《簡明線性代數(shù)》2-4 線性方程組的解

§2.4線性方程組的解

一、線性方程組的可解性二、線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、線性方程組的可解性

不妨設(shè)n元線性方程組

Ax=b

系數(shù)矩陣A的行最簡形為

當(dāng)R(A,b)>R(A)=

r

時(shí),增廣矩陣(A,b)的行最簡形為出現(xiàn)方程0=1,方程組無解.

當(dāng)R(A,b)=R(A)=

r

時(shí),增廣矩陣的行最簡形為即得同解方程組當(dāng)r=n時(shí),方程組有唯一解;當(dāng)r<n

時(shí),方程組有無窮解.

綜上即得可解性定理.>>>推論

n元方程組Ax=0有非零解的充要條件是R(A)<

n.

當(dāng)方程個(gè)數(shù)少于未知元個(gè)數(shù)時(shí),方程組Ax0有非零解.

當(dāng)A為方陣時(shí),Ax=0有非零解的充要條件是|A|=0.

可解性定理

(1)當(dāng)R(A,b)>R(A)時(shí),方程組無解;(2)當(dāng)R(A,b)=R(A)=n

時(shí),方程組有唯一解;(3)當(dāng)R(A,b)=R(A)

<n

時(shí),方程組有無窮多解.

設(shè)n

元線性方程組Ax=b.例1

a

取什么值時(shí),線性方程組(1)有唯一解;(2)無解;(3)有無窮多解.解

對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換(1)當(dāng)a1,-2時(shí),R(A,

b)R(A)3,方程組有唯一解;(2)當(dāng)a=-2時(shí),R(A,

b)3R(A)2,方程組無解;

(3)當(dāng)a=1時(shí),R(A,b)R(A)13,

方程組有無窮多解.

解當(dāng)l=-1或l=8時(shí),方程組有非零解.例2l

取什么值時(shí),以下齊次線性方程組有非零解：齊次線性方程組的系數(shù)行列式記X

(x1,x2,,xn),B(b1,b2,,bn),例3

證明:矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是證明充分性:由矩陣秩的性質(zhì)知因?yàn)镽(A)R(A,

B),所以Axi

=

bi

有解(i1,2,,n),因此,由上式即得R(A)R(A,

bi),也即AX=

B有解.必要性:由矩陣秩的性質(zhì)知設(shè)X=K為AX=

B的解,也即AK=

B,于是2.當(dāng)AX=

B有解,但A不可逆時(shí),如何求出所有解？記X

(x1,x2,,xn),B(b1,b2,,bn),例3

證明:矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是證明充分性:由矩陣秩的性質(zhì)知因?yàn)镽(A)R(A,

B),所以Axi

=

bi

有解(i1,2,,n),因此,由上式即得R(A)R(A,

bi),也即AX=

B有解.討論:1.當(dāng)AX=

B有解,但A不可逆時(shí),解是否唯一？

當(dāng)R(A)=n

時(shí),n元齊次方程組Ax=0只有零解.

當(dāng)R(A)=r

<n

時(shí),不妨設(shè)

Ax=0

的同解方程組為>>>其中注意:二、線性方程組解的結(jié)構(gòu)

則

Ax=0的通解可表示為向量形式

齊次通解結(jié)構(gòu)定理則

Ax=0的通解可表示為向量形式

設(shè)x1,,xn-r

(r=

R(A))為n

元方程組Ax=0的解,且滿足條件

R(x1,,xn-r)=n-r,則Ax=0的通解為(k1,,kn-r

為任意數(shù))

稱x1,,xn-r

為方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.>>>其中注意:解化系數(shù)矩陣為行最簡形:例4求線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.于是得同解方程組分別令

x3=7,x4=0

和x3=0,x4=7,得基礎(chǔ)解系為

非齊次通解結(jié)構(gòu)定理(k1,,kn-r

為任意數(shù))

設(shè)

x

=h

是n元非齊次線性方程組Ax=

b的一個(gè)解(稱特解),x1,,xn-r

是導(dǎo)出組

Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則

Ax=

b的通解為證明直接驗(yàn)證知,上式為Ax=

b的解.

設(shè)

x

=h

為Ax=

b的任一解,則所以x=h-h

為Ax=0的一個(gè)解,由齊次通解結(jié)構(gòu)定理,存在一組數(shù)k1,,kn-r,使于是例5

已知四元非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)特解且R(A)=2,求Ax=b的通解.解取則

x1,

x2

為

Ax=0的兩個(gè)解.易知故x1,

x2

為

Ax0的基礎(chǔ)解系.于是方程組Ax=b的通解為作業(yè)

習(xí)題2-4易知證明為方程組Ax=0的解.設(shè)x=x為方程組Ax=0的任一解.記則因此因由(1)式得根據(jù)可解性定理,n-r元線性方程組By=x有唯一解即(1)

齊次通解結(jié)構(gòu)定理

設(shè)x1,,xn-r

(r=

R(A))為n

元方程組Ax=0的解,且滿足條件

R(x1,