線性代數(shù)二次型習(xí)題及答案

第六章二次型1．設(shè)方陣與合同，與合同，證明與合同.證：因?yàn)榕c合同，所以存在可逆矩，使，因?yàn)榕c合同，所以存在可逆矩，使.令，則可逆，于是有即與合同.2．設(shè)對(duì)稱，與合同，則對(duì)稱證：由對(duì)稱，故.因與合同，所以存在可逆矩陣，使，于是即為對(duì)稱矩陣.3．設(shè)A是n階正定矩陣，B為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：存在n階可逆矩陣P，使均為對(duì)角陣.證：因?yàn)锳是正定矩陣，所以存在可逆矩陣M，使記，則顯然是實(shí)對(duì)稱矩陣，于是存在正交矩陣Q，使令P=MQ，則有同時(shí)合同對(duì)角陣.4．設(shè)二次型，令，則二次型的秩等于.證：方法一將二次型f寫(xiě)成如下形式：設(shè)A=則于是故====X(AA)X因?yàn)闉閷?duì)稱矩陣，所以就是所求的二次型f的表示矩陣．顯然()=(A)，故二次型f的秩為(A)．方法二設(shè).記，于是，其中，則.因?yàn)闉閷?duì)稱矩陣，所以就是所求的二次型f的表示矩陣．顯然()=(A)，故二次型f的秩為(A)．5．設(shè)為實(shí)對(duì)稱可逆陣，為實(shí)二次型，則為正交陣可用正交變換將化成規(guī)范形.證：設(shè)是的任意的特征值，因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱可逆矩陣，所以是實(shí)數(shù)，且.因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，故存在正交矩陣，在正交變換下，化為標(biāo)準(zhǔn)形，即（*）因?yàn)槭钦痪仃嚕@然也是正交矩陣，由為對(duì)角實(shí)矩陣，故即知只能是或，這表明（*）恰為規(guī)范形.因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱可逆矩陣，故二次型的秩為.設(shè)在正交變換下二次型化成規(guī)范形，于是其中為的正慣性指數(shù)，.顯然是正交矩陣，由，故，且有，故是正交矩陣.6．設(shè)為實(shí)對(duì)稱陣，，則存在非零列向量，使.證：方法一因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱陣，所以可逆矩陣，使其中是的特征值，由，故至少存在一個(gè)特征值，使，取，則有方法二（反證法）若，都有，由為實(shí)對(duì)稱陣，則為半正定矩陣，故與矛盾.7．設(shè)n元實(shí)二次型，證明f在條件下的最大值恰為方陣A的最大特征值．解：設(shè)的特征值，則存在正交變換，使設(shè)是中最大者，當(dāng)時(shí)，有因此這說(shuō)明在=1的條件下f的最大值不超過(guò)．設(shè)則令，則并且這說(shuō)明f在達(dá)到，即f在條件下的最大值恰為方陣A的最大特征值．8．設(shè)正定，可逆，則正定.證：因?yàn)檎?，所以存在可逆矩陣，使，于是，顯然為可逆矩陣，且，即是實(shí)對(duì)稱陣，故正定.9．設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則A可逆的充分必要條件為存在實(shí)矩陣B，使AB+正定．證：先證必要性取，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，則當(dāng)然是正定矩陣．再證充分性，用反證法．若A不是可逆陣，則r（A）<n，于是存在因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，B是實(shí)矩陣，于是有這與AB是正定矩陣矛盾．10．設(shè)為正定陣，則仍為正定陣.證：因?yàn)槭钦?，故為?shí)對(duì)稱陣，且的特征值全大于零，易見(jiàn)全是實(shí)對(duì)稱矩陣，且它們的特征值全大于零，故全是正定矩陣，為實(shí)對(duì)稱陣.對(duì)，有即的正定矩陣.11．設(shè)正定，為半正定，則正定.證：顯然為實(shí)對(duì)稱陣，故為實(shí)對(duì)稱陣.對(duì)，，，因，故為正定矩陣.12．設(shè)階實(shí)對(duì)稱陣的特征值全大于0，的特征向量都是的特征向量，則正定.證：設(shè)的特征值分別為.由題設(shè)知.因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，所以存在正交矩陣，使即為的特征向量，.由已知條件也是的特征向量，故因此，這說(shuō)明是的特征值，且，.又因?yàn)?故，顯然為實(shí)對(duì)稱陣，因此為正定矩陣.13．設(shè)為正定矩陣，為非零實(shí)數(shù)，記則方陣B為正定矩陣．證：方法一因?yàn)槭钦ň仃?，故為?duì)稱矩陣，即，所以，這說(shuō)明B是對(duì)稱矩陣，顯然=對(duì)任給的n維向量，因?yàn)榉橇銓?shí)數(shù)，所以，又因?yàn)锳是正定矩陣，因此有=即B是正定矩陣．方法二記則因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，顯然B是實(shí)對(duì)稱矩陣，B的k階順序主子陣可由A的階順序主子陣分別左，右相乘對(duì)角陣而得到，即計(jì)算的行列式，有故由正定矩陣的等價(jià)命題知結(jié)論正確．14．設(shè)A為正定矩陣，B為實(shí)反對(duì)稱矩陣，則.證：因?yàn)镸是n階實(shí)矩陣，所以它的特征值若是復(fù)數(shù)，則必然以共軛復(fù)數(shù)形式成對(duì)出現(xiàn)；將M的特征值及特征向量寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式，進(jìn)一步可以證明對(duì)于n階實(shí)矩陣M，如果對(duì)任意非零列向量X，均有可推出M的特征值(或者其實(shí)部)大于零．由于M的行列式等于它的特征值之積，故必有．因?yàn)锳是正定矩陣，B是反對(duì)稱矩陣，顯然對(duì)任意的非零向量X，均有而A+B顯然是實(shí)矩陣，故.15．設(shè)A是n階正定矩陣，B為nm矩陣，則r(BAB)=r(B)．證：考慮線性方程組，顯然線性方程組．考慮線性方程組，若是線性方程組，因此有．上式兩端左乘因?yàn)锳是正定矩陣，因此必有，故線性方程組與是同解方程組，所以必有r(BAB)=r(B).16．設(shè)為實(shí)對(duì)稱陣，則存在實(shí)數(shù)，使.證：因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱陣，則存在正交矩陣，使.其中為的特征值，且為實(shí)數(shù)，.于是取，則，故.17．設(shè)為階正定陣，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有.證：因?yàn)闉檎ň仃?，故為?shí)對(duì)稱陣，且的特征值.則存在正交矩陣，使于是對(duì)任意，有.18．設(shè)為半正定陣，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有.證：因?yàn)闉榘胝ň仃?，故為?shí)對(duì)稱矩陣，且的特征值，.則存在正交矩陣，使，于是對(duì)任意，有.19．為階實(shí)矩陣，為正實(shí)數(shù)，記，則正定.證：，故是實(shí)對(duì)稱矩陣.對(duì)，有，因此有故為正定矩陣.20．證：先證必要性方法一設(shè)是正定矩陣，故，有由此，即線性方程組僅有零解，所以r(A)=n，即A是列滿秩矩陣．方法二因?yàn)槭钦ň仃?，故r()=n，由于所以r(A)=n．即A是列滿秩矩陣．再證充分性：因A是列滿秩矩陣，故線性方程組僅有零解，，X為實(shí)向量，有．因此顯然是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以是正定矩陣．21．設(shè)為階實(shí)對(duì)稱陣，且滿足，則為正定陣.由有由，故..因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱矩陣，故為正定陣.22．設(shè)三階實(shí)對(duì)稱陣的特征值為，其中對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，求一正交變換，將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形.解：設(shè)為的屬于特征值3的特征向量，由于是實(shí)對(duì)稱矩陣，故滿足正交條件解之可取，將其單位化有令.則在正交變換下，將化成標(biāo)準(zhǔn)形為23．設(shè)二次型經(jīng)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形，求所作的正交變換.解：由的標(biāo)準(zhǔn)形為，故的特征值為.故令，則解之.由此對(duì)于有可得的兩個(gè)正交的特征向量對(duì)于，可得的特征向量為將特征向量單位化得則為正交矩陣，正交變換為.注：因特征向量選擇的不同，正交矩陣不惟一.24．已知二次型正定，求.解：二次型的表示矩陣由正定，應(yīng)有的各階順序主子式全大于0.故，即.解之.25．試問(wèn)：三元方程，在三維空間中代表何種幾何曲面.解：記則設(shè).則.故的特征值為.對(duì)于，求得特征向量為.由Schmidt正交化得.對(duì)于得特征向量，標(biāo)準(zhǔn)化得令則在正交變換下于是為為橢球面.26．求出二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及相應(yīng)的可逆線性變換.解：將括號(hào)展開(kāi)，合并同類項(xiàng)有令即則可逆變換為在此可逆線性變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為.27．用初等變換和配方法分別將二次型（1）（2）化成標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，并分別寫(xiě)出所作的合同變換和可逆變換.解：先用配方法求解（1）令即令則二次型經(jīng)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形若再令即令則原二次型經(jīng)可逆線性變換化成規(guī)范形.（2）先線性變換原二次型化成令，即.令，則原二次型經(jīng)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形若再令即令則原二次型經(jīng)可逆線性變換化成規(guī)范形.用初等變換法求解（1）設(shè)令，則原二次型經(jīng)過(guò)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形.二次型經(jīng)過(guò)可逆線性變換化成規(guī)范形.（2）設(shè)令，則原二次型經(jīng)過(guò)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形二次型經(jīng)過(guò)可逆線性變換化成規(guī)范形28．用三種不同方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形.（1）（2）解：先用配方法求解（1）令即令則二次型經(jīng)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形若再令即令原二次型經(jīng)可逆線性變換化成規(guī)范形.（2）令即令則二次型經(jīng)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形若再令即令原二次型經(jīng)可逆線性變換化成規(guī)范形.用初等變換法求解（1）設(shè)令則原二次型經(jīng)過(guò)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形.二次型經(jīng)過(guò)可逆線性變換化成規(guī)范形.（2）設(shè)令則原二次型可經(jīng)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形.可經(jīng)可逆線性變換化成規(guī)范形用正交變換法求解（1）的矩陣為，由，知的特征值為1,2,5.對(duì)，解，得，取，單位化，對(duì)，解，得，取，對(duì)解，得取，單位化得，令，則為正交陣，經(jīng)正交變換，原二次型化為.（2）的矩陣為由知的特征值為.對(duì)，解得，取單位化得，對(duì)，解得.取單位化得.對(duì)，解得取，再令令，則為正交陣，經(jīng)正交變換，原二次型化為.29．判斷下列二次型正定，負(fù)定還是不定.（1）解：二次型的矩陣為的各階順序全子式.所以二次型是負(fù)定二次型.（2）解：二次型的矩陣為的各階順序主子式，，所以二次型是正定二次型.（3）解：二次型的矩陣為的各階順序主子式，，.所以二次型是不定二次型.30．求一可逆線性變換，把二次型化成規(guī)范形，同時(shí)也把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形.解：記，其中取，則記，其中則其中顯然都是實(shí)對(duì)稱矩陣，它們的特征值為倍的關(guān)系，特征向量相同.則的特征值為，故的特征值為.以下求的特征向量.對(duì)于，求得，單位化后對(duì)于，求得由Schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化后得令.則為正交矩陣，且有令于是即在可逆線性變換下.（注：經(jīng)驗(yàn)算本題所得是正確的，需要注意的是并不惟一）31．求一可逆線性變換，將二次型化成二次型.解：，，，將分別作合同變換如下：在可逆線性變換下其中在可逆線性變換下.其中由得令在可逆線性變換下.32．A是正定矩陣，AB是實(shí)對(duì)稱矩陣，則AB是正定矩陣的充分必要條件是B的特征值全大于零．證：先證必要性．設(shè)為B的任一特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為且有用左乘上式有因?yàn)锳B，A都是正定矩陣，故于是，即B的特征值全大于零．再證充分性．因?yàn)锳是正定矩陣，所以A合同于單位矩陣，故存在可逆矩陣P，使（1）由AB是對(duì)稱矩陣，知也是實(shí)對(duì)稱矩陣，因此存在正交矩陣Q，使（2）即有（3）其中是的特征值．在（1）的兩端左乘，右乘Q有這說(shuō)明互逆，也就是說(shuō)將上式代入（3），說(shuō)明矩陣B與對(duì)角陣D相似，故它們的特征值相等；由條件知B的特征值全大于零，因此對(duì)角陣D的特征值也全大于零．由（2）知AB與D合同，因此AB的特征值全大于零．33．設(shè)為階實(shí)正定陣，證明：存在可逆陣，使且，其中為的個(gè)實(shí)根.證：因正定，故存在可逆矩陣，使因正定，故存在可逆矩陣，使于是易見(jiàn)為正定矩陣，不妨設(shè)它的特征值為.則故即為的幾個(gè)實(shí)根.由為正定陣，知其為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以存在正交矩陣，使令，則34．設(shè)為階實(shí)正定陣，為階實(shí)半正定陣，則.證：因?yàn)槭请A正定矩陣，所以存在階可逆矩陣，使得.因?yàn)槭请A半正定陣，則仍是實(shí)對(duì)稱半正定陣，故存在正交陣，使得其中為的特征值，且有令，則為可逆矩陣，于是上式兩端取行列式，得因，故.35．設(shè)均為實(shí)正定陣，證明：方程的根全大于0.證：由33題知.其中為正交矩陣，它的特征值，，故的根全大于0.36．設(shè)A為n階正定矩陣，試證：存在正定矩陣B，使．證：因?yàn)锳是正定矩陣，所以是實(shí)對(duì)稱矩陣，于是存在正交矩陣P，使其中為A的n個(gè)特征值，它們?nèi)笥诹悖顒t而令B=顯然B為正定矩陣，且．37．設(shè)為階可逆實(shí)方陣，證明：可表示為一個(gè)正定陣與一正交陣的乘積．證：因?yàn)槭请A可逆實(shí)方陣，故是正定矩陣，所以存在階正定矩陣，使.于是有這說(shuō)明是正交陣.令則，其中是正交矩陣，是正定矩陣.38．A、B為n階正定矩陣，則AB也為n階正定矩陣的充分必要條件是：AB=BA，即A與B可交換．證：方法一先證必要性．于是即A與B可交換．再證充分性．由條件AB=BA得因此AB是對(duì)稱矩陣．因?yàn)槭钦ň仃?，故它們皆為?shí)對(duì)稱矩陣，且有可逆矩陣P、Q，使于是上式左乘Q，右乘得這說(shuō)明AB與對(duì)稱矩陣相似；因?yàn)镻是可逆矩陣，故矩陣是正定矩陣，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零．綜合上述知AB正定．方法二必要性同方法一，以下證明充分性．由條件AB=BA得因此AB是對(duì)稱矩陣．由于A正定，所以存在可逆矩陣Q，使A=QQ于是這說(shuō)明AB與有相同的特征值．因?yàn)锽是正定矩陣，易見(jiàn)也是正定矩陣，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零．綜合上述知AB正定．39．設(shè)A、B為實(shí)對(duì)稱矩陣，且A為正定矩陣，證明：AB的特征值全是實(shí)數(shù)．證：因?yàn)锳是正定矩陣，故存在可逆矩陣Q，使，于是有即.因?yàn)锽是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以也是實(shí)對(duì)稱矩陣，因此它的特征值都是實(shí)數(shù)，故AB的特征值也都是實(shí)數(shù)．40．設(shè)A是正定矩陣，B是實(shí)反對(duì)稱矩陣，則AB的特征值的實(shí)部為零．證：因?yàn)锳是正定矩陣，故存在可逆矩陣Q，使因?yàn)锽是實(shí)反對(duì)稱矩陣，所以也是實(shí)反對(duì)稱矩陣，因此它的特征值實(shí)部為零，故AB的特征值實(shí)部也為零．41．設(shè)A是正定矩陣，B是半正定的實(shí)對(duì)稱矩陣，則AB的特征值是非負(fù)的實(shí)數(shù)．證：由于A是正定的，所以也是正定的，于是存在可逆矩陣P，使得，因此即.由于B是半正定的實(shí)對(duì)稱矩陣，故是半正定的實(shí)對(duì)稱矩陣，因此的根是非負(fù)實(shí)數(shù)．于是的根也是非負(fù)實(shí)數(shù)，即AB的特征值是非負(fù)的實(shí)數(shù)．42．求證實(shí)二次型的秩和符號(hào)差與k無(wú)關(guān)．證：二次型的矩陣為對(duì)矩陣A作合同變換，即把A的第1行的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n行上；同時(shí)把A的第1列的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n列上，得到與矩陣A合同的矩陣B為對(duì)矩陣B作合同變換，即把B的第2行的倍依次加到第1，3，4，…，n行上；同時(shí)把B的第2列的倍依次加到第1，3，4，…，n列上，得到與矩陣B合同的矩陣C為由合同變換的傳遞性，故A與C合同，于是原二次型可經(jīng)可逆線性變換化簡(jiǎn)成再作可逆線性變換于是二次型f化成規(guī)范形顯然二次型的秩為2，符號(hào)差為0，它們的值均與k無(wú)關(guān)．43．設(shè)二次型，其中a、b為實(shí)數(shù)，問(wèn)a、b滿足什么條件時(shí)，二次型f正定．證：二次型f的矩陣A的各階順序主子式的值與它的階數(shù)n的奇偶性有關(guān)：（1）當(dāng)n=2m+1時(shí)，二次型f的矩陣為它的各階順序主子式為（2）當(dāng)n=2m時(shí)，二次型f的矩陣為它的各階順序主子式為綜合（1），（2）可知：當(dāng)時(shí)，二次型f是正定的．44．設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，r(A)=n,是中元素的代數(shù)余子式，二次型（1）記，把寫(xiě)成矩陣形式，并證明二次型f（X）的矩陣為．（2）二次型與f(X)的規(guī)范形是否相同？說(shuō)明理由．證：方法一（1）因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，故．由r(A)=n,故可逆，且二次型的矩陣形式為從而.故也是實(shí)對(duì)稱矩陣，因此二次型f(X)的矩陣為．（2）因?yàn)椋訟與合同，于是二次型與f(X)有相同的規(guī)范形．方法二（1）同證法１（2）對(duì)二次型作可逆線性變換，其中則===由此可知A與合同，二次型與f(X)有相同的規(guī)范形．45．試