初中數(shù)學(xué)質(zhì)數(shù)那些事(含答案)

專題01 質(zhì)數(shù)那些事閱讀與思考一個(gè)大于1的自然數(shù)如果只能被1和本身整除，就叫作質(zhì)數(shù)(也叫素?cái)?shù))；如果能被1和本身以外的自然數(shù)整除，就叫作合數(shù)；自然數(shù)1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，叫作單位數(shù)．這樣，我們可以按約數(shù)個(gè)數(shù)將正整數(shù)分為三類：單位1正整數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)關(guān)于質(zhì)數(shù)、合數(shù)有下列重要性質(zhì)：1．質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)，最小的質(zhì)數(shù)是2，但不存在最大的質(zhì)數(shù)，最小的合數(shù)是4．2．1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；2是唯一的偶質(zhì)數(shù)．3．若質(zhì)數(shù)p|ab，則必有p|a或p|b．4．算術(shù)基本定理：任意一個(gè)大于1的整數(shù)N能唯一地分解成k個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積(不考慮質(zhì)因數(shù)之間的順序關(guān)系)：N=Pa1Pa2Pak，其中PPP，P為質(zhì)數(shù)，a為非負(fù)數(shù)(i=1，2，3，…，k)．12k12kii正整數(shù)N的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為(1＋a)(1＋a)…(1＋a)，所有正約數(shù)的和為(1＋P＋…＋Pa1)(1＋P111112＋…＋Pa2)…(1＋P＋…＋Pak)．2kk例題與求解【例1】已知三個(gè)質(zhì)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＋abc=99，那么abbcca的值等于_________________．(江蘇省競賽試題)解題思想：運(yùn)用質(zhì)數(shù)性質(zhì)，結(jié)合奇偶性分析，推出a，b，c的值．【例2】若p為質(zhì)數(shù)，p3＋5仍為質(zhì)數(shù)，則p5＋7為( )A．質(zhì)數(shù)C．合數(shù)

B．可為質(zhì)數(shù)，也可為合數(shù)D．既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)(湖北省黃岡市競賽試題)解題思想：從簡單情形入手，實(shí)驗(yàn)、歸納與猜想．【例3】求這樣的質(zhì)數(shù)，當(dāng)它加上10和14時(shí)，仍為質(zhì)數(shù)．(上海市競賽試題)解題思想：由于質(zhì)數(shù)的分布不規(guī)則，不妨從最小的質(zhì)數(shù)開始進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，另外，需考慮這樣的質(zhì)數(shù)是否唯一，按剩余類加以深入討論．【例4】⑴將1，2，…，2004這2004個(gè)數(shù)隨意排成一行，得到一個(gè)數(shù)n，求證：n一定是合數(shù)．若n是大于2的正整數(shù)，求證：2n－1與2n＋1中至多有一個(gè)質(zhì)數(shù)．求360的所有正約數(shù)的倒數(shù)和．(江蘇省競賽試題)解題思想：⑴將1到2004隨意排成一行，由于中間的數(shù)很多，不可能一一排出，不妨找出無論怎樣排，所得數(shù)都有非1和本身的約數(shù)；⑵只需說明2n－1與2n＋1中必有一個(gè)是合數(shù)，不能同為質(zhì)數(shù)即可；⑶逐個(gè)求解正約數(shù)太麻煩，考慮整體求解．1 1 2【例5】設(shè)x和y是正整數(shù)，x≠y，p是奇質(zhì)數(shù)，并且xyp，求x＋y的值．解題思想：由題意變形得出p整除x或y，不妨設(shè)xtp．由質(zhì)數(shù)的定義得到2t－1=1或2t－1=．由x≠y及2t－1為質(zhì)數(shù)即可得出結(jié)論．【例6】若一個(gè)質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼經(jīng)任意排列后仍然是質(zhì)數(shù)，則稱它是一個(gè)“絕對質(zhì)數(shù)”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是質(zhì)數(shù)]．求證：絕對質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼不能同時(shí)出現(xiàn)數(shù)碼1，3，7，9．(青少年國際城市邀請賽試題)解題思想：一個(gè)絕對質(zhì)數(shù)如果同時(shí)含有數(shù)字1，3，7，9，則在這個(gè)質(zhì)數(shù)的十進(jìn)制表示中，不可能含有數(shù)字0，2，4，5，6，8，否則，進(jìn)行適當(dāng)排列后，這個(gè)數(shù)能被2或5整除．能力訓(xùn)練A級1．若a，b，c，d為整數(shù)，a2b2c2d2=1997，則a2b2c2d2=________．2．在1，2，3，…，n這個(gè)n自然數(shù)中，已知共有p個(gè)質(zhì)數(shù)，q個(gè)合數(shù)，k個(gè)奇數(shù)，m個(gè)偶數(shù)，則(q－m)＋(p－k)=__________．3．設(shè)a，b為自然數(shù)，滿足1176a=b3，則a的最小值為__________．(“希望杯”邀請賽試題)4．已知p是質(zhì)數(shù)，并且p6＋3也是質(zhì)數(shù)，則p11－48的值為____________．(北京市競賽試題)5．任意調(diào)換12345各數(shù)位上數(shù)字的位置，所得的五位數(shù)中質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是( )A．4 B．8 C．12 D．06．在2005，2007，2009這三個(gè)數(shù)中，質(zhì)數(shù)有 (A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè)

)

D．3個(gè)(“希望杯”邀請賽試題)7．一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字變換位置后，所得的數(shù)比原來的數(shù)大9，這樣的兩位中，質(zhì)數(shù)有(

)A．1個(gè)

B．3個(gè)

C．5個(gè)

D．6個(gè)(“希望杯”邀請賽試題)8．設(shè)p，q，r都是質(zhì)數(shù)，并且p＋q=r，p<q．求p．9．寫出十個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，使得個(gè)個(gè)都是合數(shù)．(上海市競賽試題)10．在黑板上寫出下面的數(shù)2，3，4，…，1994，甲先擦去其中的一個(gè)數(shù)，然后乙再擦去一個(gè)數(shù)，如此輪流下去，若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則甲勝；若最后剩下的兩個(gè)數(shù)不互質(zhì)，則乙勝，你如果想勝，應(yīng)當(dāng)選甲還是選乙？說明理由．(五城市聯(lián)賽試題)11．用正方形的地磚不重疊、無縫隙地鋪滿一塊地，選用邊長為xcm規(guī)格的地磚，恰用n塊，若選用邊長為ycm規(guī)格的地磚，則要比前一種剛好多用124塊，已知x，y，n都是正整數(shù)，且(x，y)=1，試問這塊地有多少平方米？(湖北省荊州市競賽試題)B級1．若質(zhì)數(shù)m，n滿足5m＋7n=129，則m＋n的值為__________．ppqq2．已知p，q均為質(zhì)數(shù)，并且存在兩個(gè)正整數(shù)m，n，使得p=m＋n，q=m×n，則mnnm的值為__________．3．自然數(shù)a，b，c，d，e都大于1，其乘積abcde=2000，則其和a＋b＋c＋d＋e的最大值為__________，最小值為____________．(“五羊杯”競賽試題)4．機(jī)器人對自然數(shù)從1開始由小到大按如下的規(guī)則染色：凡能表示為兩個(gè)合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不合上述要求的自然數(shù)都染成黃色，若被染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，則第1992個(gè)數(shù)是_______________．(北京市“迎春杯”競賽試題)5．若a，b均為質(zhì)數(shù)，且滿足a11＋b=2089，則49b－a=_________．A．0 B．2007 C．2008 D．2010(“五羊杯”競賽試題)6．設(shè)a為質(zhì)數(shù)，并且7a2＋8和8a2＋7也都為質(zhì)數(shù)，記x=77a＋8，y=88a＋7，則在以下情形中，必定成立的是(

)A．C．

xx

，，

y都是質(zhì)數(shù)y一個(gè)是質(zhì)數(shù)，一個(gè)是合數(shù)

B．x，y都是合數(shù)D．對不同的a，以上皆可能出現(xiàn)(江西省競賽試題)7．設(shè)a

，b

，c

，d

是自然數(shù)，并且

a2

b2

c2

d2

，求證：a

＋b

＋c

＋d

一定是合數(shù)．(北京市競賽試題)8．請同時(shí)取六個(gè)互異的自然數(shù)，使它們同時(shí)滿足：6個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)；6個(gè)數(shù)任取2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)數(shù)之和都是合數(shù)，并簡述選擇的數(shù)符合條件的理由．9．已知正整數(shù)p，q都是質(zhì)數(shù)，并且7p＋q與pq＋11也都是質(zhì)數(shù)，試求pqqp的值．(湖北省荊州市競賽試題)41名運(yùn)動(dòng)員所穿運(yùn)動(dòng)衣號碼是1，2，…，40，41這41個(gè)自然數(shù)，問：能否使這41名運(yùn)動(dòng)員站成一排，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號碼之和是質(zhì)數(shù)？能否讓這41名運(yùn)動(dòng)員站成一圈，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號碼之和都是質(zhì)數(shù)？若能辦到，請舉出一例；若不能辦到，請說明理由．專題01質(zhì)數(shù)那些事1342C例33符合要求提示：當(dāng)p=3k＋1時(shí)，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，顯然p＋14是合數(shù)，當(dāng)p=3k＋2時(shí)，p＋10=3(k＋4)是合數(shù)，當(dāng)p=3k時(shí)，只有k=1才符合題意．1例4（1）因1＋2＋…＋2004=2×2004×（1＋2004）=1002×2005為3的倍數(shù)，故無論怎樣交換這2004個(gè)數(shù)的順序，所得數(shù)都有3這個(gè)約數(shù)．（2）因n是大于2的正整數(shù)，則2n－1≥7，2n－1、2n、2n＋1是不小于7的三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，其中必有一個(gè)被3整除，但3不整除2n，故2n－1與2n＋1中至多有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)．（3）設(shè)正整數(shù)a的所有正約數(shù)之和為b，d，d，d，…，d為a的正約數(shù)從小到大的排列，123n于是d=1，d=a．由于S1111中各分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)d=a，故S=1nddddn123ndndn1d1=d1d2dn=b，而a=360=23325，故b=（1＋2＋22＋23）×（1＋3ddddannnn＋32）×（1＋5）=1170．b=1170=31．a(chǎn)3604例5由xy2，得x＋y=2xy=k．（k為正整數(shù)），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p為奇質(zhì)數(shù)，故xy=pptpp整除x或y，不放設(shè)x=tp，則tp＋y=2ty，得y=2t1為整數(shù)．又t與2t－1互質(zhì)，故2t－1整除p，p為質(zhì)數(shù)，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，與x≠y矛盾；若2t－1=p，則xyxy2pxy=p，2xy=p（x＋y）．∵p是奇質(zhì)數(shù)，則x＋y為偶數(shù)，x、y同奇偶性，只能同為xy=2必有apyap某數(shù)含因數(shù)p．令x=ap，ay=2，2ay=ap＋y．∴y=2a1，故a，2a－1互質(zhì)，2a－1整除p，又p是質(zhì)數(shù)，則2a－1=p，a=p1p1p=pp1pp1p1p122，故x=2，∴x＋y=2＋2=2。26設(shè)N是一個(gè)同時(shí)含有數(shù)字1，3，7，9的絕對質(zhì)數(shù)．因?yàn)閗=7931，k=1793，k=9137，k=7913，0 ` 2 3=7193，k=1937，k=7139除以7所得余數(shù)分別為0，1，2，3，4，5，6．故如下7個(gè)正整數(shù)：4 5 6NCCC7931=LL104k，012n40NCCC1793=LL104k，112n41…NCCC7139=LL104k，612n46其中，一定有一個(gè)能被7整除，則這個(gè)數(shù)就不是質(zhì)數(shù)，故矛盾．A級1．1998 2．－13．63 4．2000 5．D 6．A 7．B8．由r=p＋q可知r不是最小的質(zhì)數(shù)，則為奇數(shù)，故p，q為一奇一偶，又因?yàn)閜＜q．故p既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)，則p=2．9．設(shè)十個(gè)連續(xù)合數(shù)為k＋2，k＋3，k＋4，…，k＋10，k＋11，這里k為自然數(shù)，則只要取k是2，3，4，…，的倍數(shù)即可．10．選甲．提示：相鄰的兩個(gè)自然數(shù)總是互質(zhì)數(shù)，把相鄰自然數(shù)兩兩分為一組，這兩數(shù)總是互質(zhì)的，（2，3），（4，5），（6，7），…，（1992，1993），1994，甲擦掉1994，無論乙擦哪一個(gè)數(shù)，甲就擦那一組的另一數(shù)，以此類推，最后還剩一對互質(zhì)數(shù)．11．設(shè)這塊地面積為S，則S=nx2=（n＋124）y2． ∴（x2，y2）=1 （x2y2，y2）=1∵124=22×31，x2y2=（x＋y）（x－y）xy31 xy62∴ ，或xy1 xy2x16 x32∴ ，或 （舍）y15 y30124y2此時(shí)n=x2y2=900．∴S=nx2=900×162=230400cm2=23．04mB級

x2y2｜124。1．19或252．31提示：q=mn，則m、n只能一個(gè)為1，另一個(gè)為q．33．133234．20015．B提示：唯有a=2，b=2089－211=2089－2048=41是質(zhì)數(shù)，符合題意．6．A提示：當(dāng)a=3時(shí)，符合題意；當(dāng)a≠3時(shí)，a2被3處余1，設(shè)a2=3n＋1，則7a2＋8=21n＋15，a2＋7=24n＋15，它們都不是質(zhì)數(shù)，與條件矛盾．故a=3．7．a(chǎn)2－a，b2－b，c2－c，d2－d都是偶數(shù)，即M=a2b2c2d2－（a＋b＋c＋d）是偶數(shù)．因?yàn)閍2b2=c2d2，所以a2b2c2d2=2（a2b2）是偶數(shù)，從而有a＋b＋c＋d=a2b2c2d2－M=2（a2b2）－M，它一定是偶數(shù)，但a＋b＋c＋d＞2，于是a＋b＋c＋d是個(gè)合數(shù)．8．取六個(gè)數(shù)ai＝i×(1×2×3×4×5×6)＋1(i＝1，2，…，6)，則其中任意兩個(gè)數(shù)都是互質(zhì)的，事實(shí)上，假設(shè)a2與a5不互質(zhì)，設(shè)d是a2與a5的最大公約數(shù)，則d必是(5－2)×1×2×3×4×5×6，即3×1×2×3×4×5×6的一個(gè)因子，但從a2＝2×1×2×3×4×5×6＋1知，d不整除a2，這與假設(shè)d是a2與a5的最大公約數(shù)矛盾，