《高等數(shù)學(xué)》第五章多元函數(shù)微分學(xué)

第五章多元函數(shù)微分學(xué)

第一節(jié)多元函數(shù)的概念 第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù) 第三節(jié)全微分 第四節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法 第五節(jié)多元函數(shù)的極值 第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第一節(jié)多元函數(shù)的概念

前面學(xué)習(xí)的一元函數(shù)微積分，是含有一個自變量的函數(shù)，但在實(shí)際問題中，還會遇到兩個或兩個以上自變量的函數(shù)，這就是本節(jié)所要討論的多元函數(shù)一、二元函數(shù)的概念實(shí)際問題中，經(jīng)常會遇到多個變量之間的相互關(guān)系問題．例如：(1)

矩形面積S是其長x與寬y的函數(shù)

S

=xy．(2)

長方形的體積V是長x、寬y、高z的函數(shù)

V=xyz．(3)

一定量的理想氣體的體積V、絕對溫度T、壓強(qiáng)p滿足關(guān)系式以上這些都是兩個以上變量之間對應(yīng)關(guān)系的例子．(R為常數(shù))． 定義1設(shè)有變量x，y，z，若當(dāng)x，y在一定范圍內(nèi)任意取定一對數(shù)值時，變量z按照一 定的法則，總有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱z是x，y的二元函數(shù)，記作z=f(x，y)．其中x，y叫做自變量，z叫做因變量，x，y的變化范圍叫做二元函數(shù)的定義域． 類似可定義三元函數(shù)W=f(x，y，z)及三元以上的函數(shù)．二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)． 類似于一元函數(shù)y=f(x)，用數(shù)軸上的點(diǎn)(x)來表示數(shù)值x，也可以用xOy平面上的點(diǎn)P(x，y)來表示一對有序?qū)崝?shù)x，y，于是函數(shù)z=f(x，y)可簡記為z=f(P)，而z也可稱為點(diǎn)P的函數(shù)．同理，三元函數(shù)也可以看作點(diǎn)的函數(shù)． 二元函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的函數(shù)值記為f(x0，y0)、z(x0，y0)或?qū)τ谝辉瘮?shù)，一般假定在某個區(qū)間上有定義進(jìn)行討論．對于二元函數(shù)，類似地假定它在某平面區(qū)域內(nèi)有定義進(jìn)行討論．區(qū)域(平面的)是指由一條或幾條曲線所圍成的具有連通性的平面的一部分(如圖5-1所示)．所謂連通性是指一塊部分平面內(nèi)任意兩點(diǎn)均可用完全屬于此部分平面的折線連接起來．若區(qū)域能延伸到無限遠(yuǎn)處，就稱這區(qū)域是無界的，如圖5-1(b)所示．否則，它總可以被包含在一個以原點(diǎn)O為中心，而半徑適當(dāng)大的圓內(nèi)，這樣的區(qū)域稱為有界的，如圖5-1(a)所示．圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界．稱連同邊界在內(nèi)的區(qū)域?yàn)殚]區(qū)域，不包括邊界的區(qū)域叫開區(qū)域．一般地，在沒有必要區(qū)分開或閉時，通稱區(qū)域，用字母D表示．圖5-1例如，由x+y>0所確定的區(qū)域是無界開區(qū)域(圖5-2所示)，而由x2+y2￡1所確定的區(qū)域是有界閉區(qū)域(圖5-3所示)．

圖5-3

圖5-2

某點(diǎn)的鄰域是指以該點(diǎn)為中心的一個圓形開區(qū)域．例如，點(diǎn)P0(x0，y0)的一個d(d>0)鄰域是指

{(x，y)|(x–x0)2+(y–y0)2<d

2}，記為N(P0，d)．在不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑d時，也簡記為N(P0)． 例1求二元函數(shù)的定義域． 解這個函數(shù)是由和兩部分構(gòu)成的，所以要使函數(shù)z有意義，x，y必須同時滿足，即1x2+y2<9，所以函數(shù)定義域?yàn)镈={(x，y)|1x2+y2<9}． 點(diǎn)集D在xOy平面上表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓與以原點(diǎn)為圓心的單位圓所圍成的圓環(huán)域(包含邊界曲線內(nèi)圓x2+y2=1，但不包含邊界曲線外圓x2+y2=9，如圖5-4所示)．

設(shè)二元函數(shù)z=f(x，y)的定義域?yàn)镈，對于(x，y)∈D，空間中的點(diǎn)(x，y，f(x，y))構(gòu)成的圖形，即方程f(x，y)–z=0的圖形，一般是一張曲面(見圖5-5)，稱為函數(shù)z=f(x，y)的圖象．

圖5-4

圖5-5二、二元函數(shù)的極限函數(shù)的極限是研究當(dāng)自變量變化時函數(shù)的變化趨勢，但是二元函數(shù)的自變量有兩個，所以自變量的變化過程比一元函數(shù)復(fù)雜得多．現(xiàn)在把一元函數(shù)的極限概念推廣到二元函數(shù)上．考慮當(dāng)點(diǎn)(x，y)趨近于點(diǎn)(x0，y0)時函數(shù)z=f(x，y)的變化趨勢．雖然點(diǎn)P(x，y)趨近于點(diǎn)P0(x0，y0)的方式是多種多樣的，如果用r表示點(diǎn)P(x，y)與P0(x0，y0)之間的距離，，那么不論(x，y)→(x0，y0)的過程多么復(fù)雜，總可以用x→x0，y→y0或r→0來表示自變量的變化過程(x，y)→(x0，y0)．定義2

設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)附近有定義(在P0(x0，y0)處可沒有定義)．如果當(dāng)點(diǎn)P(x，y)趨向點(diǎn)P0(x0，y0)時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x，y)總是趨向于一個確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x，y)當(dāng)x→x0，y→y0時的極限，記作或

二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的推廣，有關(guān)一元函數(shù)極限的運(yùn)算法則和定理都可推廣到二元函數(shù)的極限．例2

求解

由于r=原式因此例3討論極限是否存在．解

由極限定義知，當(dāng)P(x，y)以任何方式趨于P0(0，0)時，如果存在，那么其極限值應(yīng)該是唯一的．令P(x，y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)P0(0，0)時，若k=0，則；若k=1，則．所以不存在．三、二元函數(shù)的連續(xù)性同一元函數(shù)的連續(xù)性類似，可用二元函數(shù)的極限定義二元函數(shù)的連續(xù)概念．定義3

設(shè)二元函數(shù)的定義域?yàn)镈，P0(x0，y0)∈D．若或則稱函數(shù)z=f

(x，y)在點(diǎn)P0處連續(xù)．若二元函數(shù)z=f(x，y)在區(qū)域D上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x，y)在D上連續(xù)．區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)的圖象是一張不間斷、無裂縫的曲面．與一元函數(shù)的間斷點(diǎn)類似，關(guān)于二元函數(shù)也可以討論它的間斷點(diǎn)，并且二元函數(shù)的間斷點(diǎn)有時會構(gòu)成一條曲線，稱為間斷線．例如，二元函數(shù)z=

就有一條間斷線，即xOy面上的直線y=x．和一元函數(shù)類似，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算所成的函數(shù)仍然是連續(xù)的，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過復(fù)合運(yùn)算所成的函數(shù)也是連續(xù)的．由此得到：二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域(包含在定義域內(nèi)的區(qū)域)內(nèi)是連續(xù)的．與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)，有以下定理．定理1

在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在該區(qū)域上一定能取到最大值和最小值．定理2

在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)必能取得介于它的兩個不同函數(shù)值之間的任何值至少一次．第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)在研究二元函數(shù)時，有時要求當(dāng)其中一個自變量固定不變時，函數(shù)關(guān)于另一個自變量的變化率．此時的二元函數(shù)實(shí)際上轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)．因此利用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念，可以得到二元函數(shù)對某一個自變量的變化率．例如，一定量的理想氣體的壓強(qiáng)p，體積V，絕對溫度T三者之間的關(guān)系為當(dāng)溫度不變時(等溫過程)，壓強(qiáng)p關(guān)于體積V的變化率就是(R為常量)．這種形式的變化率稱為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．1．偏導(dǎo)數(shù)的定義定義

設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某鄰域內(nèi)有定義，固定y=y0，得到一個一元函數(shù)f(x，y0)．若自變量x有改變量

，相應(yīng)地函數(shù)z有關(guān)于x的增量(稱為偏增量)如果Dxz=f(x0+Dx，y0)–f(x0，y0)，

、、或

、、或存在，則稱此極限值為函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作同理，函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù)定義為記作如果函數(shù)z=f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x，y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這樣的偏導(dǎo)數(shù)是x，y的函數(shù)，稱為函數(shù)z=f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)(簡稱為偏導(dǎo)數(shù))，記作類似地，可以定義函數(shù)z=f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)對于自變量y的偏導(dǎo)數(shù)，記作、、．顯然，與分別是偏導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)(x0，y0)處的函數(shù)值，即2．偏導(dǎo)數(shù)的求法實(shí)際上，求z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法，因?yàn)檫@里只有一個自變量時，只要把y看作常量而對x求導(dǎo)數(shù)；求時，則只要把x看作常量而對y求在變動，而另一個自變量是看作固定的，所以仍然是一元函數(shù)的求導(dǎo)問題．求導(dǎo)數(shù)．偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法可以推廣到二元以上的多元函數(shù)．例1求z=x2+3xy+y2在點(diǎn)(1，2)處的偏導(dǎo)數(shù)．解把y看作常量，得把x看作常量，得將x=1、y=2代入上面的結(jié)果，得，．例2求z=x2sin2y的偏導(dǎo)數(shù)．解，例3

設(shè)z=xy(x>0，x≠1)，求，解把y看作常數(shù)，z=xy為關(guān)于x的冪函數(shù)，則把x看作常數(shù)，z=xy為關(guān)于y的指數(shù)函數(shù)，則=xylnx．例4

設(shè)z=ln(1+x2+y2)，求，解，注意對一元函數(shù)來說，可看作函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商，但對二元函數(shù)而言，則(或)只能看成整體記號，不能理解為與(或)之商．二、高階偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)的計算中可以看到，二元函數(shù)z=f(x，y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)、

，一般來說，它們?nèi)匀皇亲宰兞縳，y的函數(shù)．如果、

的偏導(dǎo)數(shù)存在，可以繼續(xù)對x或y求偏導(dǎo)數(shù)，則稱這兩個偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為函數(shù)z=f(x，y)的二階偏導(dǎo)數(shù)．這樣的二階偏導(dǎo)數(shù)共有四個，分別表示為：或或

再對x求偏導(dǎo)數(shù)，則把這樣的二階偏導(dǎo)數(shù)記作(1)

若將(2)

若將

再對y求偏導(dǎo)數(shù)，則相應(yīng)的二階偏導(dǎo)數(shù)記作或或或或(4)

若將

再對y求偏導(dǎo)數(shù)，則相應(yīng)的二階偏導(dǎo)數(shù)記作

再對x求偏導(dǎo)數(shù)，則相應(yīng)的二階偏導(dǎo)數(shù)記作(3)

若將或或

稱為二元函數(shù)z=f(x，y)的一階偏導(dǎo)數(shù)．

等．二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)．相應(yīng)地，其中(2)和(3)稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)，但(2)和(3)對x與y分別求偏導(dǎo)的次序是不一的．類似地，可以定義函數(shù)z=f(x，y)的n(n33)階偏導(dǎo)數(shù)，如、、例5設(shè)z=x3y2–3xy3–xy+1，求及．解，，．在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等．

，這不是偶然的，事實(shí)上，有如下定理：定理

如果函數(shù)z=f(x，y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)

從上例中觀察到及換句話說，二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān)．上述定理還可推廣到更高階的混合偏導(dǎo)數(shù)的情形．對此有下列結(jié)論：如果函數(shù)z=f(x，y)的直到某階為止的一切偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)都存在且連續(xù)，那么所出現(xiàn)的混合偏導(dǎo)數(shù)均與求導(dǎo)次序

無關(guān)．對于二元以上的函數(shù)，也可以類似地定義高階偏導(dǎo)數(shù)，而且高階混合偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下也與求導(dǎo)的次序無關(guān)．例6

設(shè)z=ln(x2+y2)，求、．解

由于，所以．又在定義區(qū)域上連續(xù)，所以．

第三節(jié)全微分一、全微分的定義回顧一元函數(shù)的微分概念．如果一元函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的改變量Dy=f(x+Dx)–f(x)，可以表示為關(guān)于Dx的線性函數(shù)與一個比Dx高階的無窮小之和，即

Dy=f(x+Dx)–f(x)=ADx+o(Dx)，其中A與Dx無關(guān)，僅與x有關(guān)，o(Dx)是當(dāng)Dx→0時比Dx高階的無窮小，則稱一元函數(shù)y=在點(diǎn)x可微，并稱ADx是y=f(x)在點(diǎn)x處的微分，記為dy=ADx，且有若f(x)可導(dǎo)，則A=f'(x)現(xiàn)在討論二元函數(shù)的全微分．設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)P(x，y)的某鄰域內(nèi)有定義，若分別給自變量x、y以增量Dx、Dy，則稱

Dz=f(x+Dx，y+Dy)–f(x，y)為函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)P(x，y)處相對于自變量的增量Dx，Dy的全增量．定義

如果函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x，y)的某鄰域內(nèi)有定義，自變量x、y分別有增量Dx、Dy，其全增量Dz=f(x+Dx，y+Dy)–f(x，y)可表示為

Dz=ADx+BDy+o(r)．其中A，B是與Dx、Dy無關(guān)的量，且r=，則稱函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x，y)處可微，并稱ADx+BDy為函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x，y)處的全微分，記作dz，即dz=ADx+BDy．如果函數(shù)z=f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處都可微，則稱函數(shù)z=f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)可微．二元函數(shù)的全微分概念可以類似地推廣到多元函數(shù)．A=

，

定理1

如果函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則它在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)．

定理2

如果z=f(x，y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x，y)處都存在且連續(xù)，則函數(shù)z=f(x，y)在該點(diǎn)可微且常見的二元函數(shù)一般都滿足定理2的條件，從而它們都是可微函數(shù)．和一元函數(shù)類似，習(xí)慣上將自變量的增量Dx和Dy分別記作dx和dy，則全微分又可寫為例1

計算函數(shù)z=y2sinx的全微分．解

因?yàn)椋?ysinx，所以=y2cosxdx+2ysinxdy．例2

求函數(shù)z=xy在點(diǎn)(2，3)處關(guān)于Dx=0.1與Dy=0.2的全增量和全微分．解Dz=(x+Dx)(y+Dy)–xy=yDx+xDy+DxDy，=ydx+xdy=yDx+xDy．將x=2、y=3、Dx=0.1、Dy=0.2代入上式，得Dz=3×(0.1)+2×(0.2)+(0.1)×(0.2)=0.72，dz=3×(0.1)+2×(0.2)=0.7．二、全微分的應(yīng)用若二元函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則Dz–dz=o(r)．因此f(x，y)可微，fx'(x,y)，fy'(x,y)，不全為零，當(dāng)|Dx|與|Dy|充分小時，可用dz近似代替Dz，即

Dz≈dz，且

f(x，y)≈f(x0，y0)+fx'(x0,y0)(x–x0)+fy'(x0,y0)(y–y0)．利用以上兩式可求二元函數(shù)的全增量和函數(shù)值的近似值．例3

一圓柱形的鐵罐，內(nèi)半徑為5cm，內(nèi)高為12cm，壁厚均為0.2cm，估計制作這個鐵罐所需材料的體積大約是多少(包括上、下底)?解圓柱體體積V=pr2h，所以這個鐵罐所需材料的體積是DV=p(r+Dr)2(h+Dh)–pr2h．因?yàn)镈r=0.2cm，Dh=0.4cm都比較小，所以可用全微分近似代替全增量，即=2prhdr+pr2dh=pr(2hdr+rdh)，所以

=34p≈106.8(cm3)．故所需材料的體積大約為106.8cm3．例4

計算的近似值．解在具體問題中，并沒有給出函數(shù)f(x，y)、點(diǎn)(x，y)及改變量Dx、Dy，需要根據(jù)問題的特點(diǎn)，找出函數(shù)f(x，y)、點(diǎn)(x，y)及改變量Dx、Dy是什么．對這個問題，可設(shè)函數(shù)，取點(diǎn)(x，y)為(2，2)，Dx=0.02，Dy=–0.03，顯然，要計算的值是f(2.02，1.97)．由于f(2，2)=2，，，，，所以應(yīng)用公式得

在一元函數(shù)中，介紹了一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，這一求導(dǎo)方法在很多復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)問題中起著重要作用．對于多元函數(shù)來說，情況也是如此．第四節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式下面先就二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行討論，對二元以上的多元函數(shù)的求導(dǎo)法則可類似推出．定理

若函數(shù)z=f(u，v)在點(diǎn)(u，v)可微，而函數(shù)u=

j(x，y)，v=y(x，y)在點(diǎn)(x，y)都存在偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=

f

[j(x，y)，y(x，y)]在點(diǎn)(x，y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在且有求導(dǎo)公式上面公式有下面幾種特殊情形．(1)

設(shè)z=f(u，v)，u=

j(x)，v=

y(x)，則z=f

[j(x)，y(x)]是x的一元函數(shù)．若u=

j(x)，v=

y(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，z=f(u，v)在對應(yīng)點(diǎn)(u，v)處可微，則z在點(diǎn)x處對x的導(dǎo)數(shù)存在，且z=f

[j(x)，y(x)]只是一個自變量x的函數(shù)，z對x的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù)，(2)式稱為全導(dǎo)數(shù)公式．(2)

設(shè)函數(shù)u=

j(x，y)在點(diǎn)(x，y)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，二元函數(shù)z=f(u，y)在對應(yīng)點(diǎn)(u，y)處可微，則復(fù)合函數(shù)z=f

[j(x，y)，y]的偏導(dǎo)數(shù)

、

存在，且有

這里相當(dāng)于定理中v=y的情形．必須指出，(3)

式

中與是不同的，

是把復(fù)合函數(shù)z=f

[j(x，y)，y]中的x看成不變，u是y的函數(shù)而對y求偏導(dǎo)數(shù)，但

是把f(u，y)中的u看作不變而對y求偏導(dǎo)數(shù)．同理，z=f(x，u)而u=

j(x，y)均有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則上面的公式(1)可推廣到兩個以上中間變量的情形．例如，函數(shù)z=f(u，v，w)，u=j(x，y)，v=y(x，y)，w=

w(x，y)滿足定理的相應(yīng)條件，則多元復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是多種多樣的，不可能也不必要把所有的公式都一一列舉．從上面討論的情形可以確定一個求導(dǎo)原則：函數(shù)對某個自變量求偏導(dǎo)數(shù)時，應(yīng)通過一切有關(guān)的中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)到該自變量．綜上所述，求多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時要注意：(1)

弄清自變量和中間變量的個數(shù)，以及哪些是中間變量，哪些是自變量；(2)

偏導(dǎo)數(shù)的個數(shù)等于自變量的個數(shù)，如果只有一個自變量時，所求的導(dǎo)數(shù)不是偏導(dǎo)數(shù)而是全導(dǎo)數(shù)；(3)

偏導(dǎo)數(shù)中的項(xiàng)數(shù)等于中間變量的個數(shù)．例1

設(shè)z=exysin(x+y)，求、解令u=xy，v=x+y，則函數(shù)化成復(fù)合形式z=eusinv，則由公式(1)得=eusinv·y+eucosv·1=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]，=eusinv·x+eucosv·1=exy[xsin(x+y)+cos(x+y)]．例2

設(shè)z=u·v，u=e2x，v=cosx，求全導(dǎo)數(shù)．解由于，，=2e2x，=–sinx，則由公式(2)得=v·2e2x+u·(–sinx)=2e2xcosx–e2xsinx=(2cosx–sinx)e2x．例3

設(shè)z=f(u，v)，而u=xy，v=，求、．解，為方便起見，若記(i=1，2)表示函數(shù)z對第i

個中間變量的偏導(dǎo)數(shù)，則例3中、可改寫為，．由于z=f(u，v)并沒有給出具體的函數(shù)關(guān)系，因此只能到此為止，不可能得到具體的導(dǎo)函數(shù)．例4

設(shè)f(u，v)可微，z=，求dz．解

因?yàn)?/p>

，所以

二、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式在一元函數(shù)微分學(xué)中已經(jīng)提出了隱函數(shù)的概念，并且指出了不經(jīng)過顯化直接由方程F(x，y)=0求出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法．設(shè)函數(shù)F(x，y)可微，

(x，y)≠0，可以證明例5

求由方程x2+y2=a2確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解法1

設(shè)F(x，y)=x2+y2–a2，則2y，故

解法2

用一元函數(shù)的隱函數(shù)求導(dǎo)公式，兩邊對x求導(dǎo)，得2x+2yy'=0，解之得．設(shè)z=f(x，y)是由方程F(x，y，z)=0唯一確定的隱函數(shù)，如果、、連續(xù)，且≠0，得出隱函數(shù)的兩個求導(dǎo)公式：，例6

設(shè)ez–xyz=0，求、．解設(shè)F(x，y，z)=ez–xyz，所以=–yz，=–xz，–ez–xy，故

,．也可以用下面的方法求二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．將方程ez–xyz=0兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù)，注意z為x、y的函數(shù)，因此可得，整理得

．當(dāng)ez–xy≠0時，

．同理可得

．利用全微分求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也比較方便．例如，方程ez–xyz=0對其兩邊求全微分有ezdz–yzdx–xzdy–xydz=0，解出dz得由全微分公式就有第五節(jié)多元函數(shù)的極值在實(shí)際問題中，往往會遇到多元函數(shù)的最大值、最小值問題．與一元函數(shù)相類似，多元函數(shù)的最大值、最小值與極大值、極小值有密切聯(lián)系，因此以二元函數(shù)為例，先來討論多元函數(shù)的極值問題．一、多元函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某個鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于(x0，y0)的點(diǎn)(x，y)，若都適合不等式f(x，y)<f

(x0，y0)，則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0，y0)有極大值f

(x0，y0)；若都適合不等式f(x，y)>f

(x0，y0)，則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0，y0)有極小值f

(x0，y0)．極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)．例1

函數(shù)z=3x2+4y2在點(diǎn)(0，0)處有極小值．因?yàn)閷τ邳c(diǎn)(0，0)的任一鄰域內(nèi)異于(0，0)的點(diǎn)，函數(shù)值都為正，而在點(diǎn)(0，0)處的函數(shù)值為零．從幾何上看，這是顯然的，因?yàn)辄c(diǎn)(0，0，0)是開口朝上的橢圓拋物面z=3x2+4y2的頂點(diǎn)．例2

函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處有極大值．因?yàn)樵邳c(diǎn)(0，0)處函數(shù)值為零，而對于點(diǎn)(0，0)的任一鄰域內(nèi)異于(0，0)的點(diǎn)，函數(shù)值都為負(fù)．點(diǎn)(0，0，0)是位于xOy平面下方的錐面的頂點(diǎn)．例3

函數(shù)z=xy在點(diǎn)(0，0)處既不取得極大值也不取得極小值．因?yàn)樵邳c(diǎn)(0，0)處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)(0，0)的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)．以上關(guān)于二元函數(shù)的極值的概念，可推廣到n元函數(shù)．二元函數(shù)的極值問題一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決．定理1(極值的必要條件)

設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)P0(x0，y0)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即與一元函數(shù)相類似，把使，同時成立的點(diǎn)P0(x0，y0)，稱為函數(shù)z=f(x，y)的駐點(diǎn)．從定理1可知，具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．例如，點(diǎn)(0，0)是函數(shù)z=xy的駐點(diǎn)，但函數(shù)在該點(diǎn)并無極值．怎樣判定一個駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢?下面的定理回答了這個問題．定理2(極值的充分條件)

設(shè)P0(x0，y0)為函數(shù)z=f(x，y)的駐點(diǎn)，且在點(diǎn)P0(x0，y0)的某領(lǐng)域內(nèi)，z=f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．若令A(yù)=(x0，y0)，B=(x0，y0)，C=(x0，y0)，則(1)AC–B2>0時，函數(shù)z=f(x，y)有極值，且A<0時有極大值，A>0時有極小值；(2)AC–B2<0時，函數(shù)z=f(x，y)沒有極值；(3)AC–B2=0時，函數(shù)可能有極值，也可能沒有極值．根據(jù)定理1、定理2，若函數(shù)z=f(x，y)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則可按下列步驟求函數(shù)的極值：第一步

求偏導(dǎo)數(shù)、，解方程組求得一切駐點(diǎn)；第二步

求、、；第三步對每個駐點(diǎn)，確定AC–B2的值，并由定理2判定哪些駐點(diǎn)為極值點(diǎn)，并求出相應(yīng)的極值．對于有多個駐點(diǎn)的情形，第三步可列表進(jìn)行．例4

求函數(shù)z=x3–4x2+2xy–y2的極值．解

由方程組求得駐點(diǎn)(0，0)及(2，2)，而z=f(x，y)的二階偏導(dǎo)數(shù)為(x，y)=6x–8，(x，y)=2，(x，y)=–2．在點(diǎn)(0，0)處有B=2，A=–8，C=–2，B2–AC=–12<0，所以f(0，0)=0為函數(shù)的極大值．在點(diǎn)(2，2)處有B=2，A=4，C=–2，B2–AC=12>0，所以點(diǎn)(2，2)不是極值點(diǎn)．討論函數(shù)的極值問題時，若函數(shù)在所討論的區(qū)域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，則由定理1可知，極值只可能在駐點(diǎn)處取得．然而，若函數(shù)在個別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn)，但也可能是極值點(diǎn)．例如，在例2中，函數(shù)z=在點(diǎn)(0，0)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，但該函數(shù)在(0，0)處卻具有極大值．本書中討論的是偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)的極值．二、多元函數(shù)的最值與一元函數(shù)相類似，可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值．在第一節(jié)已經(jīng)知道，若f(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x，y)在D上必定能取得最大值和最小值．這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)既可能在D的內(nèi)部，也可能在D的邊界上．假定函數(shù)在D上連續(xù)，在D內(nèi)可微分且只有有限個駐點(diǎn)，這時如果函數(shù)在D的內(nèi)部取得最大值(或最小值)，那么這個最大值(或最小值)也是函數(shù)的極大值(或極小值)．因此，在上述假定下，求函數(shù)的最大值和最小值的方法一般是：將函數(shù)f(x，y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值．但這種做法由于要求出f(x，y)在D的邊界上的最大值和最小值，所以往往相當(dāng)復(fù)雜．在通常遇到的實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)f(x，y)的最大值(或最小值)一定在D的內(nèi)部取得，而函數(shù)在D內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，那么可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x，y)在D上的最大值(或最小值)．例5

求函數(shù)在圓域D：上的最大值．解

由

得駐點(diǎn)(0，0)，這是函數(shù)在圓域x2+y2內(nèi)唯一的駐點(diǎn)．因?yàn)楹瘮?shù)圖形是上半球面，顯然點(diǎn)(0，0)是極大值點(diǎn)，極大值為．在圓域的邊界x2+y2=上，函數(shù)值處處是．因?yàn)闃O大值z=1大于邊界上的函數(shù)值，所以，在閉圓區(qū)域上函數(shù)的最大值為1．例6

某廠要用鐵板做成一個體積為2m3的有蓋長方體水箱．問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最省?解

設(shè)水箱的長為xm，寬為ym，則其高應(yīng)為此水箱所用材料的面積m．，即

．可見材料面積A是x和y的二元函數(shù)，這就是目標(biāo)函數(shù)．下面求使這函數(shù)取得最小值的點(diǎn)(x，y)．令

解這個方程組，得，．根據(jù)題意可知，水箱所用材料面積的最小值一定存在，并在開區(qū)域D：x>0，y>0內(nèi)取得．又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)(，)，因此可斷定當(dāng)x=，時，A取得最小值．就是說，當(dāng)水箱的長為m、寬為m、高為時，水箱所用的材料最?。畯纳侠€可看出，在體積一定的長方體中，以立方體的表面積為最?。l件極值上面所討論的極值問題，對于函數(shù)的自變量，除了限制在函數(shù)的定義域內(nèi)以外，并無其他條件，所以稱為無條件極值．但在實(shí)際問題中，有時會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問題．例如，求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題．設(shè)長方體的三棱的長為x，y，z，則體積V=xyz．又因假定表面積為a2，所以自變量x，y，z還必須滿足附加條件2(xy+yz+xz)=a2．這種對自變量有附加條件的極值稱為條件極值．對于某些實(shí)際問題，可以把條件極值化為無條件極值．例如上述問題，可由條件2(xy+yz+xz)=a2，將z表示成x，y的函數(shù)再把它代入V=xyz中，于是問題就化為求的無條件極值．例6也是屬于把條件極值化為無條件極值的例子．

但在很多情況下，將條件極值化為無條件極值并不這樣簡單．另有一種直接尋求條件極值的方法，可以不必先把問題化到無條件極值的問題，這就是下面要介紹的拉格朗日乘數(shù)法．二元函數(shù)z=f(x，y)在約束條件j(x，y)=0下的極值問題，可按下列步驟求解：第一步

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其中l(wèi)稱為拉格朗日乘數(shù)；L(x，y)=f(x，y)+lj(x，y)，第二步

聯(lián)立方程組求解得可能的極值點(diǎn)，結(jié)合問題本身的實(shí)際意義得到所求的極值．對于一般的多元函數(shù)的條件極值問題，相應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)法與二元函數(shù)的解法類似．例7

求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積．解設(shè)長方體的三棱長為x，y，z，則問題就是在條件j(x，y，z)=2xy+2yz+2xz–a2=0下，求函數(shù)V=xyz(x>0，y>0，z>0)的最大值．構(gòu)造輔助函數(shù)L(x，y，z)=xyz+l(2xy+2yz+2xz–a2)，求其對x，y，z的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到y(tǒng)z+2l(y+z)=0，xz+2l(x+z)=0，xy+2l(y+x)=0．再聯(lián)立．(1)(2)(3)(4)因x，y，z都不等于零，所以由(1)、(2)、(3)式可得，．由以上兩式解得x=y=z．將此代入(4)式，便得這是唯一可能的極值點(diǎn)．因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個可能的極值點(diǎn)處取得．也就是說，表面積為a2的長方體中，以棱長為的正方體的體積為最大，最大體積．一、空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線Г的參數(shù)方程為

這里假定式(1)的三個函數(shù)都可導(dǎo)，

且第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用不能都為零下面來求：

圖5-6

在曲線上取對應(yīng)于

的一點(diǎn)

及對應(yīng)于

的鄰近一點(diǎn)根據(jù)解析幾何，曲線的割線MM＇的方程是當(dāng)M＇沿著Г趨于M時，割線MM＇的極限位置MT就是曲線Г在點(diǎn)M處的切線(圖5―7).用除上式的各分母，得令M＇→M這時

通過對上式取極限，即得曲線在點(diǎn)M處的切線方程為切線的方向向量稱為曲線的切向量。向量就是曲線Г在點(diǎn)M處的一個切向量。圖5-7通過點(diǎn)M而與切線垂直的平面稱為曲線在點(diǎn)M處的法平面，它是通過點(diǎn)

而以T為法向量的平面，因此由點(diǎn)法式得這法平面的方程為例1求曲線在點(diǎn)

(1,1,1)處的切線及法平面方程。解

因?yàn)槎c(diǎn)

(1,1,1),所對應(yīng)的參數(shù)，所以

于是，切線方程為

,法平面方程為

即

注1：如果空間曲線Г的方程以

的形式給出，其切線和法平面方程又是什么形式?我們?nèi)為參數(shù)，它就可以表為參數(shù)方程的形式

若都在x=x0處可導(dǎo)，那末根據(jù)上面的討論可知，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為在點(diǎn)處的法平面方程為注2：如果空間曲線Г的方程以的形式給出，是曲線Г上的一個點(diǎn)，又設(shè)有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且這時方程組(6)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)確定了一組函數(shù)

要求曲線Г在點(diǎn)M處的切線方程和法平面方程，只要求出然后代入(4)、(5)兩式就行了.為此，我們在恒等式兩邊分別對x求全導(dǎo)數(shù)，得

由方程組可解得和切向量為曲線Г在點(diǎn)處的切線方程為或曲線Г在點(diǎn)處的法平面方程為或：

求曲線,在點(diǎn)

(1,-2,1)處的切線及法為求切向量,將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)數(shù),得平面方程。解方程組得,

在點(diǎn)(1,

2,1)處

,

從而T

(1,0,1)

所求切線方程為法平面方程為

(x1)0(y2)(z1)0,即xz0

解為求切向量,將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)數(shù),得方程組在點(diǎn)(1,2,1)處化為解方程組得,.從而T

(1,0,1)

所求切線方程為法平面方程為

(x1)0(y2)(z1)0,即xz0

二、曲線的切平面與法線

圖5-8下面首先討論曲面方程

F

(

)=0

(9)設(shè)曲面∑由方程(9)給出，

是曲面∑上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù)F

(

)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時為零.在曲面∑上，通過點(diǎn)

M

任意引一條曲線（圖5-8），假定曲線的參數(shù)方程為

(10)

對應(yīng)于點(diǎn)

且

不全為零，則由(2)式可得這曲線的切線方程為=可以證明，在曲面∑上通過點(diǎn)M且在點(diǎn)M處具有切線的任何曲線，它們在點(diǎn)M處的切線都在同一個平面上。（圖5-9）

（圖5-9）.這個平面稱為曲面∑在點(diǎn)M

的切平面.切平面方程為

(11)通過點(diǎn)

而垂直于切平面(11)的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線。法線方程是

(12)垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量，向量就是曲面∑在點(diǎn)M處的一個法向量。再來討論曲面方程

(13)令

F(x,y,z)

=f—z,

可見

F'x(x，y，z)=f'

x(x，y),F'Y(x，y，z)=f

'y(x，y),F

'z(x，y，z)=-1

于是，當(dāng)函數(shù)f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)f'x(x，y)f

'Y(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)連續(xù)時，曲面（13）在點(diǎn)M

(x0，y0，z0)處的法向量為切平面方程為或

(14)而法線方程為

這里順便指出，方程(14)右端恰好是函數(shù)z=(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的全微分，而左端是切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量.因此，函數(shù)z=(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的全微分，在幾何上表示曲面z=(x，y)在點(diǎn)(x0，y0，z0)處的切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量.

如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它與Z軸的正向所成的角γ是一銳角，則法向量的方向余弦為這里，把fx

(x0，y0),

fy(x0，y0)分別簡記為fx

,

fy。例3求旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y21在點(diǎn)(2,1,4)處的切平面及法線方程

解f(x,y)x2y21,

n(fx,fy,1)(2x,2y,1),

n|(2,1,4)(4,2,1)

所以在點(diǎn)(2,1,4)處的切平面方程為

4(x2)2(y1)(z4)0,即4x2yz60

法線方程為圖5-10表示全微分的幾何意義：圖5-10第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)在許多實(shí)際問題中，往往需要研究函數(shù)沿著某個特定方向的變化率，如某氣象站要預(yù)報某地在某時的氣溫、風(fēng)向和風(fēng)力，就必須知道在該地沿某些方向氣溫、氣壓的變化情況，即變化率．現(xiàn)在來討論函數(shù)z=f(x，y)在某一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題．

設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)P(x，y)的某一鄰域N(P)內(nèi)有定義，自點(diǎn)P引射線l．設(shè)x軸正向到射線l的轉(zhuǎn)角為j，并設(shè)P1(x+Dx，y+Dy)為l上的另一點(diǎn)(見圖5-11)

(圖5-11)且P1∈N(P)．考慮函數(shù)的增量f(x+Dx，y+Dy)–f(x，y)與P，P1兩點(diǎn)間的距離r=

的比值．當(dāng)P1沿著l趨于P時，若這個比的極限存在，則稱這極限為函數(shù)f(x，y)在