是先得（）分，再得2分，概率為，∴，即.又，，∴，即.（3）因為，，∴，∴選擇乙機構的概率大于甲機構，這方案不合理.5．（2022屆高三數(shù)學新高考信息檢測原創(chuàng)卷（八））某校開展了“學黨史”知識競賽活動，競賽試題由若干選擇題和填空題兩種題型構成，每位選手共需要回答三個問題.對于每一個問題，若回答錯誤得0分；若回答正確，填空題得30分，選擇題得20分.現(xiàn)設置了兩種活動方案供選手選擇.方案一：只回答填空題；方案二：先回答填空題，后續(xù)選題按如下規(guī)則：若上一題回答正確，則下一次選擇填空題；若上題回答錯誤，則下一次選擇選擇題.已知甲、乙兩位同學能正確回答填空題的概率均為，能正確回答選擇題的概率均為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若甲同學采用方案一答題，求甲得分不低于60分的概率；（2）乙同學應該選擇何種方案參加比賽更加有利？并說明理由.【解析】（1）甲同學采用方案一答題，得分不低于60分的情況為至少答對兩道填空題，∴其概率；（2）乙同學選擇方案二參加比賽更加有利，理由如下：若采用方案一，則其得分X的可能取值為0，30，60，90，∴；；；，∴X的分布列為X0306090P∴X的數(shù)學期望；若采用方案二，則其得分Y的可能為取值為0，20，30，50，60，90，∴；；；；；，∴Y的分布列為Y02030506090P∴Y的數(shù)學期望，∵，∴乙同學選擇方案二參加比賽更加有利.6．（2022屆高三數(shù)學新高考信息檢測原創(chuàng)卷（四））在中國共產黨的正確領導下，我國順利實現(xiàn)了第一個百年奮斗目標——全面建成小康社會.某地為了鞏固扶貧成果，決定繼續(xù)對甲、乙兩家鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)進行指導.指導方式有兩種，一種是精準指導，一種是綜合指導.已知對甲企業(yè)采用精準指導時，投資50萬元，增加100萬元收入的概率為0.2，增加200萬元收入的概率為0.8，采用綜合指導時，投資100萬元，增加200萬元收入的概率為0.6，增加400萬收入的概率為0.4；對乙企業(yè)采用精準指導時，投資50萬元，增加100萬元收入的概率為0.3，增加200萬元收入的概率為0.7，采用綜合指導時，投資100萬元，增加200萬元收入的概率為0.7，增加400萬元收入的概率為0.3.指導結果在兩家企業(yè)之間互不影響.（1）若決策部門對甲企業(yè)進行精準指導、對乙企業(yè)進行綜合指導，設兩家企業(yè)增加的總收入為萬元，求的分布列；（2）若有150萬元無息貸款可供甲、乙兩家企業(yè)使用，對兩家企業(yè)應分別進行哪種指導總收入最高？請說明理由.【解析】（1）由題意知可能取值為300，400，500，600，則，，，，∴當決策部門對甲企業(yè)進行精準指導、對乙企業(yè)進行綜合指導時，兩家企業(yè)增加的總收入的分布列為3004005006000.140.560.060.24（2）指導方案1：對甲、乙兩家企業(yè)均進行精準指導.設兩家企業(yè)增加的總收入為萬元，則可能取值為200，300，400，且，，，(萬元)；指導方案2：對甲企業(yè)進行精準指導、對乙企業(yè)進行綜合指導.由(1)得(萬元)；指導方案3：對甲企業(yè)進行綜合指導、對乙企業(yè)進行精準指導.設兩家企業(yè)增加的總收入為，則的可能取值為300，400，500，600，且，，，，(萬元).∵，∴指導方案3：對甲企業(yè)進行綜合指導、對乙企業(yè)進行精準指導總收入最高.7．（山東省大教育聯(lián)盟學校2021-2022學年高三下學期收心考試）某公司全年圓滿完成預定的生產任務，為答謝各位員工一年來的銳意進取和辛勤努力，公司決定在聯(lián)歡晚會后，擬通過摸球兌獎的方式對500位員工進行獎勵，規(guī)定：每位員工從一個裝有4種面值的獎券的箱子中，一次隨機摸出2張獎券，獎券上所標的面值之和就是該員工所獲得的獎勵額．（1）若箱子中所裝的4種面值的獎券中有1張面值為80元，其余3張均為40元，試比較員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率的大?。唬?）公司對獎勵總額的預算是6萬元，預定箱子中所裝的4種面值的獎券有兩種方案：第一方案是2張面值20元和2張面值100元；第二方案是2張面值40元和2張面值80元．為了使員工得到的獎勵總額盡可能地符合公司的預算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡，請問選擇哪一種方案比較好？并說明理由．【解析】（1）用X表示員工所獲得的獎勵額．因為，，所以，故員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率相等．（2）第一種方案為，設員工所獲得的獎勵額為，則的分布列為40120200P所以的數(shù)學期望為，的方差為；第二種方案為，設員工所獲得的獎勵額為，則的分布列為80120160P所以的數(shù)學期望為，的方差為，又因為（元），所以兩種方案獎勵額的數(shù)學期望都符合要求，但第二種方案的方差比第一種方案的小，故應選擇第二種方案．8．（廣東省韶關市2022屆高三上學期綜合測試（一））在某校開展的知識競賽活動中，共有三道題，答對分別得2分?2分?4分，答錯不得分.已知甲同學答對問題的概率分別為，乙同學答對問題的概率均為，甲?乙兩位同學都需回答這三道題，且各題回答正確與否相互獨立.（1）求甲同學至少有一道題不能答對的概率；（2）運用你學過的統(tǒng)計學知識判斷，誰的得分能力更強.【解析】（1）設甲同學三道題都答對的事件為,則，所以甲同學至少有一道題不能答對的概率為.（2）設甲同學本次競賽中得分為，則的可能取值為分，則,,,,,所以的概率分布列為：02468所以設乙同學本次競賽中得分為，由的可能取值為分,,,,,所以的概率分布列為：02468所以,所以，所以乙的得分能力更強.9．（江西省九江市2022屆高三第一次高考模擬）非物質文化遺產是一個國家和民族歷史文化成就的重要標志，是優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分．瑞昌剪紙于2008年列入第二批國家級非物質文化遺產名錄．由于瑞昌地處南北交匯處，經過千年的南北文化相互浸潤與滲透，瑞昌剪紙融入了南方的陰柔之麗、精巧秀美和北方的陽剛之美、古樸豪放．為了弘揚中國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某校將舉辦一次剪紙比賽，共進行5輪比賽，每輪比賽結果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽中，參賽者在30分鐘內完成規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各2幅，若有不少于3幅作品入選，將獲得“巧手獎”．5輪比賽中，至少獲得4次“巧手獎”的同學將進入決賽．某同學經歷多次模擬訓練，指導老師從訓練作品中隨機抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各5幅，其中有4幅規(guī)定作品和3幅創(chuàng)意作品符合入選標準．（1）從這10幅訓練作品中，隨機抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各2幅，試預測該同學在一輪比賽中獲“巧手獎”的概率；（2）以上述兩類作品各自入選的頻率作為該同學參賽時每幅作品入選的概率．經指導老師對該同學進行賽前強化訓練，規(guī)定作品和創(chuàng)意作品入選的概率共提高了，以獲得“巧手獎”的次數(shù)期望為參考，試預測該同學能否進入決賽？【解析】（1）由題可知，所有可能的情況有：①規(guī)定作品入選1幅，創(chuàng)意作品入選2幅的概率，②規(guī)定作品入選2幅，創(chuàng)意作品入選1幅的概率，③規(guī)定作品入選2幅，創(chuàng)意作品入選2幅的概率，故所求的概率．（2）設強化訓練后，規(guī)定作品入選的概率為，創(chuàng)意作品入選的概率為，則，由已知可得，強化訓練后該同學某一輪可獲得“巧手獎”的概率為：∵，且，也即，即故可得：，，，∴，令，則在上單調遞減，∴．∵該同學在5輪比賽中獲得“巧手獎”的次數(shù)，∴，故該同學沒有希望進入決賽．10．（青海省西寧市三縣2021-2022學年高三上學期期末）如圖，某市有南、北兩條城市主干道，在出行高峰期，北干道有，，，，四個交通易堵塞路段，它們被堵塞的概率都是，南干道有，，兩個交通易堵塞路段，它們被堵塞的概率分別為，．某人在高峰期駕車從城西開往城東，假設以上各路段是否被堵塞互不影響．（1）求北干道的，，，個易堵塞路段至少有一個被堵塞的概率；（2）若南干道被堵塞路段的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；（3）若按照“平均被堵塞路段少的路線是較好的高峰期出行路線”的標準，則從城西開往城東較好的高峰期出行路線是哪一條？請說明理由．【解析】（1）記北干道的，，，四個易堵塞路段至少有一個被堵塞為事件A，則；（2）由題意可知的可能取值為0，1，2，，，．隨機變量的分布列為：012；（3）設北干道被堵塞路段的個數(shù)為，則，所以．因為，所以高峰期選擇南干道路線較好．11．（安徽省馬鞍山市2021-2022學年高三上學期一模）某廠生產兩種產品，對兩種產品的某項指標進行檢測，現(xiàn)各抽取100件產品作為樣本，其指標值的頻率分布直方圖如圖所示：以該項指標作為衡量產品質量的標準，該項指標劃分等級和收益率如下表，其中．（注：收益率）等級一等品二等品三等品指標值產品收益率（1）求的值；（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似看作概率，用樣本估計總體．①從產品中隨機抽取3件，求其中一等品件數(shù)的分布列及數(shù)學期望；②在總投資額相同的情況下，若全部投資產品或產品，試分析投資哪種產品收益更大．【解析】（1）由題可得，解得.（2）①由直方圖知：產品為一等品的概率是，二等品概率是，三等品概率是，由題知隨機抽取3件是一等品的件數(shù)X可能的取值是0，1，2，3，且，，，，，則的分布列為：0123∴.②由題可得，產品為一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，產品為一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，產品的收益：,產品的收益：,∴，因為，所以，即，故投資產品的收益更大．12．（河南省鶴壁高中2021-2022學年高三下學期第七次模擬）為深入貫徹黨的十九大教育方針.中共中央辦公廳?國務院辦公廳印發(fā)《關于進一步減輕義務教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》.鄭州某中學數(shù)學建模小組隨機抽查了我市2000名初二學生“雙減”政策前后每天的運動時間，得到如下頻數(shù)分布表：表一：“雙減”政策后時間（分鐘）人數(shù)1060210520730345125表二：“雙減”政策前時間（分鐘）人數(shù)4024556061040313012（1）用一個數(shù)字特征描述“雙減”政策給學生的運動時間帶來的變化（同一時間段的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值做代表）；（2）為給參加運動的學生提供方便，學校在球場邊安裝直飲水設備.該設備需同時裝配兩個一級濾芯才能正常工作，且兩個濾芯互不影響，一級濾芯有兩個品牌A?B：A品牌售價5百元，使用壽命7個月或8個月（概率均為0.5）；B品牌售價2百元，壽命3個月或4個月（概率均為0.5）.現(xiàn)有兩種購置方案，方案甲：購置2個品牌A；方案乙：購置1個品牌A和2個品牌B.試從性價比（設備正常運行時間與購置一級濾芯的成本之比）角度考慮，選擇哪一種方案更實惠.【解析】（1）雙減政策后